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《双曲线的几何性质》练习题


双曲线的几何性质
一、选择题 x2 y2 1.双曲线 - =1 的渐近线方程是( 4 9 3 A.y=± x 2 2.若 0 ? k ? a ,双曲线 A.相同的虚轴 3.双曲线 2 B.y=± x 3
2

) 9 C.y=± x 4 4 D.y=± x 9 )

x2 y2 x2 y2 ( ? 2 ? 1 与双曲线 2 ? 2 ? 1 有 a ?k b ?k a b B.相同的实轴 C.相同的渐近线 D. 相同的焦点

x2 y 2 ? ? 1 上一点 P 到右焦点的距离是 8,则 P 到左准线的距离是 ( 64 36
B.

)

A.

32 5

96 5 2? 3

C. 10

D. 2 7

4.双曲线 6x2-2y2 = -1 的两条渐近线的夹角是( ) A.

x2 5.过点(2,-2)且与双曲线 -y2=1 有公共渐近线的双曲线方程是( 2 y2 x2 A. - =1 2 4 x2 y2 B. - =1 4 2 y2 x2 C. - =1 4 2

? 3

B.

C.

? 6

D.

? 2

) x2 y2 D. - =1 2 4 )

x2 y2 4 6.已知双曲线 2- 2=1 的一条渐近线方程为 y= x,则双曲线的离心率为( a b 3 5 A. 3 7. 双曲线 于( A.2 4 B. 3 5 C. 4 3 D. 2

???? ???? ? x2 ? y 2 ? 1 的两个焦点为 F1、 F2,点 P 在双曲线上,△ F1PF2 的面积为 3 ,则 PF1 ? PF2 等 4

) B. 3 C.-2 D. ? 3

x2 y2 8.已知点 F 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左焦点,点 E 是该双曲线的右顶点,过 F 且垂直于 a b x 轴的直线与双曲线交于 A、B 两点,若△ABE 是锐角三角形,则该双曲线的离心率 e 的取值范 围是 ( ) B.(1,2)
4

A.(1,+∞)

C.(1,1+ 2)

D.(2,1+ 2)

2 9.已知双曲线方程为 x 2 ? y ? 1 ,过 P(1,0)的直线 L 与双曲线只有一个公共点,则 L 的条

数共有( ) A.4 条

B.3 条

C.2 条

D.1 条

二、填空题 10.椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上一点 P 到左焦点的距离为 3,则 P 到 y 轴的距离为________ 4 3
xx 4 ? y2 =1 的交点的个数是___________ 4
x2 ? y 2 ? 1 的弦所在直线方程为 4

11.直线 y=x+3 与曲线 ?

12.过点 M (3,?1) 且被点 M 平分的双曲线

x2 y2 13.斜率为 2 的直线 l 过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点,且与双曲线的左右两支分别相 a b 交,则双曲线的离心率 e 的取值范围是____________ 三、解答题 14.已知不论 b 取何实数,直线 y=kx+b 与双曲线 x ? 2 y ? 1 总有公共点,试求实数 k 的取值
2 2

范围.

15.已知中心在坐标原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0),右顶点为( 3 ,0). (1)求双曲线 C 的方程; (2)若直线 l:y=kx+ 2 与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和 B,且 OA? OB >2(其中 O 为坐标原点), 求 k 的取值范围.

??? ? ??? ?

16.已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0),右顶点为( 3,0). (1)求双曲线 C 的方程; (2)若直线:y=kx+m(k≠0,m≠0)与双曲线 C 交于不同的两点 M、N,且线段 MN 的垂直平分 线过点 A(0,-1),求实数 m 的取值范围.

12、3x+4y-5=0 15.已知中心在坐标原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0),右顶点为( 3 ,0). (1)求双曲线 C 的方程; (2)若直线 l:y=kx+ 2 与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和 B,且 OA? OB >2(其中 O 为坐标原点), 求 k 的取值范围. 解:(1)设双曲线方程为

??? ? ??? ?

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0). a2 b2

由已知得 a= 3 ,c=2,∴b=1.

故所求双曲线方程为

x2 ? y 2 ? 1. 3

x2 ? y 2 ? 1 ,可得(1-3k2)x2-6 2 kx-9=0, (2)将 y=kx+ 2 代入 3
2 ? ?1 ? 3k ? 0, 由直线 l 与双曲线交于不同的两点,得 ? 2 ? ?? ? 36(1 ? k ) ? 0,

故 k2≠

1 且 k2<1.① 3

设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2= x1x2= . 1 ? 3k 2 ??? ? ??? ? 由 OA ? OB >2,得 x1x2+y1y2>2.

