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理科测试题必修2


2012-2013 学年山西省太原五中高二(下)3 月月考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共 10 小题.每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的.答案填在答卷纸上. 1. (3 分)下面是关于复数 A. z 的虚部为 的四个命题,其中真命题为( C.|z|=2 ) D.

B.z 为纯虚数

考点: 复数代数形式的混合运算;复数的基本概念. 专题: 计算题. 分析: 2 由条件可得 A、B、C 都不正确.求得 z =﹣ ﹣ 解答: 解:∵ 复数 求得 z = + i ﹣
2 2

i= ,从而得出结论.

,可得 z 的虚部为 i=﹣ ﹣ i= ,

,|z|=1,z 不是纯虚数,故 A、B、C 都不正确.

故选 D. 点评: 本题主要考查复数的基本概念,复数的乘方,属于基础题. 2. (3 分) (2010?安庆模拟)i 是虚数单位.已知 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 ,则复数 Z 对应点落在( D.第四象限 )

考点: 复数代数形式的混合运算;复数的基本概念. 专题: 计算题. 分析: 首先进行复数的除法运算和乘方运算,分子和分母同乘以分母的共轭复数,整理成最简形式,写出 复数对应的点的坐标,根据坐标看出位置. 解答: 解:∵ = = =﹣4+i

∴ 对应的点的坐标是(﹣4,1) ∴ 复数的对应点落在第二象限, 故选 B. 点评: 本题考查复数的运算和复数的几何意义,这种题目是近几年高考卷中必出的一种题目,题目的知识 点比较简单,是一个送分题目.

3. (3 分)若函数 A.m B.﹣m

在 x0 处的导数等于 0,那么 x0 等于( C.±m

) D.m2

考点: 函数在某点取得极值的条件. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 利用求导数的公式和导数的运算法则,得导函数,又由 f′ (x0)=0,所得到的解即为本题答案. 解答: 解:由于函数 ,则

又由函数在 x0 处的导数等于 0,即 f′ (x0)=0,亦即 故答案为 C. 点评: 本题着重考查了求导数的公式和导数的运算法则等知识,属于基础题. 4. (3 分)下列求导数运算正确的是( A. C. ) B. (x cosx)′ =﹣2xsinx D.(2sin2x)′ =2cos2x
2

,解得 x0=±m.

考点: 导数的运算. 专题: 导数的综合应用. 分析: 利用导数的运算法则可得 A. B. (x cosx) =2xcosx﹣x sinx,即可判断出; C.∵
′ 2 ′ 2

,即可判断出;

,即可判断出;

D.∵ (2sin2x) =4cos2x,即可判断出. 解答: 解:A.∵
2 ′ 2

,∴ A 不正确;

B.∵ (x cosx) =2xcosx﹣x sinx,∴ B 不正确; C.∵


,因此 C 正确;

D.∵ (2sin2x) =4cos2x,因此 D 不正确. 故选 C. 点评: 熟练掌握导数的运算法则是解题的关键. 5. (3 分)用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时,假设正确的是( A.假设至少有一个钝角 B. 假设没有一个钝角 C. 假设至少有两个钝角 D.假设没有一个钝角或至少有两个钝角 考点: 反证法与放缩法. 专题: 应用题. )

分析: 根据命题“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两个钝角”,从而得出结论. 解答: 解:由于命题“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两个钝角”, 故用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时,应假设至少有两个钝角, 故选 C. 点评: 本题考查用反证法证明数学命题,把要证的结论进行否定,得到要证的结论的反面,是解题的突破 口. 6. (3 分)用火柴棒摆“金鱼”,如图所示:按照上面的规律,第 n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( )

A.6n﹣2

B.8n﹣2

C.6n+2

D.8n+2

考点: 归纳推理. 专题: 规律型. 分析: 由图形间的关系可以看出,每多出一个小金鱼,则要多出 6 根火柴棒,则组成不同个数的图形的火 柴棒的个数组成一个首项是 8,公差是 6 的等差数列,写出通项,求出第 n 项的火柴根数. 解答: 解:∵ 第一个图中有 8 根火柴棒组成, 第二个图中有 8+6 个火柴棒组成, 第三个图中有 8+2×6 个火柴组成, 以此类推 组成 n 个系列正方形形的火柴棒的根数是 8+6(n﹣1) ∴ 第 n 个图中的火柴棒有 6n+2 故选 C. 点评: 本题考查归纳推理,考查等差数列的通项,解题的关键是看清随着小金鱼的增加,火柴的根数的变 化趋势,看出规律.

