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三角恒等变换专题

三角恒等变换专题
【整体感知】三角恒等变换是我们学习了三角函数之后的两角和差公式以及二倍角公式的运用。 在考试中经常和三角函数的图像与性质一起考查,尤其是二倍角公式的运用。 【热点点击】高考中对于三角恒等变换中的二倍角公式考查得比较多,也是高考的一个热点。 注意公式的正用和逆用以及变用。 【本章考点】两角和差的三角函数公式、二倍角公式、三角恒等变换的化简与证明。 【命题趋势】1.考查两角和差的三角函数公式,经常以小题形式出现,难度不大; 2.考查二倍角公式的运用,题型可以是小题,也可以是大题,为中档题; 3.考查三角恒等变换的化简与求值问题,一般都放在大题中进行考查; 4.解答题为中高档题。对三角恒等变换的考查形式有“稳中求变求活、以能力立意”的趋势。 【复习建议】1.首先熟练记忆三角函数的两角和差的正弦公式、余弦公式、正切公式。 2.联系三角函数的有关图象、性质,往往化简后再利用三角函数的性质求解。 因此化简的过程就是三角恒等变换的重要体现,特别是二倍角的余弦公式。 注重通法通解的训练,不要只注重技巧。 第 1 讲:两角和差的正弦、余弦、正切公式 【知识精讲】 1.两角和差的正弦、余弦、正切公式及其变形; 2.二倍角、半角的正弦、余弦、正切公式; 3.升降幂公式;万能公式. 【基础梳理】 1.两角和差的三角函数:

sin ?? ? ? ? ? sin? cos ? ? cos? sin ? cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? sin? sin ? 2.二倍角公式: sin2 ? ? 2sin? cos? cos2? ? cos ? ? sin ? ?1? 2sin ? ? 2cos ? ?1 tan2? ? 2tan? 1? tan ? ? ? ? 1? cos? ; cos ? ? ? 1? cos? ; 3.半角公式: sin 2 2 2 2 tan ? ? ? 1? cos? ? sin? ? 1? cos? 2 1? cos? 1? cos? sin? 1? tan 2 ? 2tan ? 2tan ? 2 ; tan? ? 2 ; cos? ? 2 。 4.万能公式: sin? ? 2? 2? 2? 1? tan 1? tan 1? tan 2 2 2 1 5.积化和差: sin? cos ? ? ?sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? ? ? ? 2? cos? sin ? ? 1 ? sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? ? ? ? 2? ? cos? cos ? ? 1 ? cos ? ? ? ? cos ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2?
2 2 2 2
2

sin? sin ? ? ? 1 ? cos ?? ? ? ? ? cos ?? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 x ? y cos x ? y 6.和差化积: sin x ? sin y ? 2sin 2 2 x ? y x ? sin x ? sin y ? 2cos sin y 2 2 cos x ? cos y ? 2cos x ? y cos x ? y 2 2 cos x ? cos y ? ?2sin x ? y sin x ? y 2 2
7.三角形内角和定理的变形:由 A ? B ? C ? ? 知 A ? ? ? ? B ? C ? ,则 ?

? ?sin A ? sin ? B ? C ? , cos A ? ? cos B ? C ? ? ? ?

A B?C ? sin ? cos ? A ? B?C ? 2 2 而 ? ? ,则 ? . 2 2 2 ?cos A ? sin B ? C ? ? 2 2
8.方法: Ⅰ三角函数式的化简: ⑴常用方法:①直接应用公式进行降次、消项; ②切割化弦,异名化同名,异角化同角; ③三角公式的逆用等。 ⑵化简要求:①能求出值的应求出值; ②使三角函数的种数尽量少; ③使项数尽量少; ④尽量使分母不含三角函数; ⑤尽量使被开方数不含三角函数。 Ⅱ三角函数的求值类型: ⑴给角求值:一般所给出的角都是非特殊角,要观察所给角与特殊角之间的关系,利用三角变换消去 非特殊角,转化为求特殊角的三角函数值问题; ⑵给值求值:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题的关键在于“变角”, 如: ? ? ?? ? ? ? ? ? 、 2? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? 等,把所求角用含已知角的式子表示, 求解时要注意角的范围的讨论; ⑶给值求角:实质上转化为“给值求值”问题,由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的 单调性求得角的度数。 9.重要结论:⑴ sin ? ? cos ? ?

?? ? 2 sin ? ? ? ? ; 4? ?

⑵ tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 tan ? tan ? ? ? ⑶ a sin ? ? b cos ? ?
2

sin ?? ? ? ? ; cos ? cos ?

a 2 ? b 2 sin ?? ? ? ? ? a 2 ? b 2 cos ?? ? ?1 ? ;

⑷ ? sin ? ? cos ? ? ? 1 ? sin 2? ; ⑸ sin
2

?
2

?

1 ? cos ? 1 ? cos ? 2 ? ? , cos ; 2 2 2



1 ? tan ? ?? ? ? tan ? ? ? ? 。 1 tan ? ?4 ?

