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2013届上海高三数学数列最值得做的12类题


2013 届上海高三数学数列最值得做的 12 类题
题型一:递推问题
1、已知数列{an}中,a1>0,且 an+1= 3+an . 2 (1)试求 a1 的值,使得数列{an}是一个常数数列; (2)试求 a1 的取值范围,使得 an+1>an 对任何自然数 n 都成立;

5 (3) a1=4,设 bn=|an+1-an|(n=1,2,3…),并以 Sn 表示数列{bn}的前 n 项的和,试证明:n< . 若 S 2 解: (Ⅰ) 欲使数列{an}是一个常数数列,则 an+1= 3+an =an,又依 a1>0,可以推得 an>0 并解出: 2

an= .即 a1=a2=

3 2

3 2 3+an 2 3+an-1 = 2

(Ⅱ)研究 an+1-an=

2(

an-an-1 (n≥2) 3+an 3+an-1
2 + 2 )

注意到: 2(

3+an + 2

3+an-1 )>0 因此,an+1-an,an-an-1,…,a2-a1 有相同的符号.要使 an+1>an 2 3+a1 3 -a1>0,解得:0<a1< . 2 2

对任意自然数都成立,只须 a2-a1>0 即可.由

(Ⅲ)用与(Ⅱ)中相同的方法,可得 3 当 a1> 时,an+1<an 对任何自然数 n 都成立.因此当 a1=4 时,an+1-an<0 2 ∴Sn=b1+b2+…+bn.=|a2-a1|+|a3-a2|+…+|an+1-an|=a1-a2+a2-a3+…+an-an+1=a1-an+1=4-an+1 3+an+1 3 3 5 又:an+2<an+1 即 <an+1,可得 an+1> ,故 Sn<4- = . 2 2 2 2

题型二:最值问题
2 、 已 知 数 列 { a n } 满 足 : a1 ? 1 ,an+1= 2 3

an
2an+1

(n?N) ( n? N ) , 数 列 { bn } 的 前 n 项 和

Sn=12-12( )n(n?N). (1) 求数列 { a n } 和{bn}的通项公式;
(2) 设 cn= ,是否存在 m ? N ,使 cm≥9 成立?并说明理由. 解答: (1)由 an ?1 ?
an 2 an ?1

bn an

?

1 a n ?1

?

1 an

? 2 ,∴ 1 ? 1 ? 2 (n ? 1) ? 2n ? 1 , an ? 1 ( n ? N ) . 2n?1 an

由 Sn ? 12 ? 12( 2 )n 及 Sn?1 ? 12 ? 12 ( 2 )n?1 ( n ? 2) ,可得 bn ? Sn ? Sn?1 ? 4 ( 2 )n?1 ( n ? 2) , 3 3 3 令 n ? 1,则 b1 ? S1 ? 12 ? 12? 2 ? 4 也满足上式,∴ bn ? 4 ( 2 )n?1 ( n ? N ) . 3 3 (2) Cn ?
bn an

? (2n ? 1) ? 4 ( 2 ) n ?1 ? 4 (2n ? 1) ( 2 ) n ?1 ,设 Cm 为数列 {Cn } 中的最大项,则 3 3
7 2 5 2

?4 (2m ? 1) ( 2 ) m ?1 ? 4 (2m ? 3) ( 2 ) m ? 2 ?(2m ? 1) ? 2 ? 2m ? 3 ?m ? ?Cm ? Cm ?1 ? ? ? 3 3 3 ?? ?? ?? ? m ?1 2 ? 4 (2m ? 1) ( 2 ) m ?Cm ? Cm ?1 ?4 (2m ? 1) ( 2 ) ?2m ? 1 ? (2m ? 1) ? 3 ?m ? ? ? 3 3 ?

,∴ m ? 3 .

