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高一数学必修一、必修二期末考试试卷[1]

高一数学必修一、必修二期末考试试卷
一、
① ③

选择题: (本大题共 8 小题,每小题 3 分)
? // ? ? ? ? m // ? m ???
m // n ? ? ? n // ? m // ? ? ? ? ?? ④ ??m? ? m // ? ?

1.已知不同直线 m 、 n 和不同平面 ? 、 ? ,给出下列命题: ②

m ??? ? ? m, n 异面 n?? ? 其中错误的命题有( )个 A.0 B.1 C.2 2.直线 l 过点 A(3,0) 和点 B(0, 2) ,则直线 l 的方程是( ) A. 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 B. 3x ? 2 y ? 6 ? 0 C. 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 D. 3x ? 2 y ? 1 ? 0

D.3

3.两条平行线 l1 : 4 x ? 3 y ? 2 ? 0 与 l2 : 4 x ? 3 y ? 1 ? 0 之间的距离是( ) 3 1 A.3 B. C. D.1 5 5 4.直线 l 的方程为 Ax ? By ? C ? 0 ,当 A ? 0 , B ? 0 , C ? 0 时,直线 l 必经过( A.第一、二、三象限 B.第二、三、四象限 C.第一、三、四象限 D.第一、二、四象限 2 2 2 2 5. ? O1 : x ? y ? 4x ? 6 y ? 12 ? 0 与 ? O2 : x ? y ? 8x ? 6 y ? 16 ? 0 的位置关系是( A.相交 B.外离 C.内含 D.内切 6.长方体的长、宽、高分别为 5、4、3,则它的外接球表面积为( ) 125 2 25 50 ? A. ? B.50 ? C. D. ? 3 2 3 7.点 P(7, ?4) 关于直线 l : 6 x ? 5 y ? 1 ? 0 的对称点 Q 的坐标是( ) A. (5, 6) B. (2,3) C. (?5,6) D. (?2,3)
5 ,则 k 的取值范围是( A. (??, 2) 1 C. ( , 2) 2





8.已知 ? C : x2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 15 ? 0 上有四个不同的点到直线 l : y ? k ( x ? 7) ? 6 的距离等于 ) B. (?2, ??) 1 D. (??, ) ? (2, ??) 2

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 3 分) 9.如图的空间直角坐标系中,正方体棱长为 2, | PQ |? 3 | PR | , 则点 R 的空间直角坐标为 . 10.过点 (5, 2) 且在 x 轴上的截距是在 y 轴上的截距的 2 倍 的直线方程是 . 11. 过 三 点 (? 2 , 0 )? , ( 6 圆 0 ) 方 (程0 , 6 ) 的 , 的 , 是 . 12.棱长为 a 的正方体中,把相邻面的中心连结起来,以这些线段为棱的八面体 的体积为 . 2 2 13. ? O1 : x ? y ? 2x ? 8 y ? 8 ? 0 与 ? O2 : x2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 2 ? 0 的 公 共 弦 长 为 . 14.曲线 y ? 2 ? 3 ? 2x ? x2 与直线 y ? k ( x ? 1) ? 5 有两个不同交点时,实数 k 的取值 范围是 .
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15.将半径都为 2 的 4 个钢球完全装入形状为正四面体的容器里,这个正四面体 的高的最小值为 .
三、解答题(本大题共 7 小题,第 16、18、19、20 题每小题 8 分,第 17、21 题每小题 9 分,第 22 题 5 分) 16. 在四面体 ABCD 中, 已知棱 AC 的长为 2 , 其余各棱长都为 1, 求二面角 B ? AC ? D 的 大小. 17. (1)过点 P(2, 4) 向圆 O : x2 ? y 2 ? 4 作切线,求切线的方程; (2)点 P 在圆 x2 ? y 2 ? 4 x ? 6 y ? 12 ? 0 上,点 Q 在直线 4 x ? 3 y ? 21 上,求 | PQ | 的最小 值. 18.在四面体 ABCD 中, CB ? CD , AD ? BD ,且 E 、 F 分别是 AB 、 BD 的中点. 求证: (1)直线 EF // 面 ACD ; (2)面 EFC ? 面 BCD .

