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2016年百校联盟山东省高考最后一卷(押题卷)理科数学(第八模拟)(解析版)

百校联盟 2016 年山东省高考最后一卷 (押题卷) 理科数学(第 八模拟)

一、选择题:共 10 题
1. 已知
1?i

=1+ni,其中 m,n 是实数,i 是虚数单位,则 m+ni 在复平面内对应的点到坐标原点

的距离为 A. 3 【答案】C 【解析】本题考查复数的运算、复数相等的定义等,属于基础题.将已知化简可得 m=(1+n)+ (n-1)i,或直接将等式左边的复数标准化,利用复数相等可得答案.通解 由已知可得 m=(1+ ni)(1-i)=(1+n)+(n-1)i,因为 m,n 是实数,所以 ? 1 = 0 = 2 ,故 ,即 m+ni=2+i,m+ni 在复 + 1 = = 1 B.3 C. 5 D.5

平面内对应的点为(2,1),其到坐标原点的距离为 5,故选 C.


优解

1?i

=

(1+i) 1 ?i 2

= + 2 i=1+ni,故
2





2 2

=1 =

,即

= 2 ,m+ni 在复平面内对应的点到坐标 = 1

原点的距离为 22 + 12 = 5.

2.若集合 M={y|y=2-x},P={y|y= ? 1},则

A.M=P 【答案】B

B.M?P

C.P?M

D.M∩P=?

【解析】本题考查集合间的关系及函数的值域,属于基础题.先求得集合 M,P,然后利用集 合间的关系可得正确选项.因为集合 M={y|y>0},P={y|y≥0},故 M?P,选 B.

3.已知命题 p:?x∈R,x2+5x+8>0,则?p 为

A.?x∈R,x2+5x+8<0
2 +5x +8<0 C.?x0∈R,0 0

2 +5x +8≤0 B.?x0∈R,0 0

D.?x∈R,x2+5x+8≤0

【答案】B 【解析】本题考查特称命题与全称命题、命题的否定等知识,意在考查考生对基础知识
2 的掌握情况.由全称命题的否定为特称命题可知,命题 p:?x∈R,x +5x+8>0 的否定为:?x0

2+ ∈R,0

5x0+8≤0,故选 B.

4.2016 年 3 月 15 日“国际消费者权益日”之际,物价局对某公司某种商品的广告费用 x
^ ^ 与销售额 y 进行调查,统计数据如表所示,根据图表可得回归直线方程 = + 中的 ^

=10.6,据此模型预测广告费用为 10 万元时的销售额为

^

A.112.1 万元 【答案】C

B.113.1 万元

C.111.9 万元

D.113.9 万元

^ 【解析】本题考查回归直线方程的性质与应用,根据回归直线过样本点的中心得的值,

从而求得广告费用为 10 万元时的销售额.将样本点的中心(3.5,43)代入回归直线方程得 10+5.9=111.9(万元),故选 C. =5.9,所以广告费用为 10 万元时销售额为 10.6×
^

5.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 f(x)在(-∞,0]上单调递增,设 a=f(- ),b=f(- ),c=f( ),则
4 5 3

7

9

4

a,b,c 的大小关系是 A.a<b<c 【答案】B 【解析】本题考查函数的奇偶性、单调性的应用.由已知得函数 f(x)在[0,+∞)上单调递减, 而 a=f(-4)=f(4),b=f(-5)=f(5),c=f(3),所以只需比较3,4,5的大小即可.∵f(x)是定义在 R 上的偶 函数,且 f(x)在(-∞,0]上单调递增,∴f(x)在[0,+∞)上单调递减,且 a=f(-4)=f(4),b=f(-5)=f(5),又 c=f( ),且 0<
3 4 3 4 7 7 9 9 7 7 9 9 4 479

B.b<a<c

C.c<a<b

D.a<c<b

< 4 < 5,∴c>a>b,故选 B.