即 C3 为 {Cn} 中的最大项.∵ C3 ? 20 ( 2 )2 ? 80 ? 9 ,∴不存在 m? N ,使 Cm ? 9 成立. 3 9

题型三:公共项问题
3 3、设 An 为数列{an}的前 n 项的和,An= (an-1),数列{bn}的通项公式为 bn=4n+3。 2 (1)求数列{an}的通项公式; (2) 把数列{an}与{bn}的公共项按从小到大先后顺序排成一个新的数列{dn}, 证明数列{dn} 2n+1 的通项公式为 dn=3 ; (3)设数列{dn}的第 n 项是数列{bn}中的第 r 项,Br 为数列{bn}的前 r 项的和,Dn 为数列 {dn}的前 n 项和,Tn=Br-Dn,求 lim
n??

Tn 4。 an

3 3 解(1)由 An= (an-1),可知 An+1= (an+1-1) 2 2 ∴An+1-An= 而 a1=A1= 3 an+1 (an+1-an)=an+1,即 =3 2 an

3 (a1-1),得 a1=3 2
n

所以数列{an}是以 3 为首项,公比为 3 的等比数列,数列{an}的通项公式为 an=3 。 2n+1 2n 2n (2)∵3 =3·3 =3·(4-1) 2n 1 2n-1 2n-1 2n =3×(4 +C 2n·4 (-1)+…+C2n ·4·(-1)+(-1) ) =4m+3 2n+1 ∴3 ∈{bn} 2n 2n 而数 3 =(4-1) 2n 1 2n-1 2n-1 2n =4 +C2n ·4 · (-1)+…+C2n ·4·(-1)+(-1) =(4k+1) 2n 2n+1 2n 2n+1 ∴3 ?{bn} 而数列{an}={3 }∪{3 } ∴ dn=3 (3)由 3 ∵Br= Dn=
2n+1

=4·r+3,可知 r=

3

2n+1

-3 4
2n+1 2n+1

r(7+4r+3) 3 -3 3 +7 =r(2r+5)= · 2 4 2

27 27 n n ·(1-9 )= (9 -1) 1-9 8 9
2n+1

∴Tn=Br-Dn= =

+4·3 8

2n+1

-21



27 n (9 -1) 8

9 15 3 4n 2n ·3 - ·3 + 8 8 4
4 4n

又∵(an) =3

∴ lim

Tn 9 4= 8 n ? ? an
*

题型四:存在性问题
4.等比数列 ?cn ? 满足 cn?1 ? cn ? 10 ? 4 n?1 , n ? N ,数列 ?an ? 满足 cn ? 2 .... (1)求 ?an ? 的通项公式; 分) (5 (2)数列 ?bn ? 满足 bn ?
an

1 , Tn 为数列 ?bn ? 的前 n 项和.求 lim Tn ; 分) (5 n ?? an ? an ?1

(3)是否存在正整数 m, n ?1 ? m ? n? , 使得 T1 , Tm , Tn 成等比数列?若存在, 求出所有 m, n 的值;若不存在,请说明理由. 分) (6 、解: (1)解: c1 ? c2 ? 10, c2 ? c3 ? 40 ,所以公比 q ? 4 2分 3分 4分 5分

c1 ? 4c1 ? 10 计算出 c1 ? 2
cn ? 2 ? 4 n?1 ? 2 2n?1

? an ? 2n ? 1
(2) bn ? 于是 Tn ?

1? 1 1 ? ? ? ? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

6分 8分 10 分

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? n ? 1 ??1 ? 3 ? ? ? 3 ? 5 ? ? ? ? ? 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? ? ? 2n ? 1 2 ?? ? ? ? ? ??

lim Tn =
n ??

(3)假设否存在正整数 m, n ?1 ? m ? n? ,使得 T1 , Tm , Tn 成等比数列,则

1 2

? m ? 1 n , ? ? ? ? ? 2m ? 1 ? 3 2n ? 1 3 ?2m2 ? 4m ? 1 ? 0, 可得 ? n m2 6 6 由分子为正,解得 1 ? , ? m ? 1? 2 2 ? 由 m ? N , m ? 1,得 m ? 2 ,此时 n ? 12 , 当且仅当 m ? 2 , n ? 12 时, T1 , Tm , Tn 成等比数列。

2

12 分

16 分

说明:只有结论, m ? 2 , n ? 12 时, T1 , Tm , Tn 成等比数列。若学生没有说明理由, 则只能得 13 分

题型五:类比问题
5. 已知数列 ?an ? 为 d≠0 的等差数列,对于 p,q ? N ,且 p≠q
?

