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0《成才之路》高一数学(人教A版)必修课件: 直线与平面垂直的性质_图文

成才之路· 数学
人教A版 ·必修2

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

第二章
点、直线、平面之间的位置关系

第二章
2. 3 直线、平面垂直的判定及其性质

第二章
2.3.3 直线与平面垂直的性质

课前自主预习 基础巩固训练 思路方法技巧 能力强化提升 名师辨误做答

课前自主预习

温故知新 1.直线垂直于平面的定义:如果一条直线垂直于一个平面 内的任意 一条直线,则称这条直线垂直于这个平面. 2.直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线垂直于一个 平面内的两条 相交 直线,则这条直线垂直于这个平面.

3.如图,长方体AC1中,二面角D1-AB-D的平面角是 ( )

A.∠D1AB C.∠D1AD
[答案] C

B.∠D1BA D.∠D1DA

4.已知l⊥α,则过l与α垂直的平面( A.有1个 C.有无数个 B.有2个 D.不存在

)

[答案] C

5.把等腰Rt△ABC沿斜边BC上的高线AD折成一个二面 角,此时∠BAC=60° ,那么此二面角的大小是________.

[答案]

90°

新课引入

如上图,将书打开直立在桌面上,观察到书的书脊AB和 各页边沿与桌面都是垂直的位置关系,可以判断“书脊AB和 各页的边沿是平行的”.你能说出判断的理由吗?带上这个 问题我们共同进入本节课的学习.

自主预习 阅读教材P70~71,回答下列问题. 直线与平面垂直的性质定理 文字 语言 符号 语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 a⊥α? ? ?? b⊥α? ?

a∥b

图形 语言 作用 证明两直线平行

[破疑点]直线与平面垂直的性质定理给出了判断两条直线 平行的另一种方法,即“线面垂直,则线线平行”,它揭示 了“平行”与“垂直”的内在联系.

[知识拓展]直线与平面垂直的性质 l⊥α ? ? ??l⊥b; (1) b?α? ? a⊥α? ? ??a∥b; (2) b⊥α? ? a∥b? ? ??b⊥α; (3) a⊥α? ?

α∥β? ? ??a⊥β; (4) a⊥α? ? a⊥α? ? ??α∥β. (5) a⊥β? ?

如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E∈平面 ABCD,F∈平面A1B1C1D1,且EF⊥平面ABCD.

求证:EF∥AA1.

[分析]

只需证明AA1⊥平面ABCD即可.

[证明]

∵AA1⊥AB,AA1⊥AD,且AB∩AD=A,AB?平

面ABCD,AD?平面ABCD, ∴AA1⊥平面ABCD. 又∵EF⊥平面ABCD, ∴EF∥AA1.

规律总结:证明线线平行可转化为线面垂直,即转化为证 明这两条直线同时垂直于一个平面.

思路方法技巧

线面垂直的性质
学法指导 证明线线平行常有如下方法:

(1)利用线线平行定义:证共面且无公共点; (2)利用三线平行公理:证两线同时平行于第三条直 线; (3)利用线面平行的性质定理:把证线线平行转化为证 线面平行;

(4)利用线面垂直的性质定理:把证线线平行转化为证线 面垂直; (5)利用面面平行的性质定理:把证线线平行转化为证面 面平行. 特别提醒:“平行关系”与“垂直关系”在特定条件下 是可以相互转化的.

[例1]

如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB

上一点,N是A1C的中点,MN⊥平面A1DC.

求证:MN∥AD1.

[分析]

要证线线平行,根据条件“MN⊥平面A1DC”,

可联想到线面垂直的性质定理,故只需证AD1⊥平面A1DC即 可.

[证明]

∵四边形ADD1A1为正方形,∴AD1⊥A1D.

又∵CD⊥平面ADD1A1,∴CD⊥AD1. ∵A1D∩CD=D,∴AD1⊥平面A1DC. 又∵MN⊥平面A1DC,∴MN∥AD1.

如图,设平面α与β相交于直线l,AC⊥α,BD⊥β,垂足 分别为C、D,直线AB⊥AC,AB⊥BD, 求证:AB∥l.

