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高二数学试卷 一、选择题（共 12 小题，共 60 分） 1．命题“若 a?A，则 b∈B”的否命题是( A．若 a?A，则 b?B C．若 b∈B，则 a?A 2．下列说法中正确的是( )． )． B．若 a∈A，则 b?B D．若 b?B，则 a?A

A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真 B． “a>b”与“a＋c>b＋c”不等价 C． “若 a ＋b ＝0，则 a，b 全为 0”的逆否命题是“若 a，b 全不为 0，则 a ＋b ≠0” D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真 3． “|x|＝|y|”是“x＝y”的( A．充分不必要条件 C．充要条件 4．下列命题中的假命题是( A．?x∈R，2

x－1

2 2 2 2

)． B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 )． B．?x∈N ，(x－1) >0 D．?x0∈R，tan x0＝2 )．

* 2

>0

C．?x0∈R，lg x0<1 5．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( A．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数 x，使 x ≤0 C．两个无理数的和必是无理数 1 D．存在一个负数 x，使 >2

2

x

6．若抛物线 y ＝8x 上一点 P 到其焦点的距离为 10，则点 P 的坐标为( A．(8，8) C．(8，±8) B．(8，－8) D．(－8，±8)

2

)．

7．如图所示，直线 l：x－2y＋2＝0 过椭圆的左焦点 F1 和一个顶点 B，该椭圆的离心率为 ( A. C. 1 5 5 5

2 2

)． B. D. )． C. 2 2 2 D. 3 2 5 2 5 5

8．椭圆 x ＋4y ＝1 的离心率为( A. 3 2 3 B. 4

9． ．已知椭圆 C 的左、右焦点坐标分别是(－ 2，0)，( 2，0)，离心率是 方程为( A. ＋y ＝1 3 C. ＋ ＝1 3 2 )． B．x ＋ ＝1 3 D. ＋ ＝1 2 3

2

6 ，则椭圆 C 的 3

x2

2

y2

x2 y2

x2 y2

10.如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E、F、G、H 分别为 AA1、AB、BB1、BC1 的中点， 则异面直线 EF 与 GH 所成的角等于（ ） A.45° B.60° C.90° D.120°

11．设 l ， m ， n 均为直线，其中 m ， n 在平面 ? 内， “ l ? ? ”是 l ? m 且“ l ? n ”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

' ' ' ' 0 ' 12 ．已知平行六面体 ABCD ? A B C D 中， AB=4 ， AD=3 ， AA ? 5 ， ?BAD ? 90 ，

?BAA' ? ?DAA' ? 600 ，则 AC ' 等于

A． 85 B．85

（） C． 5 2 D．50

二、填空题（共 4 题，每题 5 分） 13．若直线 ax－y＋1＝0 经过抛物线y 2 ＝4x 的焦点，则实数 a＝________. 14．命题 p：?x0∈R，x0＋2x0＋4<0 的否定为：________．

2

15. 如图，在正四棱柱 ABCD－ A?B ?C ?D ? 中

(底面是正方形的直棱柱)，侧棱 AA? = 3 ， AB ?

2，

则二面角 A? ? BD ? A 的大小为 16． 在正四面体 ABCD 中， E 为棱 AD 的中点， 则 CE 与平面 BCD 所成角的正弦值为_________ 三、解答题（本大题共 4 小题，满分 40 分，解答题写出必要的文字说明、推演步骤。） 2 2 17 已知：p：方程 x ＋mx＋1＝0 有两个不等的负实数根；q：方程 4x ＋4(m－2)x＋1＝0 无 实数根，若“p∨q”为真命题，且“p∧q”是假命题，求实数 m 的取值范围．

18.（本题 10 分）已知椭圆焦点在 x 轴上，短轴长为 2，离心率 e=

2 2 ,过左焦点 F1 倾斜角 3

为

? 的直线交椭圆于 A、B 两点。求： 。 6

(1 求)椭圆的方程 (2)求弦 AB 的长 19..已知空间三点 A(-2， -1， 1)， B(-1， 1， 2)， C(-3， 0， -1)， 设 a = AB , b ? AC . （本题 10 分）