(1) 求证:

a p ? aq p?q

是不依赖于 p,q 的常数;

(2) 对于 p<q<r(p,q,r ? N ),试证:(r-p)aq=(q-p)ar+(r-q)ap; 正数数列{bn}是公比不等于 1 的 GP,类似(1)(2)的等式是什么?并加以证明?

?

题型六:放缩问题
6. 已知函数 f(x)在(-1,1)上有定义, f ( ) ? ?1 且满足 x、y∈(-1,1) 有

1 2

x? y (1)证明:f(x)在(-1,1)上为奇函数; f ( x) ? f ( y ) ? f ( ). 1 ? xy
(2)对数列 x1 ?

2 xn 1 , xn ?1 ? , 求 f ( xn ) ; 2 2 1 ? xn

(3)求证

1 1 1 2n ? 2012 ? ??? ?? . f ( x1 ) f ( x2 ) f ( xn ) n ?1
0 ? )0( f ?, )0( f ? )0( f 2

(1)令 x ? y ? 0, 则

令 y ? ? x, 则 f ( x) ? f (? x) ? f (0) ? 0,? f (? x) ? ? f ( x) 为奇函数. (2) f ( x1 ) ? f ( 1 ) ? ?1 , f ( x n ?1 ) ? f ( 2 x n ) ? f ( x n ? x n ) ? f ( x n ) ? f ( x n ) ? 2 f ( x n ), 2 2 1 ? xn ? xn 1 ? xn
? f ( xn?1 ) ? 2.即{ f ( xn )} 是以-1 为首项,2 为公比的等比数列. f ( xn )

? f ( xn ) ? ?2n ?1.

(3)

1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ?(1 ? ? 2 ? ? ? n?1 ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( xn ) 2 2 2
1?

1 2 n ? ?(2 ? 1 ) ? ?2 ? 1 ? ?2, ?? 1 2 n ?1 2 n ?1 1? 2



?

2n ? 2 0 1 2 1 1 ? ?( 2 ? ) ? ?2 ? ? ?2, n ?1 n?2 n?2

1 1 1 2n ? 2012 ? ??? ?? . f ( x1 ) f ( x2 ) f ( xn ) n ?1

题型七:数列与向量问题
7.已知 i , j 分别是与 x 轴, y 轴正方向相同的单位向量, OB1 ? ai ? 6 j (a ? R) ,对任 意正整数 n , Bn Bn?1 ? 6?i ? 3 ? 2n?1 j 。 (1)若 OB1 ? B2 B3 ,求 a 的值; (2)求向量 OB3 ; (3)求向量 OBn (用 n 、 a 表示)

?

?

????

?

?

??????? ?????

?

?

????

???? ?

???? ?

题型八:通项问题
8. 已知 a ? b , a 2 ? a ? 6 ? 0 ,b2 ? b ? 6 ? 0 , 且 数列 ?an ? 、 bn ? 满足 a1 ? 1 ,a2 ? ?6a , ?

an?1 ? 6an ? 9an?1 (n ? 2, n ? N * ) , bn ? an?1 ? ban (n ? N * ) .
(1) 求证数列 ?bn ? 是等比数列; (2)求数列 ?an ? 的通项公式 an ; 证明(1)∵ a ? b, a ? a ? 6 ? 0, b ? b ? 6 ? 0 ,
2 2

∴ a ? ?2, b ? 3 , a2 ? 12 . ∵ an?1 ? 6an ? 9an?1 (n ? 2, n ? N * ) , bn ? an?1 ? ban (n ? N * ) , ∴ bn?1 ? an?2 ? 3an?1