7

9

6.执行如图所示的程序框图,则输出的 S 的值为

A.8-log38 【答案】B

B.9-log38

C.8-log340

D.10-log340

【解析】本题考查程序框图的理解与应用,考查考生的运算求解能力.依次执行程序即可 1=11,n=2;S=11+sin 确定输出的 S 的值.运行该程序,S=10+sin2 +log 1 3 π+log 1 2=11+log 1 2,n=3;
3 3

π

S=11+log1 2+sin +log 1 3=10+log 1 6,n=4;S=10+log 1 6+sin
3

3π 2

3

3

3

2π+log 1 4=10+log 1 24=9+log 1 8,n=5.故输出的 S=9-log38,故选 B.
3 3 3

7.已知在锐角△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边,且满足 3a=2csinA,c=2,若△ABC

的面积为 3,则 a+b 的值为 A.8 【答案】C 【解析】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识,考查考生对基础知 识的掌握情况与计算能力.首先由正弦定理得到角 C 的大小,然后由角 C 及边 c,利用余弦 定理及三角形的面积得到关于 a,b 的方程,即可求解 a+b 的值.∵ ∴sinC=
3 2 3 2

B.3

C.4

D.16

=sinA,∴

3sin 2sin

=sinA,

.∵△ABC 的面积 S=2absin 60° = 3?ab=4.又 c=2,∴c2=a2+b2-2abcos 60° ,即 ?C=60°

1

4=a2+ b2-2ab× ,4=(a+b)2-2ab-ab,∴(a+b)2=4+3ab=16,∴a+b=4. 2
1

8.若某几何体的正视图和俯视图(正六边形)如图所示,则该几何体的体积是

A.3 3+25π
2

32

B.3 3+25π

32

C.9 3+25π

32

D.3 3+ 25 π

128

【答案】C 【解析】本题考查三视图和简单组合体的体积,考查考生的空间想象能力与运算求解能 力.由三视图可知,该几何体是一个上面是一个圆柱,下面是一个正六棱柱的组合体,进而 利用圆柱、六棱柱的体积计算公式求解.由三视图可知,该几何体是一个简单组合体,上面
2 2= π,下面是一个正六棱 是一个圆柱,圆柱的底面直径是5,高是 2,故圆柱的体积是 π×(5) × 25

8

4

32

× 2× 2× 3 × 3=9 3, 柱,六棱柱的高是2,底面是边长是 2 的正六边形,故六棱柱的体积是 6× 2
2 2

3

1

因此该几何体的体积是 9 3+25π.

32

+ 2 ≥ 2,
9.已知实数 x,y 满足约束条件 2 + ≤ 4, 向量 a=(x,y),b=(3,-1),设 z 表示向量 a 在向量

4 ? ≥ ?1,

b 方向上的投影,则 z 的取值范围是 A.[-2,6] C.[-3
10 3 10 20 3

B.[-1,6] , ] D.[10 3 10 10

5

,

5

]

【答案】C 【解析】本题考查线性规划、平面向量数量积的运算等知识,考查考生分析、解决问题 的能力和运算求解能力.作出不等式组对应的平面区域,利用向量投影的定义得到 z 的表 达式,利用数形结合即可得到结论. + 2 ≥ 2, 通解 画出约束条件 2 + ≤ 4, 所表示的可行域如图中阴影部分所示, 4 ? ≥ ?1

向量 a 在向量 b 方向上的投影 z= || = 方向上的投影最大,且最大值为 最小值为-2
3 10 6 10

·

1 10

(3x-y),由可行域知,a=(x,y)=(2,0)时,向量 a 在 b
1

=

3 10 5

;当 a=(2,3)时,向量 a 在 b 方向上的投影最小,且
10 3 10 20

=-3

10 20

,所以 z 的取值范围是[-3

,

5

].

