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2016


1.2.2 基本初等函数的导数公式
及导数的运算法则(二)

自主学习 新知突破

1.能利用导数的四则运算法则求解导函数.
2.能利用复合函数的求导法则进行复合函数的求导.

2 已知 f(x)=x ,g(x)=x .
2

[问题 1] f(x),g(x)的导数分别是什么?

2 [提示 1] f′(x)=2x,g′(x)=-x2.

[问题2] 试求F(x)=f(x)+g(x)的导数.
? 2 2? 2 ?x+Δx? + -?x +x ? x+Δx ? ? Δy [提示 2] Δx= Δx
2

-2 =2x+Δx+ , x?x+Δx?
? -2 ? 2 ? ? 2x+Δx+ ∴l i m =2x-x2. ? ? → x?x+Δx?? Δx 0 ?

[问题3] F(x)的导数与f(x),g(x)的导数有何关系? [提示3] F(x)的导数等于f(x),g(x)导数和.
[问题 4]
[提示 4]

试说明

? π? y=cos?3x-4?如何复合的. ? ?

π 令 u=g(x)=3x-4,y=f(u)=cos u,

? π? ∴y=f(u)=f(g(x))=cos?3x-4?. ? ?

导数的运算法则
设两个函数分别为f(x)和g(x) 两个函数的 f′(x)+g′(x) [f(x)+g(x)]′=________________ 和的导数 两个函数的 f′(x)-g′(x) [f(x)-g(x)]′=________________ 差的导数 两个函数的 f′(x)g(x)+f(x)g′(x) [f(x)·g(x)]′=__________________ 积的导数 f′?x?g?x?-f?x?g′?x? ? f ?x? ? 两个函数的 ? ? (g(x)≠0) 2 ′ ? ? [ g ? x ? ] 商的导数 ?g?x?? =_____________________________

1.应用导数的运算法则应注意的问题 (1)对于教材中给出的导数的运算法则,不要求根据导数定 义进行推导,只要能熟练运用运算法则求简单函数的导数即 可.

(2)对于和差的导数运算法则,此法则可推广到任意有限个
可导函数的和或差,即 [f1(x)±f2(x)±?±fn(x)]′ = f′1(x)± f′2(x) ±?±f′n(x).

(3)对于积与商的导数运算法则,首先要注意在两个函数的 积与商的导数运算中,不能出现[f(x)· g(x)]′=f′(x)· g′(x)以及
? f ? x? ? f′?x? ? ? ?g?x??′=g′?x?这样想当然的错误;其次还要特别注意两个函 ? ?

数积与商的求导公式中符号的异同, 积的导数法则中是“+”, 商的导数法则中分子上是“-”.

复合函数的导数
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间 yu′·ux′ 即 y 对 x 的 导 数 等 于 ____________ 的 关 系 为 y ′ = __________. y对u的导数
x

与u对x的导数的乘积 . ____________________

2.复合函数求导应注意的问题 (1)简单复合函数均是由基本初等函数复合而成的,对于常 用的基本函数要熟悉. (2)求复合函数的导数,关键要分清函数的复合关系,特别

要注意中间变量.
(3)要注意复合函数的求导法则与四则运算求导法则的综合 运用.

1.已知函数f(x)=cos x+ln x,则f′(1)的值为(
A.1-sin 1 C.sin 1-1 B.1+sin 1 D.-sin 1

)

1 解析: 因为 f′(x)=-sin x+x, 1 所以 f′(1)=-sin 1+1=1-sin 1.故选 A.

答案: A

2.函数y=sin x·cos x的导数是( A.y′=cos2x+sin2x

)

B.y′=cos2x-sin2x

C.y′=2cos x·sin x
解析: cos2x-sin2x.

D.y′=cos x·sin x

y′=(sin x·cos x)′=cos x·cos x+sin x·(-sin x)=

答案: B

3.若f(x)=(2x+a)2,且f′(2)=20,则a=________. 解析: f(x)=4x2+4ax+a2,

∵f′(x)=8x+4a,
∴f′(2)=16+4a=20,∴a=1. 答案: 1

4.求下列函数的导数:
? 2 1 1? (1)y=x?x +x +x3?; ? ?

1+cos x (2)y= x2 ; (3)y=(4x-x)(ex+1).