? 6an?1 ? 9an ? 3an?1 ? 3(an?1 ? 3an )
? 3bn (n ? N * ) .
又 b1 ? a2 ? 3a1 ? 9 , ∴数列 ?bn ? 是公比为 3,首项为 b1 的等比数列. (2)依据(1)可以,得 bn ? 3n?1 (n ? N * ) . 于是,有 an?1 ? 3an ? 3n?1 (n ? N * ) ,即 因此,数列 ? 故

an ?1 an ? n ? 1(n ? N * ) . n ?1 3 3

a 1 ? an ? 是首项为 1 ( ? ) ,公差为 1 的等差数列. n ? 3 3 ?3 ?

an 1 ? ? (n ? 1) ?1 . 3n 3

所以数列 ?an ? 的通项公式是 an ? (3n ? 2) ? 3n?1 (n ? N * ) .

题型九:猜想与证明问题
9. 已知函数 f(x)=

ax ax ? a

(a>0,a≠1) .?

(1) 证明函数 f(x)的图象关于点 P(

1 1 , )对称.? 2 2

(2) 令 an=

a f ( n) 2 , 对一切自然数 n, 先猜想使 an>n 成立的最小自然数 a,并证明之. ? f (1 ? n)
1 n(n ? 1) lg 3 ? (lg n!)( n ∈N). 4 1 1 , )的对称点为 M’(1-x,1-y) , 2 2

(3) 求证:

(1)关于函数的图象关于定点 P 对称, 可采用解几中的坐标证法. 设 M(x,y)是 f(x)图象上任一点,则 M 关于 P( ?

?

a 1? x a
1? x

? a
x

?

a a ? a ?a ?
x x

? a

a a ? ax

a ? a ? f (1 ? x) ? 1 ? y

1? y ? 1?

ax

a ? a

∴M′(1-x,1-y)亦在 f(x)的图象上, 故函数 f(x)的图象关于点 P(

1 1 , )对称.? 2 2


(2)将 f(n)、f(1-n)的表达式代入 an 的表达式,化简可得 an=a 猜 a=3, n 2 即 3 >n .? 下面用数学归纳法证明.? k 2 设 n=k(k≥2)时,3 >k .? k+1 k 2 那么 n=k+1,3 >3·3 >3k ? 又 3k -(k+1) =2(k-

2 2 2

1 2 3 ) - ≥0(k≥2,k∈N)? 2 2

∴3 >n .? k 2 (3)∵3 >k ? ∴klg3>2lgk? 令 k=1,2,…,n,得 n 个同向不等式,并相加得:

n(n ? 1) lg 3 ? 2 lg(1 ? 2 ? n), 2 n 故 ( n ? 1) lg 3 ? lg( n!). 4
函数与数列综合型问题在高考中频频出现,是历年高考试题中的一道亮丽的风景线.针 对本例,你能够猜想出最小自然数 a=3 吗? 试试你的数学猜想能力.

题型十:单调性问题 10、已知 a>0,且 a≠1,数列{a }的前 n 项和为 S ,它满足条件 a
n n

n

?1

Sn

?1?

1 ,数列 a

{bn}中,bn=an·lgan。 (1)求数列{bn}的前 n 项之和 Tn; (2)若对一切 n∈N 都有 bn<bn+1,求 a 的取值范围。 解析: (1)∵
a (a n ? 1) an ?1 1 ? 1 ? ,∴ S n ? a ?1 Sn a a (a 1 ? 1) ?a a ?1 a (a n ? 1) a (a n ?1 ? 1) ? ? an a ?1 a ?1
n n *

当 n=1 时, a 1 ? S1 ?

当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= ∴ an=a (n∈N )
n *

此时 bn=an·lga =a ·lga =n·a lga ∴ Tn=b1+b2+…+bn=lga·(a+2a +3a +…+na ) 设 un=a+2a +3a +…+na , 则 aun=a +2a +3a +…+(n-1)a +na ∴ (1-a)un=a+a +a +…+a -na = ∴ un ?
na n ?1 a (a n ? 1) ? a ?1 (a ? 1) 2
2 3 n n+1 2 3 4 n n+1 2 3 n 2 2 n

n

n

a (a n ? 1) ? na n ?1 a ?1

? na n ?1 a (a n ? 1) ? ∴ Tn ? lg a ? ? ? ? (a ? 1) 2 ? ? a ?1 ? ?
(2)由 bn<bn+1 ? na lga<(n+1)a lga 可得:
n n+1