+ 2 ≥ 2, 1 优解 由 2 + ≤ 4, 可得可行域的顶点坐标分别为(2,0),(2,3),(0,1),当 a=(x,y)=(2,0) 4 ? ≥ ?1 b=6,所以向量 a 在 b 方向上的投影为 时,a· 方向上的投影为-2 1 10 3 10 6 10

=

3 10 5

;当 a=( ,3)时,a· b=-2,所以向量 a 在 b 2

1

3

=-3

10 20

;当 a=(x,y)=(0,1)时,a· b=-1,所以向量 a 在 b 方向上的投影为
10 3 10 20

=-

10 10

.所以 z 的取值范围是[-3

,

5

].

10.已知函数 f(x)=

2 ? 1( ≤ 0) 1 ,把函数 g(x)=f(x)-2x 的零点中的偶数按从小到大 ( ? 2) + 1( > 0)

的顺序排列成一个数列{an},该数列的前 n 项和为 Sn,则 S10= A.40 【答案】C 【解析】本题考查函数的图象、函数的零点、数列的通项公式及求和.先根据函数的图 象与性质判断出零点,再由数列的特点求出其通项公式与前 n 项和. 当 x≤0 时,g(x)=2 -1-2x,其零点为 0 和-1.
x-2 当 0<x≤2 时,有-2<x-2≤0,则 f(x)=f(x-2)+1=2 , x-4 当 2<x≤4 时,有 0<x-2≤2,则 f(x)=f(x-2)+1=2 +1, x-6 当 4<x≤6 时,有 2<x-2≤4,则 f(x)=f(x-2)+1=2 +2, x-8 当 6<x≤8 时,有 4<x-2≤6,则 f(x)=f(x-2)+1=2 +3, x-2n-2 +n.结合函数图象可知方程 f(x)-2x=0 以此类推,当 2n<x≤2n+2(n∈N)时,f(x)=f(x-2)+1=2 x

B.50

C.90

D.110

1

1

在(0,2],(2,4],(4,6],…,(2n,2n+2]上的根依次为 2,4,6,…,2n+2.即函数 g(x)=f(x)-2x 的零点中 的偶数按从小到大的顺序排列成的数列为 0,2,4,6,…,2n+2,其通项公式为 an=2n-2,前 n 项 和为 Sn=
(2?2) 2

1

=n(n-1),所以 S10=90,C 正确.

二、填空题:共 5 题 2 ? 6 + 6, ≥ 0 11.已知函数 f(x)= 2 ,则 f(f(2))= , < 0
+1

.

【答案】-2 【解析】本题主要考查分段函数求值.解题时只需根据分段函数的解析式依次代入求解 即可. 根据题意可得 f(2)=4-12+6=-2,所以 f(f(2))=f(-2)=?2+1=-2.
2

2 12. 已知抛物线 y =6x 上的一点到焦点的距离是到 y 轴距离的 2 倍,则该点的横坐标为

.

【答案】2 【解析】本题考查抛物线的定义与几何性质,考查考生的数形结合能力与简单的运算能 力.解题的关键是由抛物线的定义得方程.设该点的横坐标为 x0,则由抛物线的定义得 x0+ =2x0,解得 x0= .
2 2 3 3

3

13.不等式|2x-4|+|2x+8|≤16 的解集为

.

【答案】[-5,3] 【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法.解题时,可利用绝对值的几何意义求出不等 式的解集.原不等式可化为|x-2|+|x+4|≤8,它表示 x 到 2,-4 的距离之和小于或等于 8,因此 x 满足-5≤x≤3,故不等式的解集为[-5,3].

14.已知(ax+1)5 的展开式中 x3 的系数与(x+ )4 的展开式中第三项的系数相等,则 a=
5

3

.

【答案】5 【解析】本题主要考查二项展开式的特定项的系数、通项,考查考生的运算能力,属于容
k 5 5 3 k k 易题.(ax+1) =(1+ax) 的展开式的通项为 Tk+1=C 5 (ax) =C5 a x ,令 k=3,则 x 的系数为 4 3 a3=10a3, 2× (5)2= ,所以 10a3= ,a=5. 同理(x+5 ) 的展开式中第三项的系数为C4 C5 25 25

3

3

3

54

54

3

15.若函数 f(x)满足 f(x-1)= ( )?1,当 x∈[-1,0]时,f(x)=x,若在区间[-1,1)上,g(x)=f(x)-mx+m

1

有两个零点,则实数 m 的取值范围是

.

