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高中数学 第一章 立体几何初步 1.3 三视图学案 北师大版必修2

§3 三视图
学习目标 1.理解三视图的概念;能画出简单空间图形的三视图(重点);2.了解简单组合体 的组成方式,会画简单几何体的三视图(重点);3.能识别三视图所表示的立体模型(重、难 点).
知识点一 组合体 (1)定义:由基本几何体生成的几何体叫作组合体. (2)基本形式:有两种,一种是将基本几何体拼接成组合体;另一种是从基本几何体中切掉 或挖掉部分构成组合体. 【预习评价】 描述下列几何体的结构特征.
提示 图①所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体;图②所示的几何体是由一个圆台 挖去一个圆锥得到的组合体;图③所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的 组合体. 知识点二 三视图 (1)空间几何体的三视图是指主视图、左视图、俯视图. (2)三视图的排列规则是俯视图放在主视图的下方,长度与主视图一样,左视图放在主视图 的右面,高度与主视图一样,宽度与俯视图的宽度一样. (3)三视图的主视图、俯视图、左视图分别是从正前方、正上方、正左侧观察同一个几何体, 所画出的空间几何体的平面图形. 【预习评价】 (1)画三视图时一定要求光线与投影面垂直吗? 提示 是.由画三视图的规则要求可知光线与投影面垂直. (2)三视图中的三个图形一般怎样排列?对于一般的几何体,几何体的主视图、左视图和俯 视图的长度、宽度和高度有什么关系? 提示 三视图的排列规则是:俯视图放在主视图的下面,长度与主视图一样,左视图放在主 视图的右面,高度与主视图一样,宽度与俯视图的宽度一样.为了便于记忆,通常说:“长 对正,高平齐,宽相等”或说“主俯一样长,主左一样高,俯左一样宽”.
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题型一 画空间几何体的三视图 【例 1】 如图是按不同方式放置的同一个圆柱,阴影面为正面,画出其三视图.
解 三视图分别如图所示.
规律方法 画三视图应遵循的原则和注意事项: (1)务必做到“长对正,高平齐,宽相等”. (2)三视图的排列方法是主视图与左视图在同一水平位置,且主视图在左,左视图在右,俯 视图在主视图的正下方. (3)在三视图中,要注意实、虚线的画法. (4)画完三视图草图后,要再对照实物图来验证其正确性. 【训练 1】 画出图中棱柱的三视图(不考虑尺寸).
解 此棱柱的上、下底面是全等的两个等腰梯形,各侧面均是矩形.从正前方看它的轮廓是 一个矩形,有两条不可见侧棱,从正左侧看它的轮廓是一个矩形,从上向下看它的轮廓是一 个梯形.可见轮廓线用实线,不可见侧棱用虚线画出,它的三视图如图所示.
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题型二 简单组合体的三视图 【例 2】 如图是球放在圆筒上形成的组合体,画出它的三视图.
解 它的三视图如图所示:
规律方法 在绘制简单组合体的三视图时,首先要分析组合体是由哪几部分组成,各部分是 怎样的简单几何体以及它们的相对位置;其次要注意实线、虚线的处理. 【训练 2】 如图,设所给的方向为物体的正前方,试画出它的三视图. 解 三视图如下:
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【探究 1】 根据以下三视图想象物体原形,并画出物体的实物草图.

解 此几何体上面可以为圆柱,下面可以为圆台,所以实物草图可以如图.

【探究 2】 如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几

何体的三视图,则这个几何体是( )

A.三棱锥

B.三棱柱

C.四棱锥

D.四棱柱

解析 如图,几何体为三棱柱.

答案 B 【探究 3】 一个几何体由几个相同的小正方体组合而成,它的主视图、左视图、俯视图如 图,则这个组合体包含的小正方体的个数是( )

A.7

B.6

C.5

D.4

解析 由三视图可知,该几何体共两层,下层有四个小正方体,上层有一个小正体,共五个,

4

其实物图如图所示.故选 C.
答案 C 【探究 4】 某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为( )

A.1

B. 2

C. 3

D.2

解析 由题中三视图知,此四棱锥为正方体的一部分,如图中的四棱锥 S-ABCD,其中正方

体的棱长为 1,所以四棱锥最长棱的棱长为 SC= 3.

答案 C 规律方法 由三视图还原空间几何体的步骤:

课堂达标 1.如图所示,下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是( )
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A.①②

B.①③

C.①④

D.②④

解析 在各自的三视图中①正方体的三个视图都相同;②圆锥有两个视图相同;③三棱台的

三个视图都不同;④正四棱锥有两个视图相同.

答案 D

2.将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的左视图为( )