1

0

当 a>1 时,由 lga>0 可得 a>

n n ?1

n * ? 1 (n∈N )a>1 n ?1 n * ∴ a? 对一切 n∈N 都成立 n ?1 ∴ 此时的解为 a>1
∵ 2 当 0<a<1 时,由 lga<0 可得 n>(n+1)a, a ?
0

n n ?1

n 1 * ≥ (n∈N ) ,0<a<1 n ?1 2 n * ∴ 0<a< 对一切 n∈N 都成立 n ?1 1 ∴ 此时的解为 0<a< 2
∵ 由 1 ,2 可知,对一切 n∈N ,都有 bn<bn+1 的取值范围是 0<a<
0 0 *

1 或 a>1= 2

11、已知函数 f ( x) ? log3 (ax ? b) 的图象经过点 A(2,1) 和 B(5,2) ,记 an ? 3 f ( n) , n ? N *. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ? 围; (3)求使不等式 (1 ?

m ?1 an , Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ,若 Tn ? 对一切 n ? N * 均成立,求 m 的范 n 2 m ?1

1 1 1 )(1 ? )?(1 ? ) ? p 2n ? 1 对一切 n ? N * 均成立的最大实数 a1 a2 an

p.
解: (1)由题意得 ?

?log 3 ( 2a ? b) ? 1 ?a ? 2 ,解得 ? , b ? ?1 ?log 3 (5a ? b) ? 2 ?
( an ? 3l o3g 2n?1) ? 2n ?1, n ? N *

? f ( x) ? l o g(2x ? 1) 3
(2)由(1)得 bn ?

2n ? 1 1 3 5 2n ? 3 2n ? 1 , ?Tn ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? ① n 2 2 2 2 2 2n 1 1 3 2n ? 5 2n ? 3 2n ? 1 Tn ? ? 3 ? ? ? n?1 ? ? n?1 ② ①-②得 2 2 2 2 2 2n 2 1 1 2 2 2 2 2n ? 1 1 1 1 1 1 2n ? 1 Tn ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n?1 ? n ? n?1 ? 1 ? ( 1 ? 2 ? ? ? n?2 ? n?1 ) ? n?1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 2n ? 1 1 2n ? 1 2n ? 3 ? ? n ?1 ? n?1 . ? Tn ? 3 ? n?2 ? n ? 3 ? , 2 2 2 2 2 2n 2n ? 5 n ?1 2n ? 3 f (n ? 1) 2n ? 5 1 1 1 1 , n ? N * ,则由 设 f ( n) ? ? 2 ? ? ? ? ? ?1 n 2n ? 3 2(2n ? 3) 2 2n ? 3 2 5 2 f ( n) 2n 2n ? 3 , n ? N * 随 n 的增大而减小?当n ? ?? 时, Tn ? 3 得 f ( n) ? 2n
又 Tn

?

m ?1 m ?1 ? 3 ?1? m ? 2 恒成立, m ?1 m ?1
1 1 1 1 (1 ? )(1 ? )?(1 ? )对n ? N * 恒成立 a1 a2 an 2n ? 1

(3)由题意得 p ?

记 F (n) ?

1 1 1 1 (1 ? )(1 ? )?(1 ? ) ,则 a1 a2 an 2n ? 1

F (n ? 1) ? F ( n)

1 1 1 1 1 (1 ? )(1 ? )?(1 ? )(1 ? ) a1 a2 an an?1 2n ? 2 2(n ? 1) 2n ? 3 ? ? 1 1 1 1 (2n ? 1)(2n ? 3) 4(n ? 1) 2 ? 1 (1 ? )(1 ? )?(1 ? ) a1 a2 an 2n ? 1

?