【答案】(0,2] 【解析】本题考查分段函数、函数的零点等,考查考生的数形结合思想.先求函数 f(x)在 区[-1,1)上的解析式,然后画出函数 f(x)的图象,通过数形结合求出实数 m 的取值范围. 因为当 x∈[-1,0]时,f(x)=x,所以当 x∈(0,1)时,x-1∈(-1,0),由 f(x-1)= ( )?1可得,x-1= ( )?1,所 以 f(x)=?1+1,作出函数 f(x)在[-1,1)上的图象如图所示,
1 1 1

1

因为 g(x)=f(x)-mx+m 有两个零点,所以 y=f(x)的图象与直线 y=mx-m 有两个交点,由图可得 m∈(0, ].
2 1

三、解答题:共 6 题
16.已知函数 f(x)=cos2ωxcosφ+sinωxcosωxsinφ- sin( +φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为 π, 2
2 1 π

且 x=6 是函数 f(x)的图象的一条对称轴. (1)求 ω,φ 的值; (2)将函数 y=f(x)图象上的各点向左平移12个单位长度,得到函数 y=g(x)的图象,求函数 g(x) 在[0,12 ]上的最值及取最值时对应的 x 的值. 【答案】(1)由题意得,f(x)=
1 1+cos 2 2 5π π

π

cosφ+ sin 2ωxsinφ- cosφ= cos 2ωxcosφ+ sin
2 2 2 2 1

1

1

1

1

2ωxsinφ=2(cos 2ωxcosφ+sin 2ωxsinφ)=2cos(2ωx-φ). 又函数 f(x)的最小正周期为 π,所以2 =π,所以 ω=1, 故 f(x)=2cos(2x-φ),又 x=6 是函数 f(x)的图象的一条对称轴,故 2×6 -φ=kπ(k∈Z), 因为 0<φ<π,所以 φ=3 . (2)由(1)知 f(x)=2cos(2x-3 ),将函数 y=f(x)图象上的各点向左平移12个单位长度,得到函数 y=g(x)的图象, 故 g(x)=2cos(2x-6 ).
1 π 1 π π π 1 π π 2π

因为 x∈[0,12 ],所以 2x-6 ∈[-6 , 3 ],因此当 2x-6 =0,即 x=12时,g(x)max=2;当 2x- 6 = 时,g(x)min=-4.
1



π

π 2π

π

π

1

π

2π 3

,即 x=

5π 12

【解析】本题考查三角恒等变换、三角函数的图象与性质等基础知识,考查考生的运算 求解能力. (1)三角恒等变换的主要工具有两角和与差的三角公式、 【备注】 二倍角公式、 诱导公式、 同角三角函数的基本关系式等,对这些公式要注意正用、逆用,此外要注意配角公式也是 考查的热点.(2)在三角函数的图象变换中,注意对于左右平移变换、横坐标的伸缩变换都 是在“x”的基础上进行的.

17. 退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势.某机构为了解某

城市市民的年龄构成,按 1%的比例从年龄在 20~80 岁(含 20 岁和 80 岁)之间的市民中随 机抽取 600 人进行调查,并将年龄按[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80]进行分 组,绘制成频率分布直方图,如图所示.规定年龄在[20,40)岁的人为“青年人”,[40,60)岁的 人为“中年人”, [60,80]岁的人为“老年人”.