第二卷
. 已 知 圆 C : ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 25 , 直 线 l : ? ? 4 x ? 2 )? ( ? y( ? . 5 ? ) ? 2 3 ? 1 2 (1)求证:直线 l 与圆 C 恒相交; (2)求直线 l 被圆 C 截得的弦长最短时 ? 的值以及最短弦长. 20 . 如 图 , 在 五 面 体 ABCDEF 中 , FA ? 平 面 A B C D , AD // BC // FE , AB ? AD , M 为 EC 的 中 点 , 19
0

1 ? . F E A D 2 (1)求异面直线 BF 与 DE 所成角的大小; (2)证明:平面 AMD ? 平面 CDE ; (3)求 MD 与平面 ABCD 所成角的正弦值. 21 . 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 已 知 圆 A F ? A? B B C ?
C1 : ( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 4





C2 : ( x ? 4) ? ( y ? 5) ? 4 .
2 2

(1)若直线 l 过点 A(4, 0) ,且被圆 C1 截得的弦长 为 2 3 ,求直线 l 的方程; (2)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1 和 l2 ,它们分 别与圆 C1 和圆 C2 相交,且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等, 试求所有满足条件的点 P 的坐标. 22.已知 a ? 0 , b ? 0 且 a ? 3b ? 2ab ,求 a ? b ? a2 ? b2 的最大值.

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高一数学期末考试参考答案
一、选择题: 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A B A D B C C 二、填空题: 4 4 9. ( ,2, ) 10. 2 x ? 5 y ? 0 或 x ? 2 y ? 9 ? 0 ; 11. x2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 12 ? 0 ; 3 3 5 3 3 5 a3 12. 13. 2 5 14. ( , ] ? [ ? , ? ) ; 15. 2 2 2 2 6 4 8? 6. 3 16.略解:90 ? 17. (1) x ? 2 或 3x ? 4 y ? 10 ? 0 ; (2) | PQ | 的最小值为 3. 18.证略 19. (1)直线 l 过定点 (3, 2) ,而 (3, 2) 在圆 C 内部,故 l 与圆 C 恒相交; 4? ? 2 (2)弦长最短时,弦心距最长,设 P(3, 2) ,则当 l ? CP 时,弦长最短,此时 ? ?1 3 ? 5? 得 ? ? 5 ,弦长最短 2 23 . 3 6 6 1 ED ? AF , 到面 ABCD 的距离是 AF , ns ? ? 20.1) ;2) (3) ? ( 60? ( 略; MD 故i . M 2 2 6 2 21. (1)直线 l : y ? 0 或 7 x ? 24 y ? 28 ? 0 ; 1 (2)设 P( a, b) , l1 : y ? b ? k ( x ? a) , l2 : y ? b ? ? ( x ? a)(k ? 0) ,因为两圆半径相等,故 k 1 | 5 ? (4 ? a) ? b | |1 ? k (?3 ? a) ? b | k ? 1 ?, ? b k | 4a 故 整 理 得 | ? k 3? a k ? b |? | k5? 2 1 1? k 1? 2 k 1 ? k3 ? a k ? b 5 ? k 4 或 1a 3k ? ak ? b ? ?5k ? 4 ? a ? bk ,即 (a ? b ? 2)k ? b ? a ? 3 或 ? ? ? ?b k
?a ? b ? 2 ? 0 ?a ? b ? 8 ? 0 (a ? b ? 8)k ? a ? b ? 5 ,因为 k 的取值有无穷多个,故 ? 或? ,得 ?b ? a ? 3 ? 0 ?a ? b ? 5 ? 0

5 1 3 13 P ( , ? ) 或 P2 (? , ) . 1 2 2 2 2 3 1 3 1 x y 22. a ? 3b ? 2ab ? 2 ? 2 ? 1 ? 直线 ? ? 1 过点 P ( , ) , 2 2 a b a b
如图可知 a ? b ? a2 ? b2 即为 Rt ? AOB 的内切圆直径,由直观易 知, 当内切圆恰与动直线 AB 相切于定点 P 时, 内切圆直径最大设 所 示 圆 圆 心 (r , r ) , 则 r ? (r ?
r?

3 2 1 ) ? (r ? )2 得 r 2 ? ( 3 ? 1)r ? 1 ? 0 , 取 较 小 根 2 2

3 ?1? 2 3 (较大根是 ?AOB 的旁切圆半径) ,故所求最大值 3 ? 1 ? 2 3 2

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