2(n ? 1) ?1 2(n ? 1)

? F (n) ? 0,? F (n ? 1) ? F (n),即F (n) 是随 n 的增大而增大
F (n) 的最小值为 F (1) ?
2 2 2 3 ,? p ? 3 ,即 p max ? 3. 3 3 3

题型十一:探究问题
12、已知数列 {an } ,a1 ? 1, 且点P(an , an?1 )(n ? N ) 在直线 x-y+1=0 上. 中 (1)求数列{an}的通项公式; (2)若

f ( n) ?

1 1 1 1 ? ? ??? (n ? N , 且n ? 2), n ? a 1 n ? a 2 n ? a3 n ? an 1 , S n 表示数列{bn}的前 n 项和.试问:是否存在关于 n an

求函数 f(n)的最小值;(3)设 bn ?

的整式 g(n), 使得 S1 ? S 2 ? S3 ? ? ? S n?1 ? (S n ? 1) ? g (n) 对于一切不小于 2 的自然数 n 恒成立?若存在,写出 g(n)的解析式,并加以证明;若不存在,说明理由. 讲解 从 规 律 中 发 现 ,从 发 现 中 探 索. (1)? an ? an?1 ? 1 ? 0

? a1 ? a 2 ? 1 ? 0, a 2 ? a3 ? 1 ? 0, ?? a n ?1 ? a n ? 1 ? 0, 以上各式相加 , 得a1 ? a n ? n ? 1 ? 0,
(2) ? f (n) ?

a n ? a1 ? n ? 1 ? n.

1 1 1 ? ??? , n ?1 n ? 2 2n 1 1 1 1 1 f (n ? 1) ? ? ??? ? ? , n?2 n?3 2n 2n ? 1 2n ? 2 1 1 1 1 1 1 ? f (n ? 1) ? f (n) ? ? ? ? ? ? ? 0. 2n ? 1 2n ? 2 n ? 1 2n ? 2 2n ? 2 n ? 1 7 故 f (n) 的最小值是 f (2) ? . ? f (n)是单调递增的 , 12

(3)? bn ?

1 1 1 ? sn ? 1 ? ? ? ? , n 2 n 即ns n ? (n ? 1) s n ?1 ? s n ?1 ? 1,

? s n ? s n ?1 ?

1 (n ? 2), n

? (n ? 1)sn?1 ? (n ? 2)sn?2 ? sn?2 ? 1.
???????

2s2 ? s1 ? s1 ? 1,

? nsn ? s1 ? s1 ? s2 ? ? ? sn?1 ? n ? 1, ? g (n) ? n .

? s1 ? s2 ? ? ? sn?1 ? nsn ? n ? (sn ? 1) ? n(n ? 2),

故存在关于 n 的整式 g (n) ? n, 使等式对于一切不小 2 的自然数 n 恒成立. 事实上, 数列{an}是等差数列, 你知道吗?

. 题型十二:综合性问题
2 13.设数列 {an } 的各项均为正数,前 n 项和为 Sn ,已知 4Sn ? an ? 2an ?1(n? N * )

(1)证明数列 {an } 是等差数列,并求其通项公式; (2)是否存在 k ? N ,使得 Sk 2 ? ak ?2048 ,若存在,求出 k 的值;若不存在请说明理由;
*

2

(3)证明:对任意 m、、 ? N *, ? p ? 2k ,都有 k p m 解:

1 1 2 ? ? . Sm S p Sk

2 2 (1)∵ 4Sn ? an ? 2an ?1 ,∴当 n ? 2 时, 4Sn?1 ? an?1 ? 2an?1 ?1 . 2 2 两式相减得 4an ? an ? an?1 ? 2an ? 2an?1 ,

∴ (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 2) ? 0

…………………………2 分

2 ∵ an ? 0 ,∴ an ? an?1 ? 2 ,又 4S1 ? a1 ? 2a1 ?1 ,∴ a1 ? 1

∴ {an } 是以 a1 ? 1为首项, d ? 2 为公差的等差数列.……………………2 分 ∴ an ? 2n ?1 (2) 由(1)知 S n ?
2 2