7. (3 分) (2005?朝阳区一模)定义运算 A.3﹣i B.1+3i

,则符合条件 C.3+i

的复数 z 为( D.1﹣3i



考点: 二阶行列式的定义;复数代数形式的混合运算. 专题: 计算题. 分析: 根据定义,将已知转化,可以得出 z(1+i)=4+2i,再利用复数的除法运算法则求出复数 z 即可. 解答: 解: 根据定义, 可知 1×zi﹣ (﹣1) ×z=4+2i, 即( z 1+i) =4+2i, ∴ z= = =3 ﹣i. 故选 A. 点评: 本题考查了复数的代数运算,利用所给的定义将已知转化为 z(1+i)=4+2i 是关键. 8. (3 分) (2013?浙江模拟)设函数 f(x)=x ﹣4x+a,0<a<2.若 f(x)的三个零点为 x1,x2,x3,且 x1<x2<x3,则( ) A.x1>﹣1 B.x2<0 C.x2>0 D.x3>2 考点: 利用导数研究函数的极值;函数的零点.
3

专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用导数研究函数的单调性,利用导数求函数的极值,再根据 f (x)的三个零点为 x1,x2,x3,且 x1<x2<x3,求得各个零点所在的区间,从而得出结论. 解答: 3 2 解:∵ 函数 f (x)=x ﹣4x+a,0<a<2,∴ f′ (x)=3x ﹣4.令 f′ (x)=0 可得 x= . ∵ 当 x<﹣ >0. 故函数在(∞,﹣ 函数. 故 f(﹣ )是极大值,f( )是极小值. ,﹣ <x2< ,x3 )上是增函数,在(﹣ , )上是减函数,在( ,+∞)上是增 时,f′ (x)>0;在(﹣ , )上,f′ (x)<0;在( ,+∞)上,f′ (x)

再由 f (x)的三个零点为 x1,x2,x3,且 x1<x2<x3,可得 x1<﹣ > . )=a﹣ <0,可得 >x2>0.

根据 f(0)=a>0,且 f(

故选 C. 点评: 本题主要考查函数的零点的定义,函数的零点与方程的根的关系,利用导数研究函数的单调性,利 用导数求函数的极值,属于中档题. 9. (3 分) (2013?烟台二模)设 p:f(x)=lnx+2x +mx+1 在(0,+∞)内单调递增,q:m≥﹣5,则 p 是 q 的( ) A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 阅读型. 分析: 先利用导数求命题 f(x)=lnx+2x2+mx+1 在(0,+∞)内单调递增的充要条件,再利用充要条件的 定义判断结果即可 解答: 2 解:若 f(x)=lnx+2x +mx+1 在(0,+∞)内单调递增,则 f′ (x)= +4x+m≥0 在(0,+∞)上恒 成立 即 m≥﹣( +4x)在(0,+∞)上恒成立 ∵ ﹣( +4x)≤﹣2 =﹣4
2

∴ m≥﹣4,∵ {m|m≥﹣4}?{m|m≥﹣5} ∴ p 是 q 的充分不必要条件 故选 A 点评: 本题考查了充要条件的定义运用和导数在函数单调性中的应用,解题时要注意已知函数单调性,求 参数范围题型的解决办法 10. (3 分)对于三次函数 f(x)=ax +bx +cx+d(a≠0) ,定义 f″ (x)是 y=f(x)的导函数 y=f′ (x)的导 函数,若方程 f″ (x)=0 有实数解 x0,则称点(x0,f(x0) )为函数 y=f(x)的“拐点”.有的同学发现“任
3 2

何三次函数都有‘拐点’;任何三次函数都有对称中心;且对称中心就是‘拐点’”.请你根据这一发现判断下列 命题: (1)任意三次函数都关于点 对称;

(2)存在三次函数,f'(x)=0 有实数解 x0, (x0,f(x0) )点为函数 y=f(x)的对称中心; (3)存在三次函数有两个及两个以上的对称中心; (4)若函数 ,则