【要点解读】 要点一:三角函数的两角和差公式 【例 1】 不查表,求 sin 20 ? cos 80 ? 3 sin 20 cos80 的值。
2 2

6 sin ? ? cos ? ?? ? ? 2 ,求:⑴ tan ? ? ? ? 的值;⑵ 的值. 2 3sin ? ? 2 cos ? 4? ? ? ?? 1 ? ?? ? 2 【例 2】 若 0 ? ? ? ? ? ? ? , cos ? ? ? ? ? ? , sin ? ? ? ? ? ,求 cos ?? ? ? ? 的值. 2 2? 9 ? ?2 ? 3 3 【变式】 若 sin ?? ? ? ? cos ? ? cos ?? ? ? ? sin ? ? ,则 cos 2 ? 的值为( ) 5 7 18 7 18 A. B. C. ? D. ? 25 25 25 25
【变式】 已知 tan 要点二:三角函数的二倍角公式

?

?? ? sin ? ? ? ? 15 4? ? 【例 3】 若 ? 为第二象限角且 sin ? ? ,求 的值。 sin 2? ? cos 2? ? 1 4 【变式】 已知在 ?ABC 中, sin A?sin B ? cos B? ? sin C ? 0 , sin B ? cos 2C ? 0 ,求 A、 B、 C 的大小.

? ? ? 3 ) A. ? ?? cos ? sin ? ? ( 2 12 12 ?? 12 12 ? ?? ? ?? ? 1 ?? ? 【变式】 若 sin ? ? x ? sin ? ? x ? ? , x ? ? , ? ? ,则 sin 4 x ? ?4 ? ?4 ? 6 ?2 ?
【例 4】 ? cos

? ?

?

? sin

? ??

B. ? 。

1 2

C.

1 2

D.

3 2

【原创题探讨】 【原创精典 1】函数 y ? 2cos ? x ?
2

A.最小正周期为 ? 的奇函数

? ?

??

? ? 1 是( 4?

) B.最小正周期为 ? 的偶函数 D.最小正周期为

? C.最小正周期为 的奇函数 2

? 的偶函数 2


【原创精典 2】若函数 f ? x ? ? 1 ? 3 tan x cos x ? 0≤x< A. 1 【新动向前瞻】 【样题】已知关于 x 的方程 2 x ?
2

?

?

? ?

??

? ,则 f ? x ? 的最大值为( 2?
D. 3 ? 2

B. 2

C. 3 ? 1

?

3 ? 1 x ? m ? 0 的两根分别为 sin ? 、 cos? ?? ? (0, 2? ) ? ,求:

?

sin ? cos ? ? 的值;⑵ m 的值;⑶方程的两根及此时 ? 的值. 1 ? cot ? 1 ? tan ? 1 ? tan 25 ? ? ( 【样题】 ?1 ? tan 20 ??1 ? tan 21 ??1 ? tan 24 ?? ) A.2 B.4


C.8

D.16

第 2 讲:简单的三角恒等变换 【知识精讲】1.利用三角公式进行恒等变形的方法(变角、变次数、变函数名称、变运算关系等); 2.证明角相等的方法和证明三角恒等式的方法;. 【知识梳理】三角等式的证明: 1.三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征,通过三角恒等变换,应用化繁为简、左右 同一等方法,使等式两端的化“异”为“同”; 2.三角条件等式的证题思路是通过观察,发现已知条件和待证等式间的关系,采用代入法、 消参法或分析法进行证明。 【要点解读】 要点三:三角函数的两角和差公式求值

1 ,其中 ? 是第三象限角,求 cos ?15 ? ? ? ? sin ?? ? 15 ? 的值. 3 【变式】 已知 8cos ? 2? ? ? ? ? 5cos ? ? 0 ,求 tan ?? ? ? ? tan ? 的值.
【例 5】 若 cos 75 ? ? ?

?

?

要点四:三角函数的化简与证明 【例 6】 化简:⑴

3 tan12 ? 3 ; sin12 ? 4 cos 2 12 ? 2 ?

?? ??1 ? tan ? tan ? ; 2 2 ?? 2? ? ?? ?1 ? sin ? ? cos ? ? ? ? sin ? cos ? 2 2? ? ⑶ ?0 ? ? ? ? ? . 2 ? 2 cos ? 1 ? sin 4? ? cos 4? ?( 【变式】 ) A. cot ? B. cot 2? C. tan ? D. tan 2a 1 ? sin 4? ? cos 4? 2 ? 3 ? cos 4 x ? sin ? 2 A ? B ? sin B 2 2 ? 2 cos ? A ? B ? ? 【例 7】 证明:⑴ tan x ? cot x ? ;⑵ . 1 ? cos 4 x sin A sin A 2cos 2 ? ? 1 ? 【变式】 . ?? ? 2 ?? ? 2 tan ? ? ? ? sin ? ? ? ? ?4 ? ?4 ?
⑵ ? cot

? ?

?

? tan

? ??

【原创题探讨】
2 2 【原创】 若 tan ? ? 2 ,则 sin ? ? sin ? cos ? ? 2cos ? ? (



A. ?

4 3

B.

5 4

C. ?

3 4

D.

4 5

【新动向前瞻】 【样题】 求值:⑴

2sin 50 ? sin 80 1 ? 3 tan10 1 ? cos10

?

? ;⑵

3 tan120 ? 3 . sin120 ? 4 cos 2 120 ? 2 ?


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