(1)根据频率分布直方图估计该城市 60 岁以上(含 60 岁)的人数,若每一组中的数据用该组 区间的中点值来代表,试估算所调查的 600 人的平均年龄; (2)将上述人口分布的频率视为该城市年龄在 20~80 岁的人口分布的概率,从该城市年龄 在 20~80 岁的市民中随机抽取 3 人,记抽到“老年人”的人数为 X,求随机变量 X 的分布列 和数学期望. 10=0.2, 【答案】(1)由频率分布直方图可知 60 岁以上(含 60 岁)的频率为(0.01+0.01)× 0.2=120,故该城市 60 岁以上(含 60 岁)的人数 故样本中 60 岁以上(含 60 岁)的人数为 600× 1%=12 000. 为 120÷ 所调查的 600 人的平均年龄为 25× 0.1+35× 0.2+45× 0.3+55× 0.2+65× 0.1+75× 0.1=48(岁). (2)通解 由频率分布直方图知,“老年人”所占的频率为5, 所以从该城市年龄在 20~80 岁的市民中随机抽取 1 人,抽到“老年人”的概率为5, 分析可知 X 的所有可能取值为 0,1,2,3,
0 ( )0( )3= P(X=0)=C3 , 5 5 125 1 4 64 1 1

1 ( )1( )2= P(X=1)=C3 , 5 5 125 2 ( )2( )1= P(X=2)=C3 5 1 5 4 1 4 12 125 1

1

4

48

,

3 ( )3( )0= P(X=3)=C3 . 5 5 125

所以 X 的分布列为

EX=0×

64

125

+1×

48

125

+2×

12

125

+3×

1

125

= .
5 1 1 1 1

3

k 3-k 优解 由题意知每次抽到“老年人”的概率都是5,且 X~B(3,5),P(X=k)=C 3 (5) (1-5) ,k=0,1,2,3,

所以 X 的分布列为

= . 故 EX=3× 5 5 【解析】本题考查频率分布直方图及其应用、随机变量的分布列和数学期望,意在考查 考生的数据处理能力、运算求解能力和应用意识.对于(1),从频率分布直方图可求出该城 市 60 岁以上(含 60 岁)的人数,平均年龄等于频率分布直方图中每个小长方形的面积与小 长方形底边中点的横坐标的乘积之和;对于(2),分析可知 X 的所有可能取值为 0,1,2,3,据此 求出相应的概率,从而求出分布列和数学期望,也可先得到 X~B(3,5),进而求分布列和数学 期望. 【备注】解决有关频率分布直方图的问题,关键在于找出图中数据之间的关系,这些数据 中,比较明显的有组距、
频率 组距 1

1

3

,隐含的有频率(小长方形的面积),注意小长方形的高是

频率 组距

,而

不是频率.解题时要注意合理使用这些数据,同时要注意两个等量关系:(1)小长方形的面 积等于频率,且小长方形的面积之和等于 1,即频率之和为 1;(2)频率分布直方图中,中位数 左边和右边的小长方形的面积和是相等的.

18. ,四边形 ACFE 为矩形, 如图,在等腰梯形 ABCD 中,AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°

平面 ACFE⊥平面 ABCD,CF=1.

(1)求证:BC⊥平面 ACFE; (2)点 M 在线段 EF 上运动,设平面 MAB 与平面 FCB 所成二面角的平面角为 θ(θ≤90° ),试 求 cosθ 的取值范围. , 【答案】(1)在梯形 ABCD 中,∵AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°
2 2 2 BC· cos 60° =3, ∴AB=2,∴AC =AB +BC -2AB· 2 2 2 ∴AB =AC +BC ,∴BC⊥AC.