其中正确命题的序号为( ) A.(1) (2) (4) B.(1) (2) (3) (4) 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 新定义. 分析: (1)利用新定义,可知(1)正确; (2)由(1)知,x0=﹣

C.(1) (2) (3)

D.(2) (3)

,代入 f'(x)=0,可得 b =3ac,由此可得结论;

2

(3)由(1)知,三次函数有且只有一个对称中心; (4)求出对称中心,即可得到结论. 2 解答: 解: (1)由题意,f′ (x)=3ax +2bx+c(a≠0) ,∴ f″ (x)=6ax+2b(a≠0) , ∴ 令 f″ (x)=0,可得 x=﹣ 确; (2)由(1)知,x0=﹣ ,代入 f'(x)=0,可得 ,∴ b =3ac,此时,存
2

,∴ 任意三次函数都关于点

对称,故(1)正

在三次函数,f'(x)=0 有实数解 x0, (x0,f(x0) )点为函数 y=f(x)的对称中心,故(2)正确; (3)由(1)知,三次函数有且只有一个对称中心,即不存在三次函数有两个及两个以上的对称中 心,故(3)不正确; (4)∵ ∴ g″ (x)=2x﹣1 令 g″ (x)=0,可得 x= ,∴ g(1)=﹣ ∴ ∴ g(x)+g(1﹣x)=﹣1 ∴ ,即(4)正确, 的对称中心为 ,∴ g′ (x)=x ﹣x
2

故选 A. 点评: 本小题考查新定义,考查函数与导数等知识,考查化归与转化的数学思想方法,考查计算能力,属 于中档题. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 20 分.将答案填在答卷纸上. 11. (4 分)若(1+i) (2﹣i)=a+bi,其中 a,b∈R,i 为虚数单位,则 a+b= 4 .

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 计算题. 分析: 由条件可得 3+i=a+bi,根据两个复数相等的充要条件气的 a 和 b 的值,即可求得 a+b 的值. 解答: 解:∵ (1+i) (2﹣i)=a+bi,即 3+i=a+bi,∴ a=3,b=1,∴ a+b=4, 故答案为 4. 点评: 本题主要考查两个复数代数形式的乘除法,虚数单位 i 的幂运算性质,两个复数相等的充要条件, 属于基础题.

12. (4 分) (2013?深圳二模)若直线 y=kx 是 y=lnx 的切线,则 k=



考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 计算题. 分析: 欲 k 的值,只须求出切线的斜率的值即可,故先利用导数求出在切处的导函数值,再结合导数的几 何意义即可求出切线的斜率.从而问题解决. 解答: 解:∵ y=lnx, ∴ y'= ,当 x=1 时, 设切点为(m,lnm) ,得切线的斜率为 ,

所以曲线在点(m,lnm)处的切线方程为: y﹣lnm= ×(x﹣m) . 它过原点,∴ ﹣lnm=﹣1,∴ m=e, ∴ 故答案为: . 点评: 本小题主要考查直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识,考 查运算求解能力.属于基础题. 13. (4 分)在 Rt△ OAB 中,∠ O=90°,则 cos A+cos B=1.根据类比推理的方法,在三棱锥 O﹣ABC 中, 2 2 2 OA⊥ OB,OB⊥ OC,OC⊥ OA,α、β、γ 分别是三个侧面与底面所成的二面角,则 cos α+cos β+cos γ=1 . 考点: 类比推理;二面角的平面角及求法. 专题: 空间角. 分析: 确定三个侧面两两互相垂直,利用类比的方法,即可得到结论. 解答: 2 2 解:在 Rt△ OAB 中,cos A+cos B= = =1. ∵ OA⊥ OB,OB⊥ OC,OC⊥ OA,∴ 三个侧面两两互相垂直, 于是类比到三棱锥 O﹣ABC 中,猜想三棱锥 O﹣ABC 中,若三个侧面分别与底面所成的角为 α、β、 2 2 2 2 2 2 γ,则 cos α+cos β+cos γ=1.故答案为 cos α+cos β+cos γ=1. 点评: 本题考查类比推理,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 14. (4 分)已知 R 上可导函数 f(x)的图象如图所示,则不等式(x ﹣2x﹣3)f′ (x)<0 的解集 (1, 3) .
2 2 2

考点: 导数的运算;函数的图象. 专题: 导数的综合应用. ′ 分析: 由 f(x)的图象可知:当 x<﹣1 或 x>1 时,函数 f(x)单调递增,f (x)>0;当﹣1<x<1 时, ′ 函数 f(x)单调递减,f (x)<0. 不等式(x ﹣2x﹣3)f′ (x)<0 可化为
2




解出即可.