解析 从左往右看,主体的轮廓是一个长方形,长方体的对角线可以看见,且该对角线是从 左下角往右上角倾斜的. 答案 D 3.如图所示,桌面上放着一个半球,则它的三视图中,与其他两个视图不同的是________(填 “主视图”“左视图”或“俯视图”).
解析 该半球的主视图与左视图均为半圆,而俯视图是一个圆,所以俯视图与其他两个视图 不同. 答案 俯视图 4.一几何体的直观图如图所示,下列给出的四个俯视图中正确的是________.
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解析 该几何体是组合体,上面的几何体是一个五面体,下面是一个长方体,且五面体的一 个面即为长方体的一个面,五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等, 因此填②. 答案 ② 5.画出下面的三视图表示的物体形状.
解 几何体为三棱台,结构特征如图:
课堂小结 1.三视图的主视图、左视图、俯视图是分别从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体 画出的轮廓线,画几何体三视图的要求是主视图、左视图长对正,主视图、左视图高平齐, 俯视图、左视图宽相等,前后对应,画出的三视图要检验是否符合“长对正、高平齐、宽相 等”的基本特征. 2.几何体的三视图的画法为:先画出的两条互相垂直的辅助坐标轴,在第二象限画出主视图; 根据“主、俯两图长对正”的原则,在第三象限画出俯视图;根据“主、左两图高平齐”的 原则,在第一象限画出左视图. 3.看得见部分的轮廓线画实线,看不见部分的轮廓线画虚线.
基础过关 1.下列说法正确的是( ) A.任何物体的三视图都与物体的摆放位置有关 B.任何物体的三视图都与物体的摆放位置无关
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C.有的物体的三视图与物体的摆放位置无关 D.正方体的三视图一定是三个全等的正方形 解析 对于 A,球的三视图与物体摆放位置无关,故 A 错;对于 B,D,正方体的三视图与摆 放位置有关,故 B,D 错;故选 C. 答案 C 2.在一个几何体的三视图中,主视图和俯视图如图所示,则相应的左视图可以为( )
解析 由几何体的主视图和俯视图可知,该几何体的底面为半圆和等腰三角形,其左视图可 以是一个由等腰三角形及底边上的高构成的平面图形. 答案 D 3.一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的主视图与左视图分别如图所示,则该几何体 的俯视图为( )
解析 由三视图中的主视图、左视图得到几何体如图所示,所以该几何体的俯视图为 C.
答案 C 4.若一个正三棱柱的三视图如图所示,则这个三棱柱的高(两底面之间的距离)和底面边长分 别是________和________.
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解析 三棱柱的高同左视图的高,左视图的宽度恰为底面正三角形的高,故底面边长为 4. 答案 2 4 5.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 P 是上底面 A1B1C1D1 内一动点,则三棱锥 P-ABC 的 主视图与左视图的面积的比值为________.
解析 依题意得三棱锥 P-ABC 的主视图与左视图分别是一个三角形,且这两个三角形的底 边长都等于正方体的棱长,底边上的高也都等于正方体的棱长,因此三棱锥 P-ABC 的主视 图与左视图的面积的比值为 1. 答案 1 6.已知如下三视图,试分析该几何体结构特征并画出物体的实物草图.
解 由三视图可知该几何体为四棱锥 P-ABCD,对应空间几何体如图:PA⊥AB,PA⊥AD, AB⊥AD.
7.用小立方体搭成一个几何体,使它的主视图和俯视图如图所示,搭建这样的几何体,最多 要几个小立方体?最少要几个小立方体?
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解 由于主视图中每列的层数即是俯视图中该列的最大数字,因此,用的立方块数最多的情 况是每个方框都用该列的最大数字,即如图①所示,此种情况共用小立方块 17 块.
而搭建这样的几何体用方块数最少的情况是每列只要有一个最大的数字,其他方框内的数字 可减少到最少的 1,即如图②所示,这样的摆法只需小立方块 11 块.
能力提升 8.如图所示,正三棱柱 ABC-A1B1C1 的主视图是边长为 4 的正方形,则此正三棱柱的左视图 的面积为( )

A.8 3

B.4 3

C.2 3

D.16

解析 由主视图可知三棱柱的高为 4,底面边长为 4,所以底面正三角形的高为 2 3,所以

左视图的面积为 4×2 3=8 3.故选 A. 答案 A 9.已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形,则该正方体的主视图的面积不 可能等于( )

A.1

B. 2

2-1 C. 2

2+1 D. 2

解析 由题意知正方体的底面水平放置.当主视图为正方形时,其面积最小为 1;当主视图

为对角面时,其面积最大为 2.则正方体的主视图的面积的范围为[1, 2].而 22-1<1,故

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C 不可能. 答案 C 10.一个锥体的主视图和左视图如图所示,下列选项中不可能是该锥体的俯视图的是( )
解析 在三视图中,俯视图的宽度应与左视图的宽度相等,而在选项 C 中,其宽度为 23, 与题中所给的左视图的宽度为 1 不相等,故选 C. 答案 C 11.一块石材表示的几何体的三视图如图所示,将该石材切削、打磨、加工成球,则能得到 的最大球的半径等于____________.
解析 由图可得该几何体为三棱柱,因为主视图、左视图、俯视图的内切圆最小的是主视图 (直角三角形)所对应的内切圆,所以最大球的半径为主视图中直角三角形的内切圆的半径 r.由题意,得 8-r+6-r= 82+62. 解得 r=2. 答案 2 12.一个物体由几块相同的正方体组成,其三视图如图所示,试据图回答下列问题:
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(1)该物体有多少层? (2)该物体的最高部分位于哪里? (3)该物体一共由几个小正方体构成? 解 (1)该物体一共有两层,从主视图和左视图都可以看出来. (2)该物体最高部分位于左侧第一排和第二排. (3)从左视图及俯视图可以看出,该物体前后一共三排,第一排左侧 2 个,右侧 1 个;第二 排左侧 2 个,右侧没有;第三排左侧 1 个,右侧 1 个.该物体一共由 7 个小正方体构成. 13.(选做题)某几何体的一条棱长为 7,在该几何体的主视图中,这条棱的投影是长为 a 的 线段,在该几何体的左视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为 6和 b 的线段,求 a2+ b2 的值. 解 如图所示,设长方体的长、宽、高分别为 m,n,k,体对角线长为 7,体对角线在三个 相邻面上的投影长分别为 a, 6,b.

则由题意,得 m2+n2+k2= 7,

n2+k2= 6,解得 m=1 或 m=-1(舍去),

? k2+1=a, 则?
? n2+1=b,

所以(a2-1)+(b2-1)=6,即 a2+b2=8.

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