[解析]

∵AC⊥α,BD⊥β,α∩β=l,∴AC⊥l,BD⊥l;

过A作AE⊥β垂足为E,则AE∥BD, ∵AB⊥BD,∴AB⊥AE,∴AB⊥平面ACE; ∵AE⊥β,α∩β=l,∴AE⊥l, 又AC⊥l,∴l⊥平面ACE,∴AB∥l.

规律总结:要证线线平行,不具备公理4的条件,没有 线面平行、面面平行关系好用,给出的条件多为垂直关系, 于是想到应用线面垂直的性质定理,只须找到这样一个平面 γ、l⊥γ、AB⊥γ,于是作辅助线围绕找γ展开.

线面垂直的性质的综合应用

学法指导 线面垂直与平行的相互转化: (1)空间中直线与直线垂直、直线与平面平行、直线与 直线平行可以相互转化,每一种垂直与平行的判定都是从某 种垂直与平行开始转化为另一种垂直与平行,最终达到目 的. (2)转化关系: 判定定理 性质定理 线线垂直 线面垂直 线线平行. 定义 性质判定定理

[例2]

如下图所示,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已

知DC=DD1=2AD=2AB,AD⊥DC,AB∥DC.

(1)求证:D1C⊥AC1; (2)设E是DC上一点,试确定E的位置,使D1E∥平面 A1BD,并说明理由.

[分析]

(1)关键先证明线面垂直,然后证明线线垂直;(2)

关键构造中位线得线面平行.

[解析] (1)证明:连接C1D. ∵DC=DD1,∴四边形DCC1D1是正方形,∴DC1⊥D1C. ∵AD⊥DC,AD⊥DD1,DC∩DD1=D, ∴AD⊥平面DCC1D1,D1C?平面DCC1D1,∴AD⊥D1C. 又AD∩DC1=D,∴D1C⊥平面ADC1. 又AC1?平面ADC1,∴D1C⊥AC1.

(2)如图,连接AD1、AE、D1E,

设AD1∩A1D=M,BD∩AE=N,连接MN.

∵平面AD1E∩平面A1BD=MN, 要使D1E∥平面A1BD, 须使MN∥D1E,又M是AD1的中点, ∴N是AE的中点. 又易知△ABN≌△EDN,∴AB=DE. 即E是DC的中点. 综上所述,当E是DC的中点时,可使D1E∥平面A1BD.

如下图,已知矩形ABCD过A作SA⊥平面AC,再过A作 AE⊥SB交SB于点E,过E作EF⊥SC交SC于点F.

(1)求证:AF⊥SC; (2)若平面AEF交SD于点G,求证:AG⊥SD.

[解析]

本题是证线线垂直问题,可通过证线面垂直来实

现.结合题图,欲证AF⊥SC,只需证SC垂直于AF所在平面, 即SC⊥平面AEF.由已知,欲证SC⊥平面AEF,只需证AE垂直 于SC所在平面,即AE⊥平面SBC,再由已知只需证AE⊥BC, 而要证AE⊥BC,只需证BC⊥平面SAB,而这可由已知得证.

[答案]

(1)∵SA⊥平面AC,BC?平面AC,

∴SA⊥BC. ∵ABCD为矩形,∴AB⊥BC,∴BC⊥平面SAB, ∴BC⊥AE.又SB⊥AE,∴AE⊥平面SBC,∴AE⊥SC. 又EF⊥SC,∴SC⊥平面AEF,∴AF⊥SC.

(2)∵SA⊥平面AC,∴SA⊥DC, 又AD⊥DC,∴DC⊥平面SAD.∴DC⊥AG. 又由(1)有SC⊥平面AEF,AG?平面AEF, ∴SC⊥AG,∴AG⊥平面SDC,∴AG⊥SD.

探索延拓创新

[例3]

如图,有一个正三棱锥体的零件,P是侧面ABD上

一点.在面ABD内过点P画一条与棱AC垂直的线段,应怎样 画?说明你的理由.

[解析]

取BD中点E,

∵几何体为正三棱锥, ∴AE⊥BD,CE⊥BD, ∴BD⊥平面ACE,∴BD⊥AC. 故在平面ABD内,欲过P点作与棱AC垂直的线段,只须过 P作MN∥BD分别交AB、AD于M、N,则线段MN⊥AC,MN即 所求.

名师辨误做答

易错点 [例4] [错解]

证明说理过程不清晰,理由与结论衔接不恰当 已知a?α,a⊥b,b⊥α,求证a∥α. ∵b⊥α,a⊥b,∴a?α或a∥α.