(1)求 a 和 b 的夹角的余弦; (2)若向量 k a + b 与 k a -2 b 互相垂直，求 k 的值． 20. （ 本 题 10 分 ） 如 图 ， 在 棱 长 为 1 的 正 方 体

ABCD ? A1 B1C1 D1 中:

（1） 求异面直线 BC1 与 AA 1 所成的角的大小； （2） 求证： B1 D ? 平面A1C1 B 。

一、选择题（每小题 5 分共 60 分） 1-5.B,D,B,B,B 6-10.C,D,A,A,B 11-12.A,A 二、填空题（每题 5 分共 20 分） 2 13.－1. 14.?x∈R，x ＋2x＋4≥0 15.

? 3

16

2 3

三、解答题（本大题共 4 小题，满分 40 分，解答题写出必要的文字说明、推演步骤。） Δ ＝m －4>0 ? ?－m<0 p：方程 x ＋mx＋1＝0 有两个不等的负实数根?? ?m>2. m ? ?－2<0

2 2

17.解

q：方程 4x2＋4(m－2)x＋1＝0 无实数根

?Δ ＝16(m－2) －16<0?1<m<3.

2

∴綈 p：m≤2，綈 q：m≤1 或 m≥3. ∵“p∨q”为真命题，且“p∧q”是假命题， ∴p 为真且 q 为假，或 p 为假且 q 为真． (1)当 p 为真且 q 为假时，即 p 为真且綈 q 为真， ∴?

? ?m>2，

?m≤1或m≥3 ?

解得 m≥3；

(2)当 p 为假且 q 为真时，即綈 p 为真且 q 为真 ∴?

? ?m≤2， ?1<m<3 ?

解得 1<m≤2.

综上所述，实数 m 的取值范围是(1，2]∪[3，＋∞)．

a ? 3 , b ? 1 , c ? 2 2 18【答案】?

? 直 线 AB的 方 程 为 y ? 代 入 x 得 4x

2 2

3 3

(x ? 2

2 )

? 9 y ? 12

2

2

? 9 ? 0 15 4 15? ? 2 4 ? ?

2 x ? 15 ? 0. 2 , x1? x

2 2

则 x1 ? x ? | A B |? ? ? x ?

? ?3 (1 ? k (1 ? 1 3

2

?

2

)( x

2

? x1) 2 ) 3

2

? )?(3 ? ? ?

? 4?

M 19.解： (1)∵ 2 a ? AB =(1 2 ，2，1)， b ? AC =(-1，1，-2)

x1 ? x

3

∴cosθ =

a?b | a || b |

?

?1? 2 ? 2 6 6

1 ?? , 6

(2)∵向量 k a + b 与 k a -2 b 互相垂直， ∴(k a + b )∪(k a -2 b )=0 即(k-1)(k+2)+(2k+1)(2k-2)+(k-2)(k+4)=0， 2 化简得：6k +k-12=0，

4 3 或 k= ? 3 2 20.（1）解：∵AA1∥BB1， ∴异面直线 BC1 与 AA1 所成的角就是 BC1 与 BB1 所成的角，即∠B1BC1=45o， 故异面直线 BC1 与 AA1 所成的角为 45o （3）证明：如图，连结 BD、B1D1 ， ∵A1B1C1D1 是正方形， ∴A1C1⊥B1D1， 又∵BB1⊥底面 A1B1C1D1，A1C1 ? 底面 A1B1C1D1，

解得：k=

∴A1C1⊥BB1， ∴A1C1⊥平面 BB1D1D， ∴B1D⊥A1C1，同理可证：B1D⊥BC1，且 A1C1∩BC1= C1 故 B1D⊥平面 A1C1B

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