又平面 ACFE⊥平面 ABCD,平面 ACFE∩平面 ABCD=AC,BC?平面 ABCD, ∴BC⊥平面 ACFE. (2)由(1)知,可分别以 CA,CB,CF 所在的直线为 x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标 系, 令 FM=λ(0≤λ≤ 3),则 C(0,0,0),A( 3,0,0),B(0,1,0),M(λ,0,1), ∴=(- 3,1,0),=(λ,-1,1). 设 n1=(x,y,z)为平面 MAB 的法向量, 由 1 · = 0 ? 3 + = 0 ,得 , ? + = 0 1 · = 0

取 x=1,则 n1=(1, 3, 3-λ)为平面 MAB 的一个法向量, 易知 n2=(1,0,0)是平面 FCB 的一个法向量, = ∴ cosθ=| |· | |
| · | 1 1+3+( 3? )2 ×1

=

1 (? 3)2 +4

.
1 1

7 7 ∵0≤λ≤ 3, ∴当 λ=0 时,cosθ 有最小值 , 当 λ= 3时,cosθ 有最大值2,∴cosθ∈[ ,2]. 7 7

【解析】本题考查直线与平面垂直的证明、用空间向量法求二面角等知识,考查考生的 空间想象能力.对于(1),先证明 BC⊥AC,由此即可证明 BC⊥平面 ACFE;对于(2),由(1)知, 可分别以 CA,CB,CF 所在的直线为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,利用向量法即可求 出 cosθ 的取值范围. 【备注】证明线面垂直的关键在于熟练掌握空间垂直关系的判定定理与性质定理,注意 平面图形中一些线线垂直关系的灵活运用,由于“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直” 之间可以相互转化,因此整个证明过程应围绕着线面垂直这个核心展开,这是求解空间垂

直关系的关键.而求二面角,则往往通过求两个平面的法向量的夹角间接求解,此时建立 恰当的空间直角坐标系以及正确求出各点的坐标是解题的关键.

19. a8=115,S9=126,数列{bn}的前 n 项积为 An, 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 a2·
n(n+1) . 且 An=( 2)

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)当{an}的公差大于零时,记数列{ }的前 n 项和为 Tn,求证:1≤Tn<5. 【答案】(1)由题意可知 ∴ = 23 2 = 5 . 或 2 8 = 23 8 = 5 2 ·8 = 115 9 =
9( 2 + 8 ) 2

· = 115 ,∴ 2 8 , 2 + 8 = 28 = 126

设数列{an}的公差为 d,则 d=3 或-3,故{an}的通项公式为 an=3n-1 或 an=-3n+29. 由 An=( 2) ( +1) 可知 An-1=( 2) (?1) (n≥2),
n 两式相除可得 bn=2 (n≥2), n 当 n=1 时,b1=A1=2 符合上式,因此{bn}的通项公式为 bn=2 .
(2)当{an}的公差大于零时,由(1)可知 an=3n-1,则 =



3?1 2

,

∴Tn=2+22 +23 +…+
1 2

2

5

8

3?1 2

, ,
3 3?1

Tn= 2 + 3 +…+
2 2 1

2

5

3?4 3?1 2

+

2 +1 3

两式相减得2Tn=1+22 +23 +…+2 - 2 +1 , ∴2Tn=1+4 ∴Tn=5∵
3 +5 2 1
3

3

[1?( ) ?1 ] 3?1 2 1?
1 2

1

-

2 +1

= -

5 3 +5 2 2 +1

,

3 +5 2

.

>0,∴Tn<5.
3 +8 3 +5 2

又 Tn+1-Tn=5- 2 +1 -5+

=

3 +2 2 +1

>0 对任意的 n∈N*都成立,

故{Tn}为单调递增数列,∴Tn≥T1=1. 综上可知,1≤Tn<5. 【解析】本题考查了等差、等比数列通项公式的求法,错位相减法求和以及数列单调性 的应用. 【备注】高考对数列的考查除了数列本身的知识(如通项公式、求和等)以外,还常常与函 数、不等式等相结合,对数列单调性的探究是数列与函数、不等式等相结合的常见切入 点.