又∵a?α,∴a∥α. [错因分析] 推理逻辑不严密,理由与结论衔接不恰当. [思路分析] 本题垂直关系比较分散,不能按平面几何的 方法进行论证,应将其集中到一个平面内,然后用平面几何 知识解决.

[正解]

如图,在a上任取一点A,过点A作直线b′∥b.设

b′∩α=B,过直线a,b′作平面β,β∩α=l.

∵b⊥α,∴b⊥l. 又∵b⊥a,b∥b′,∴b′⊥a,b′⊥l. 又∵a,l同在β内,∴a∥l. 又∵a?α,l?α,∴a∥α.

∵b⊥α,∴b⊥a′. 又b⊥a,b∥b′,∴b′⊥a,b′⊥a′. 又a,a′同在β内,∴a∥a′. 又a?α,a′?α,∴a∥α.

基础巩固训练

1.下列说法中不正确的是(

)

A.若一条直线垂直于一个三角形的两边,则一定垂直于 第三边 B.同一个平面的两条垂线一定共面 C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且 这些直线都在同一个平面内 D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直
[答案] D

2.已知直线a,b,平面α,且a⊥α,下列条件中,能推 出a∥b的是( A.b∥α C.b⊥α
[答案] C

) B.b?α D.b∩α=A

3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线l⊥平面A1C1,则 有( ) A.B1B⊥l C.B1B与l异面
[答案]
[解析]

B.B1B∥l D.B1B与l相交

B
因为B1B⊥平面A1C1,又l⊥平面A1C1,则l∥B1B.

4.下面给出四个命题: ①直线l与平面α内两直线都垂直,则l⊥α; ②经过直线a有且仅有一个平面垂直于直线b; ③直线l同时垂直于平面α,β,则α∥β. 其中正确的命题个数为( A.3 C.1
[答案] C

) B.2 D.0

[解析]

①中,平面α内两直线不一定相交,所以①不正

确;②中,当a∥b时,不存在平面,所以②不正确;③是直 线与平面垂直的性质,所以③正确.

5.如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,D是 侧面PBC上的一点,过D作平面ABC的垂线DE,其中D?PC, 则DE与平面PAC的位置关系是________.

[答案]

平行

[解析]

∵DE⊥平面ABC,PA⊥平面ABC,

∴DE∥PA. 又DE?平面PAC,PA?平面PAC, ∴DE∥平面PAC.

6.地面上有两根旗杆,底端相距4米,它们的高分别是5 米和8米,则它们顶端的距离为________米.

[答案]

5

[解析]

如图,AB=5,CD=8,BC=4,∴AD=

42+?8-5?2=5.

7.如图所示,已知α∩β=l,EA⊥α于A,EB⊥β于B,a ?α,a⊥AB. 求证:a∥l.

[分析] ABE.

证明a∥l可转化为证明l⊥平面ABE,a⊥平面

[证明]

∵EA⊥α,EB⊥β,α∩β=l,∴l⊥EA,l⊥EB.

又∵EA∩EB=E,EA?平面EAB,EB?平面EAB, ∴l⊥平面EAB. 又∵a?α,EA⊥α,∴a⊥EA. 又∵a⊥AB,AB∩EA=A,AB?平面EAB,EA?平面 EAB,∴a⊥平面EAB.∴a∥l.

8.如图,△ABC是正三角形,AE和CD都垂直于平面 ABC,且AE=AB=2a,CD=a,F是BE的中点.

求证:(1)DF∥平面ABC; (2)AF⊥BD.

[证明]

(1)取AB的中点G,连结FG,CG,可得FG∥

1 AE,FG= AE. 2 ∵CD⊥平面ABC,AE⊥平面ABC,∴CD∥AE. 1 又∵CD=2AE,∴FG∥CD,FG=CD. ∵FG⊥平面ABC,∴四边形CDFG是矩形,DF∥CG, 又CG?平面ABC,DF?平面ABC, ∴DF∥平面ABC.

(2)由(1)知CG⊥GF,又CG⊥AB, ∴CG⊥面ABE,∴CG⊥AF,DF∥CG,∴AF⊥DF 在Rt△ABE中,AF⊥BE,∴AF⊥面BDF,∴AF⊥BD.

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