解析:

? 2 1 1? 3 1 (1)∵y=x?x +x +x3?=x +1+x2, ? ?
2

2 ∴y′=3x -x3. ?1+cos x?′· x2-?1+cos x??x2?′ (2)y′= x4 -xsin x-2cos x-2 = . x3

(3)方法一:∵y=(4x-x)(ex+1)=4xex+4x-xex-x, ∴ y′ = (4xex + 4x - xex - x)′ = (4x)′ex + 4x(ex)′ + (4x)′ - [x′ex +

x(ex)′]-x′=ex4xln 4+4xex+4xln 4-ex-xex-1=ex(4xln 4+4x-
1-x)+4xln 4-1. 方法二: y′ = (4x - x)′(ex + 1) + (4x - x)(ex + 1)′ = (4xln 4 -

1)·(ex+1)+(4x-x)ex=ex(4xln 4+4x-1-x)+4xln 4-1.

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导数运算法则的应用
根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则,
求下列函数的导数.

x (1)y=x -2x-4ln x;(2)y=x· tan x;(3)y=ex;
2

(4)y=(x+1)(x+2)(x+3); x x (5)y=x+sin 2cos 2.
[思路点拨] 求导 变形 四则运算 观察式子特点 ――→ 化繁为简 ――→ 求导公式

4 (1)y′=2x-2-x .
(2)y′=(x· tan
?xsin x? x)′=? cos x ?′ ? ?

?xsin x?′cos x-xsin x?cos x?′ = cos2x ?sin x+xcos x?cos x+xsin2x = cos2x sin xcos x+x = . cos2x

x′ex-x· ?ex?′ (3)y′= ?ex?2 1-x = ex . (4)∵(x+1)(x+2)(x+3)=(x2+3x+2)(x+3) =x3+6x2+11x+6, ∴y′=[(x+1)(x+2)(x+3)]′=(x3+6x2+11x+6)′ =3x2+12x+11.

(5)先使用三角公式进行化简,得 1 y=x+2sin x
? ? 1 ∴y′=?x+2sin x?′ ? ? ?1 ? =x′+?2sin x?′ ? ?

1 =1+2cos x.

解决函数的求导问题,应先分析所给函数的 结构特点,选择正确的公式和法则,对较为复杂的求导运算, 如综合了和、差、积、商几种运算的函数,在求导之前应先将 函数化简,然后求导,以减少运算量.

1.求下列函数的导数: (1)y=x2· ex; (2)y=cos 2x; (3)y=ln 8x; 2x (4)y= x .

解析: (1)y′=(x2)′·ex+x2·(ex)′ =2x·ex+x2·ex

=(2x+x2)·ex.
(2)令u=2x,y=cos u, 则yx′=yu′·ux′=(cos u)′·(2x)′

=-2sin 2x.

(3)令 u=8x,y=ln u, 则 yx′=yu′· ux′ =(ln u)′· (8x)′ 1 1 =8· u=x .

?2x?′· x-2x· x′ (4)y′= x2 2xln 2· x-2x = x2 ?xln 2-1?· 2x = . x2

复合函数的导数
写出下列各函数的中间变量,并利用复合函数的 求导法则,求出函数的导数.

1 (1)y= 4;(2)y=cos(2 008x+8); ?3-4x? (3)y=21-3x;(4)y=ln(8x+6).
[思路点拨] 选取中间变量 → 分解 → 求导 → 转化

解析:

(1)引入中间变量 u=φ(x)=3-4x.

1 1 -4 则函数 y= 是由函数 f ( u ) = = u 4 u ?3-4x?4 与 u=φ(x)=3-4x 复合而成的. 4 查导数公式表可得 f′(u)=-4u =-u5,φ′(x)=-4.
-5

? 1 ? ? 根据复合函数求导法则可得??3-4x?4? ?′=f′(u)φ′(x) ? ?

4 16 16 =-u5· (-4)= u5 = 5. ?3-4x?

(2)引入中间变量u=φ(x)=2 008x+8, 则函数y=cos(2 008x+8)是由函数f(u)=cos u与u=φ(x)=2

008x+8复合而成的,查导数公式表可得
f′(u)=-sin u,φ′(x)=2 008. 根据复合函数求导法则可得

[cos(2 008x+8)]′=f′(u)φ′(x)=(-sin u)·2 008
=-2 008sin u=-2 008sin( 2 008x+8).