20.已知两点 A(-2,0)、B(2,0),动点 P 与 A、B 两点连线的斜率 kPA、kPB 满足 kPA· kPB=- .
4

1

(1)求动点 P 的轨迹 E 的方程; (2)若 H 是曲线 E 与 y 轴正半轴的交点,则曲线 E 上是否存在两点 M、N,使得△HMN 是以 H 为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,请说明满足条件的 M、 N 有几对;若不存在,请说 明理由. 【答案】(1)设点 P 的坐标为(x,y)(x≠±2),则 kPA= +2,kPB=?2. kPB=-4,所以 +2· =- ,化简得 +y2=1, 依题意 kPA· ?2 4
4
2 所以动点 P 的轨迹 E 的方程为 +y =1(x≠±2).

?0

?0

1





1

2

2 4

(注:如果未说明 x≠±2(或 y≠0),扣 1 分.) (2)假设能构成等腰直角三角形 HMN,其中直角顶点 H 为(0,1). 由题意可知,直角边 HM、HN 不可能垂直或平行于 x 轴, 故可设 HM 所在直线的方程为 y=kx+1(k>0), 则 HN 所在直线的方程为 y=- x+1. 联立 = + 1 8 ,消去 y 整理得(1+4k2)x2+8kx=0,得 xM=, 1+4 2 2 + 4 2 = 4
8 8 2 1+4 2 1

将 xM=-1+4 2 代入 y=kx+1 可得 yM=故点 M 的坐标为(-1+4 2 , 所以|HM|= (?
8 1+4 2 8 ?8 2 1+4 2

+1,

+1).
8 2

)2 + (? ,

1+4 2

)2 =

8 1+ 2 1+4 2

,

同理可得|HN|=8

1+ 2 4+ 2

2 2 由|HM|=|HN|,得 k(4+k )=1+4k , 3 2 2 所以 k -4k +4k-1=0,整理得(k-1)(k -3k+1)=0,

解得 k=1 或 k=

3± 5 2

.

当直线 HM 的斜率 k=1 时,直线 HN 的斜率为-1; 当直线 HM 的斜率 k= 当直线 HM 的斜率 k=
3+ 5 2

时,直线 HN 的斜率为 时,直线 HN 的斜率为

?3+ 5 2

; .

3? 5 2

?3? 5 2

综上所述,符合条件的 M、N 有 3 对. 【解析】本题考查动点轨迹方程的求解及直线与圆锥曲线的位置关系,考查考生的运算 能力和综合分析问题、解决问题的能力.对于(1),设点 P 的坐标为(x,y)(x≠±2),根据 kPA· kPB=- 列出等式,化简得动点 P 的轨迹 E 的方程;对于(2),易知直角边 HM、HN 不可能 4
1

垂直或平行于 x 轴,故可设出 HM、HN 所在直线的方程,与椭圆的方程联立,结合 |HM|=|HN|,得 k(4+k2)=1+4k2,解方程即可. 【备注】高考对圆锥曲线的考查主要围绕圆锥曲线的概念、标准方程与几何性质以及直 线与圆锥曲线的位置关系展开,多涉及直线被圆锥曲线所截得的弦长、三角形的面积、 向量数量积等的最值、取值范围等问题,也常常设置以定点、定值、定直线的存在性为 主的探究性问题.这类问题的求解思路比较清晰,一般需利用根与系数的关系解决,对分 析判断能力、运算能力等要求较高,需要考生多加练习.

21.已知函数 f(x)=lnx,g(x)= ax2+bx(a≠0).
2

1

(1)当 a=-2 时,函数 h(x)=f(x)-g(x)在其定义域上是增函数,若函数 φ(x)=e2x+bex,x∈[0,ln 2], 求函数 φ(x)的最小值; (2)设函数 f(x)的图象 C1 与函数 g(x)的图象 C2 交于点 P、 Q,过线段 PQ 的中点 R 作 x 轴的 垂线,分别交 C1、C2 于点 M、N,则是否存在点 R,使 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的 切线平行?若存在,求出点 R 的横坐标;若不存在,请说明理由.
2 【答案】(1)依题意 h(x)=lnx+x -bx.