解答: 解:由 f(x)的图象可知:当 x<﹣1 或 x>1 时,函数 f(x)单调递增,∴ f (x)>0;当﹣1<x< ′ 1 时,函数 f(x)单调递减,f (x)<0. 不等式(x ﹣2x﹣3)f′ (x)<0 可化为
2



化为





解得?或 1<x<3. 2 ∴ 不等式(x ﹣2x﹣3)f′ (x)<0 的解集是(1,3) . 故答案为(1,3) . 点评: 熟练掌握函数的单调性与当时的关系、不等式的解法、数形结合的思想方法是解题的关键. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (10 分)已知函数 y=x +ax ﹣5x+b 在 x=﹣1 处取得极值 2. (I)求实数 a 和 b; (Ⅱ )求 f(x)的单调区间. 考点: 利用导数研究函数的单调性;函数在某点取得极值的条件. 专题: 导数的概念及应用. 分析: (I)先求函数 f(x)的导函数,再根据函数 f(x)在 x=﹣1 处取得极值 2 得到,解方程即可; (Ⅱ )在函数的定义域内解不等式 fˊ (x)>0 和 fˊ (x)<0,求出单调区间即可. 2 解答: 解: (1)由于 f'(x)=3x +2ax﹣5 而函数 y=x +ax ﹣5x+b 在 x=﹣1 处取得极值 2,则 f'(﹣1)=0,f(﹣1)=2 即 解得
3 2 3 2

故实数 a 和 b 都为﹣1; 2 (2)由于 f′ (x)=3x +2ax﹣5=(3x﹣5) (x+1) 若令 f′ (x)>0,则 ;若令 f (x)<0,则


. .

故f (x) 的单调递增区间为: (﹣∞, ﹣1) ,

; f (x) 的单调递减区间为:

点评: 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性,以及函数的零点和函数在某点取得极值的条件,属于 基础题. 16. (10 分)数列{an}的通项 an=(﹣1) a1=1 a1+a2=1﹣4=﹣3=﹣(1+2) a1+a2+a3=1﹣4+9=6=1+2+3 …
n+1

?n ,观察以下规律:

2

试写出求数列{an}的前 n 项和 Sn 的公式,并用数学归纳法证明. 考点: 数学归纳法;归纳推理. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 先根据所给等式,猜想结论,再根据数学归纳法的证题步骤,即可得到结论. 解答: n+1 解:Sn=a1+a2+a3+…+an=(﹣1) ? 证明: (1)当 n=1 时,Sn=1 命题成立; (2)假设当 n=k 时命题成立,即 Sk=(﹣1) 则当 n=k+1 时,Sk+1=Sk+ak+1=(﹣1) =(﹣1)
k+2 k+1 k+1

? +(﹣1)
k+2

?

?(k+1) ,

2

,即命题也成立 综上(1) (2) ,命题成立. 点评: 本题考查数学归纳法,考查学生归纳推理能力,属于中档题. 17. (10 分)已知函数 .

(Ⅰ )求函数 f(x)的最小值; (Ⅱ )证明:对任意 m,n∈(0,+∞) ,都有 f(m)≥g(n)成立. 考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 导数的综合应用. 分析: ′ (I)利用导数的运算法则可得 f (x)=lnx+1(x>0) ,进而得到当 时,函数 f(x)的单调性及极小值,也即最小值. (II)由(I)可知: 对任意 n∈(0,+∞) ,都有 .同理利用导数即可得到 g(x)的极大值即最大值.只要证明 即可.

时与当

′ 解答: (I)解:∵ f(x)=xlnx,∴ f (x)=lnx+1(x>0) ,

当 当

时,f (x)<0,函数 f(x)单调递减; 时,f (x)>0,函数 f(x)单调递增.




因此,当 x= 时,函数 f(x)取得极小值,也即最小值, (II)证明:由(I)可知: .

=

=﹣ .

由 g(x)=

,得




当 x∈(0,1)时,g (x)>0,函数 g(x)单调递增; ′ 当 x∈(1,+∞)时,g (x)<0,函数 g(x)单调递减. ∴ 函数 g(x)在 x=1 时取得极大值即最大值, .