(3)引入中间变量u=φ(x)=1-3x, 则函数 y =21 - 3x是由函数 f(u) =2u 与 u =φ(x) =1 - 3x 复合而

成的,
查导数公式表得f′(u)=2uln 2,φ′(x)=-3, 根据复合函数求导法则可得

(21-3x)′=f′(u)φ′(x)=2uln 2·(-3)=-3×2uln 2
=-3×21-3xln 2.

(4)引入中间变量 u=φ(x)=8x+6, 则函数 y=ln(8x+6)是由函数 f(u)=ln u 与 u=φ(x)=8x+6 复合而成的, 1 查导数公式表可得 f′(u)=u,φ′(x)=8. 根据复合函数求导法则可得 8 8 [ln(8x+6)]′=f′(u)· φ′(x)=u= . 8x+6

复合函数求导的注意事项

(1) 求复合函数的导数,关键在于分析清楚函数的复合关
系,选好中间变量. (2)要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量的求导,不 能混淆,如y=cos 2x可由y=cos u和u=2x复合而成,第一步为 y对u求导,第二步为u对x求导.

(3)复合函数求导后,要把中间变量换成自变量的函数.
(4)开始学习求复合函数的导数要一步步写清楚,熟练后中 间步骤可省略.

特别提醒:只要求会求形如f(ax+b)的复合函数的导数.

2.求下列函数的导数: (1)y= 3x-x2; (2)y=e2x 1;


(3)y=ln(3x-1);
? π? (4)y=sin?2x+3?. ? ?

解析:

(1)设 y= u,u=3x-x2, 1

3-2x 则 yx′=yu′· ux′= · (3-2x)= 2. 2 u 2 3x-x (2)设 y=eu,u=2x+1, 则 yx′=yu′· ux′=eu· 2=2e2x+1.

(3)设 y=ln u,u=3x-1, 则 yx′=yu′· ux′ =(ln u)′· (3x-1)′ 1 =u· 3 3 = . 3x-1

π (4)设 y=sin u,u=2x+3, 则 yx′=yu′· ux′=(sin =cos u· 2
? π? =2cos?2x+3?. ? ? ? π? ?2x+ ?′ u)′· 3? ?

求曲线的切线方程
已知函数f(x)=x3+x-16. (1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线方程; (2) 直线l 为曲线 y=f(x)的切线,且经过原点,求直线 l的方

程及切点坐标.

[思路点拨]

利用导数的几何意义解决切线问题的关键是 判断已知点是否是切点.若已知点是切点,则该点处的切线斜 率就是该点处的导数;如果已知点不是切点,则应先设出切 点,再借助两点连线的斜率公式进行求解.

3.已知抛物线y=ax2+bx+c通过点(1,1),且在点(2,-1) 处与直线y=x-3相切,求a,b,c的值.

解析: 因为y=ax2+bx+c过点(1,1),
所以a+b+c=1. y′=2ax+b,曲线过点(2,-1)的切线的斜率为4a+b=1.

又曲线过点(2,-1),所以 4a+2b+c=-1. ?a+b+c=1, ? 由?4a+b=1, ?4a+2b+c=-1, ? ?a=3, ? 解得?b=-11, ?c=9. ?

所以 a,b,c 的值分别为 3,-11,9.

1+cos x ◎求函数 y= x2 的导数.

【错解】

?1+cos x?′x2+?x2?′?1+cos x? y′= x2

x2sin x+2x+2xcos x xsin x+2cos x+2 = = . x x2

【错因】 解答本题需要用到常数函数和 cos x 的导数以及 和、商的导数法则,错解把公式(cos x)′=-sin x 中的负号丢
?u? ?u? u′v+v′u ? ?′时,一定 掉,商的导数公式记成?v?′= . 在求解 v ? ? ?v? ?u? u′v-v′u ? ? 要牢记公式 v ′= . 2 v ? ?

【正解】

?1+cos x?′x2-?x2?′?1+cos x? y′= x4

-x2sin x-2x?1+cos x? = x4 xsin x+2cos x+2 =- . x3


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