∵h(x)在其定义域(0,+∞)上是增函数, ∴h'(x)= +2x-b≥0 在(0,+∞)上恒成立, ∴b≤ +2x 在(0,+∞)上恒成立. ∵x>0,
2 ∴ +2x≥2 2,当且仅当 =2x,即 x= 时等号成立. 2 1 1 1 1

∴b 的取值范围为(-∞,2 2].
x 2 2 设 t=e ,则函数 φ(x)可化为 y=t +bt,t∈[1,2],即 y=(t+2 ) - ,



2 4

2 2 ∴当-2 ≤1,即-2≤b≤2 2时,函数 y=t +bt 在[1,2]上为增函数,当 t=1 时,函数 y=t +bt 取得最小



值,且 ymin=b+1.
2 当 1<-2 <2,即-4<b<-2 时,当 t=-2 时,函数 y=t +bt 取得最小值,且 ymin=- .





2 4

2 2 当-2 ≥2,即 b≤-4 时,函数 y=t +bt 在[1,2]上为减函数,当 t=2 时,函数 y=t +bt 取得最小值,且



ymin=4+2b. 综上所述,当-2≤b≤2 2时,φ(x)的最小值为 b+1; 当-4<b<-2 时,φ(x)的最小值为- ;
4 2

当 b≤-4 时,φ(x)的最小值为 4+2b. (2)设点 P、Q 的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),且 0<x1<x2,

则点 M、N 的横坐标均为 x=

1 + 2 2

.
2
1 + 2

曲线 C1 在点 M 处的切线的斜率 k1= 曲线 C2 在点 N 处的切线的斜率 k2=

, +b.

( 1 + 2 ) 2

假设曲线 C1 在点 M 处的切线与曲线 C2 在点 N 处的切线平行,则 k1=k2, 即 则
2
1 + 2

=

( 1 + 2 ) 2

+b,
2 2 +b(x2-x1)=(2 2 +bx2)-(2 1 +bx1)=g(x2)-g(x1)=f(x2)-f(x1)=lnx2-lnx1=ln ,
1

2( 2 ? 1 ) 1 + 2

=

2 ? 2 ) ( 2 1





2

2

∴ln 2 =
1

2( 2 ? 1 ) 1 + 2

=

2( 2 ?1) 1 1+ 2 1

.

设 u= >1,则 lnu=
1

2

2(?1) 1+

,u>1 ①,
1 4 (?1)2

令 r(u)=lnu-

2(?1) 1+

,u>1,则 r'(u)= -( +1)2 = ( +1)2 .

∵u>1,∴r'(u)>0, ∴r(u)在(1,+∞)上单调递增,故 r(u)>0 , 则 lnu>
2(?1) +1

,

这与①矛盾,故假设不成立, 故不存在点 R,使曲线 C1 在点 M 处的切线与曲线 C2 在点 N 处的切线平行. 【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性、求函数在闭区间上的最值、两条直线平 行的判定等知识,考查考生的运算能力和分析问题、解决问题的能力.(1)先根据函数 h(x)=f(x)-g(x)在其定义域上是增函数,得到一个关于 b 的不等式,解此不等式即得 b 的取值
x 范围,再设 t=e ,将函数 φ(x)化为关于 t 的二次函数,最后将函数 φ(x)的最小值问题转化成二

次函数在闭区间上的最值问题;(2)先假设曲线 C1 在点 M 处的切线与曲线 C2 在点 N 处的 切线平行,利用导数的几何意义求出两切线的斜率,再利用斜率相等进行求解. 【备注】对于导数、函数、不等式相结合的综合题,解答的第一步是求函数 f(x)的导函数 f'(x),然后根据不同的问题进行求解.(1)若解决切线问题,将切点的横坐标代入 f'(x)得切线 的斜率;(2)若解决单调性、极值(最值)问题,由 f'(x)≥0 或 f'(x)≤0 确定其单调区间,再处理相 关问题;(3)若解决与不等式相关的问题,则通常需要构造新函数,并利用导数研究其性质.


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