…………………………1 分

(1 ? 2n ?1)n ? n2 , 2
2

…………………………2 分

假设正整数 k 满足条件, 则 (k ) ? [2(k ? 2048) ?1] ∴ k ? 2(k ? 2048) ?1 ,
2

解得 k ? 65 ;

…………………………3 分

(3) Sm ? m , k ? k , p ? p S S
2 2

2

…………………………2 分

于是

1 1 2 1 1 2 k 2 ( p2 ? m2 ) ? 2m2 p 2 ? ? ? 2? 2? 2? Sm S p Sk m p k m2 p 2 k 2
…………………………2 分 …………………………3 分

m? p 2 2 ) ( p ? m 2 ) ? 2m 2 p 2 2 ? m2 p 2k 2 (

mp ? 2 pm ? 2m2 p 2 ?0 m2 p 2 k 2 1 1 2 ? ? ∴ Sm S p Sk ?
(1)求数列 ?an ? 的通项公式 an ; (2) 设数列 {cn } 对任意 n ? N * , 都有 值. (3) 在数列 {dn } 中,d1 ? 1 , 且满足

14.已知递增的等差数列 {an } 的首项 a1 ? 1 ,且 a1 、 a2 、 a4 成等比数列.

c c1 c2 ? 2 ? ? ? n ? an ?1 成立,求 c1 ? c2 ? ? ? c2012 的 2 2 2n

dn 求下表中前 n 行所有数的和 S n . ? an ?1 (n ? N * ) , d n ?1 d1d1 d2 d1d 2 d 2 d1 d3 d3
……

d1d n d n ?1

d 2 d n ?1 dd d d …… k n ? k ?1 …… n 1 d n ?1 d n ?1 d n ?1

14.解: (1)∵ ?an ? 是递增的等差数列,设公差为 d
2 ? a1 、 a2 、 a4 成等比数列,∴ a2 =a1 ?a4

(d ? 0) ……………………1 分
……………………2 分



( 1? d 2) ? ? ?1 d 3 及 d ? 0 得 1 ( )

d ?1

……………………………3 分 ……………………………4 分

∴ an ? n(n ? N*) (2)∵ an?1 ? n ? 1, 当 n ? 1 时,

c c1 c2 ? 2 ?? ? n ? n ?1 2 2 2n

对 n ? N * 都成立

c1 ? 2 得 c1 ? 4 ……………………………5 分 2 c c c c c c 当 n ? 2 时,由 1 ? 2 ? ? ? n ? n ? 1 ①,及 1 ? 2 ? ? ? n ?1 ? n ② 2 n 2 2 2 2 2 2 2n ?1 c ①-②得 n ? 1 ,得 cn ? 2n …………………7 分 2n
∴ cn ? ?

? 4 (n ? 1) n ?2 (n ? 2)
2 3 2012

…………………8 分

∴ c1 ? c2 ? ? ? c2012 ? 4 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 (3)∵

? 4?

22 (1 ? 22011 ) ? 22013 ……………10 分 1? 2

dn d d d d ∴ 1 ? 2 ? 3 ?? n ? 2 ? 3 ? 4 ??? (n ? 1) ? an ?1 ? n ? 1 d 2 d3 d 4 d n?1 d n ?1 1 又∵ d1 ? 1 ∴ dn ? ………………………………13 分 n! dd (n ? 1)! k ∵ k n ?k ?1 ? ………………………………14 分 ? Cn?k ?1 (k ? 1, 2, ? n) dn?1 k !(n ? k ? 1)!
∴第 n 行各数之和

d1dn d2 dn?1 dd 1 2 n ? ? ? ? n 1 ? Cn?1 ? Cn?1 ? ?? ? Cn?1 ? 2n?1 ? 2(n ? 1, 2 ?) …………16 分 dn?1 dn?1 dn?1
∴表中前 n 行所有数的和

Sn ? (22 ? 2) ? (23 ? 2) ? ?? (2 n?1 ? 2) ? 2 2 ? 23 ? ?? 2 n?1 ? 2 n
? 22 (2n ? 1) ? 2n ? 2 n ? 2 ? 2 n ? 4 2 ?1
……………………………18 分


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