∴ 对任意 m,n∈(0,+∞) ,都有 f(m)≥g(n)成立. 点评: 熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值等是解题的关键.

18. (12 分)设曲线

(其中 a>0)在点(x1,f(x1) )及(x2,f(x2) )处的切线

都过点(0,2) .证明:当 x1≠x2 时,f′ (x1)≠f′ (x2) 考 利用导数研究曲线上某点切线方程. 点: 专 导数的综合应用. 题: 分 根据 ,f′ (x)=x2﹣ax,由于点(t,f(t) )处的切线方程为 y﹣f(t)=f'(t) 析: (x﹣t) ,而点(0,2)在切线上,所以 2﹣f(t)=f'(t) (﹣t) ,由此利用反证法能够证明 f'(x1)≠f' (x2) . 解 2 解:f(x)= ,f'(x)=x ﹣ax. 答: 由于点(t,f(t) )处的切线方程为 y﹣f(t)=f'(t) (x﹣t) ,而点(0,2)在切线上,所以 2﹣f(t)=f'(t) (﹣t) , 化简得 ,

由于曲线 y=f(x)在点(x1,f(x1) )及(x2,f(x2) )处的切线都过点(0,2) , 即 x1,x2 满足方程 下面用反证法证明结论: 假设 f'(x1)=f'(x2) ,

则下列等式成立:

由(3)得 x1+x2=a 由(1)﹣(2)得 又

∴ 此时

, ,与 x1≠x2 矛盾,

所以 f(x1)≠f(x2) . 点 本题主要考查函数、导数等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想. 评: 19. (12 分) (2011?湖南)设函数 f(x)=x﹣ ﹣alnx(a∈R) . (Ⅰ )讨论函数 f(x)的单调性. (Ⅱ )若 f(x)有两个极值点 x1,x2,记过点 A(x1,f(x1) ) ,B(x2,f(x2) )的直线斜率为 k.问:是 否存在 a,使得 k=2﹣a?若存在,求出 a 的值;若不存在,请说明理由. 考点: 利用导数研究函数的单调性;函数在某点取得极值的条件. 专题: 计算题;综合题;压轴题;分类讨论. 分析: (Ⅰ )求导,令导数等于零,解方程,跟据 f′ (x)f(x)随 x 的变化情况即可求出函数的单调区间; (Ⅱ )假设存在 a,使得 k=2﹣a,根据(I)利用韦达定理求出直线斜率为 k,根据(I)函数的单调 性,推出矛盾,即可解决问题. 解答: 解: (I)f(x)定义域为(0,+∞) , f′ (x)=1+
2 2



令 g(x)=x ﹣ax+1,△ =a ﹣4, ① 当﹣2≤a≤2 时,△ ≤0,f′ (x)≥0,故 f(x)在(0,+∞)上单调递增, ② 当 a<﹣2 时,△ >0,g(x)=0 的两根都小于零,在(0,+∞)上,f′ (x)>0,故 f(x)在(0, +∞)上单调递增, ③ 当 a>2 时,△ >0,g(x)=0 的两根为 x1= ,x2= ,

当 0<x<x1 时,f′ (x)>0;当 x1<x<x2 时,f′ (x)<0;当 x>x2 时,f′ (x)>0; 故 f(x)分别在(0,x1) , (x2,+∞)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减. (Ⅱ )由(I)知,a>2. 因为 f(x1)﹣f(x2)=(x1﹣x2)+ ﹣a(lnx1﹣lnx2) ,

所以 k= 又由(I)知,x1x2=1.于是 k=2﹣a ,

=1+

﹣a



若存在 a,使得 k=2﹣a,则 亦即 再由(I)知,函数 而 x2>1, 所以

=1,即 lnx1﹣lnx2=x1﹣x2, (*) 在(0,+∞)上单调递增,

>1﹣1﹣2ln1=0,这与(*)式矛盾,

故不存在 a,使得 k=2﹣a. 点评: 此题是个难题.考查利用导数研究函数的单调性和极值问题,对方程 f' (x)=0 有无实根,有实根时, 根是否在定义域内和根大小进行讨论,体现了分类讨论的思想方法,其中问题(II)是一个开放性问 题,考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力.


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