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2015年普通高等学校招生全国统一考试全国卷II(数学理)

绝密★启用前 2015 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、准 考证号填写在答题卡上。 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用 橡皮檫干净后,再选涂其它答案题号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 (1) 已知集合 A ? ??2, ?1,0,1, 2? , B ? x ? x ? 1?? x ? 2 ? ? 0 ,则 A

?

?

B =

(A) {-1,0} (B) {0,1} (C) {-1,0,1} (D) {0,1,2} (2)若 a 为实数,且 ? 2 ? ai ?? a ? 2i ? ? ?4i ,则 a = (A)-1 (B)0 (C)1 (D)2

(3)根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫排放量(单位:万吨)柱形图。以下结论不正确的 是

(A) 逐年比较,2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 (B) 2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效 (C) 2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 (D) 2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 (4)等比数列{an}满足 a1=3,a1+ a3+ a5=21,则 a3+ a5+ a7 =
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(A)21

(B)42

(C)63

(D)84

(5)设函数 f ? x ? ? ? (A)3

?1 ? log 2 (2 ? x) ?2
x ?1

,则 f ? ?2 ? ? f ? log 2 12 ? = (D)12

(B)6

(C)9

(6)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积与剩余部分体积 的与剩余部分体积的比值为 (A)

1 8

(B)

1 7

(C)

1 6

(D)

1 5

(7)过三点 A(1,3) ,B(4,2) ,C ?1, ?7 ? 的圆交于 y 轴于 M、N 两点,则 MN = (A)2 6 (B)8 (C)4 6 (D)10

(8)右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》 中的“更相减损术”。执行该程序框图,若输入 a, b 分别为 14,18,则输出的 a = (A)0 (B)2 (C)4 (D)14

(9) 已知 A,B 是球 O 的球面上两点, ∠AOB=90, C 为该球面上的动点, 若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36,则球 O 的表面积为 (A) 36π (B) 64π (C) 144π (D) 256π

(10).如图,长方形 ABCD 的边 AB=2,BC=1,O 是 AB 的中点,点 P 沿着边 BC,CD 与 DA 运动,∠BOP= x 。将动点 P 到 AB 两点距离之和表示为 x 的函数 f ? x ? ,则 f ? x ? 的图像大致为

(11)已知 A,B 为双曲线 E 的左,右顶点,点 M 在 E 上,?ABM 为等腰三角形,且顶角为 120° ,则 E 的离心率为
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(A) 5

(B)2

(C) 3

(D) 2

(12)设函数 f ? ? x ? 是奇函数 f ? x ? ? x ? R ? 的导函数, f ? ?1? ? 0 ,当 x ? 0 时, xf ? ? x ? ? f ? x? ? 0 , 则使得 f ? x ? ? 0 成立的 x 的取值范围是 (A)? ??, ?1?

? 0,1?

(B)? ?1,0 ?

?1, ?? ?
第Ⅱ卷

(C)? ??, ?1?

? ?1,0?

(D)? 0,1?

?1, ?? ?

本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答。第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 (13)设向量 a , b 不平行,向量 ? a ? b 与 a ? 2b ,则实数 ? = .

?x ? y ?1 ? 0 ? (14)若 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 0 ,则 z ? x ? y 的最大值为____________. ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
(15) ? a ? x ??1 ? x ? 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32,则 a =__________.
4

(16)设 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和,且 a1 ? ?1 , an?1 ? Sn Sn ?1 ,则 Sn=___________________________.

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 (17) (本小题满分 12 分)?ABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分∠BAC,?ABD 是?ADC 面积的 2 倍。 (Ⅰ)求

sin ? B ; sin ?C

(Ⅱ)若 AD ? 1 , DC ?

2 ,求 BD 和 AC 的长。 2

(18)(本小题满分 12 分)某公司为了解用户对其产品的满意度,从 A,B 两地区分别随机调查了 20 个用 户,得到用户对产品的满意度评分如下: A 地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89

B 地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
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93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 (Ⅰ)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值 及分散程度(不要求计算出具体值,得出结论即可) ;

A 地区

B 地区

4 5 6 7 8 9

(Ⅱ)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级: 满意度评分 满意度等级 低于 70 分 不满意 70 分到 89 分 满意 不低于 90 分 非常满意

记事件 C:“A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级”。假设两地区用户的评价结果相 互独立。根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求 C 的概率

19. (本小题满分 12 分)如图,长方体 ABCD-A1B1C1D1 中 AB=16,BC=10, AA1=8,点 E,F 分别在 A1 B1 , D1C1 上, A1E ? D1F ? 4 。过点 E,F 的平面 ? 与 此长方体的面相交,交线围成一个正方形 (Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由) (Ⅱ)求直线 AF 与平面 ? 所成角的正弦值
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20. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C: 9 x ? y ? m
2 2

2

? m ? 0? ,直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴, l

与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 的中点为 M. (Ⅰ)证明:直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值; (Ⅱ)若 l 过点 ?

?m ? , m ? ,延长线段 OM 与 C 交于点 P,四边形 OAPB 能否为平行四边形?若能,求此时 l ?3 ?

的斜率,若不能,说明理由。

21. (本小题满分 12 分)设函数 f ? x ? ? e

mx

? x 2 ? mx .

(Ⅰ)证明: f ? x ? 在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增; (Ⅱ)若对于任意 x1 , x2 ? ? ?1,1? ,都有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? e ? 1 ,求 m 的取值范围

请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,O 为等腰三角形 ABC 内一点,圆 O 与 G,且与 AB、AC 分别相切于 E、F 两点. ABC 的底边 BC 交于 M、N 两点与底边上的高 AD 交于点

(1)证明:EF 平行于 BC (2) 若 AG 等于圆 O 的半径,且 AE=MN= ,求四边形 EBCF 的面积。

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(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 : ?

? x ? t cos ? (t 为参数,t ? 0 )其中 0 ? ? ? ? ,在以 O 为极点, x ? y ? t sin ?

轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2 : ? ? 2sin ? ,曲线 C3 : ? ? 2 3 cos ? . (1).求 C2 与 C3 交点的直角坐标 (2).若 C1 与 C2 相交于点 A, C1 与 C3 相交于点 B,求 AB 的最大值

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5 不等式选讲 设 a、b、c、d 均为正数,且 a+b=c+d,证明: (1)若 ab ? cd ,则 a ? b ? c ? d ; (2) a ? b ? c ? d 是 a ? b ? c ? d 的充要条件。

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