6 2k , 1 ? 3k 2

?9

而 x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+ 2 )(kx2+ 2 )=(k2+1)x1x2+ 2 k(x1+x2)+2 =(k2+1)·

?9 6 2k 3k 2 ? 7 ? 2 k ? ? 2 ? , 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 3k 2 ? 1

于是

1 3k 2 ? 7 ? 2 ,解得 ? k 2 ? 3 .② 2 3 3k ? 1

由①②得

1 ? k 2 ? 1, 3

故 k 的取值范围为(-1, ?

3 3 )∪( ,1). 3 3

16.已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0),右顶点为( 3,0). (1)求双曲线 C 的方程; (2)若直线:y=kx+m(k≠0,m≠0)与双曲线 C 交于不同的两点 M、N,且线段 MN 的垂直平分 线过点 A(0,-1),求实数 m 的取值范围. x2 y2 【解析】 (1)设双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0). a b 由已知得 a= 3,c=2. 又 a2+b2=c2,得 b2=1. x2 故双曲线 C 的方程为 -y2=1. 3 y=kx+m ? ?2 (2)联立?x 整理得 2 ? ? 3 -y =1 (1-3k2)x2-6kmx-3m2-3=0. ∵直线与双曲线有两个不同的交点, 2 ? ?1-3k ≠0 ? ∴ , 2 2 ?Δ=12(m +1-3k )>0 ? 1 可得 m2>3k2-1 且 k2≠ ① 3 设 M(x1,y1),N(x2,y2),MN 的中点为 B(x0,y0). x1+x2 6km 3km 则 x1+x2= = , 2,x0= 2 1-3k 1-3k2 m y0=kx0+m= . 1-3k2 由题意,AB⊥MN, m +1 1-3k2 1 ∵kAB= =- (k≠0,m≠0). 3km k 1-3k2 整理得 3k2=4m+1② 将②代入①,得 m2-4m>0,∴m<0 或 m>4. 1 又 3k2=4m+1>0(k≠0),即 m>- . 4 1 ? ∴m 的取值范围是? ?-4,0?∪(4,+∞). ???? ? ???? 备选:1、已知两定点 F1 ? 2, 0 , F2 2, 0 ,满足条件 PF2 ? PF1 ? 2 的点 P 的轨迹是曲线 E ,

?

? ?

?

直 线 y ? kx? 1 与 曲 线 E 交 于 A, B 两 点 , 如 果 AB ? 6 3 , 且 曲 线 E 上 存 在 点 C , 使

??? ? ??? ? ??? ? OA? OB? mOC ,求 m 的值和 ?ABC 的面积 S? .

解:由双曲线的定义可知,曲线 E 是以 F1 ? 2, 0 , F2 且c ?

?

? ?

2, 0 为焦点的双曲线的左支,

?

2, a ? 1 ,易知 b ? 1
2 2

故曲线 E 的方程为 x ? y ? 1? x ? 0? 设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,由题意建立方程组 ?
2 2 消去 y ,得 1 ? k x ? 2kx ? 2 ? 0

?

?

? y ? kx ? 1 2 2 ?x ? y ? 1

又已知直线与双曲线左支交于两点 A, B ,有

? 1? k 2 ? 0 ? 2 2 ?? ? ? 2k ? ? 8 ?1 ? k ? ? 0 ? ? ? x ? x ? ?2k ? 0 1 2 ? 1? k 2 ? ?2 ? x1 x2 ? ?0 ? 1? k 2 ?
2

解得 ? 2 ? k ? ?1

2 又∵ AB ? 1 ? k ? x1 ? x2 ? 1 ? k ?

? x1 ? x2 ?
2 2 2

2

? 4 x1 x2

?2 ? ?2k ? ?2 ? 1? k ? ? ? 4? 2 ? 1? k 2 ? 1? k ?
2

2

?1 ? k ?? 2 ? k ? ?1 ? k ?
2

依题意得 2

?1 ? k ?? 2 ? k ? ? 6 ?1 ? k ?
2 2 2 2

3

4 2 整理后得 28k ? 55k ? 25 ? 0

2 ∴k ?

5 5 2 或k ? 7 4

但 ? 2 ? k ? ?1

∴k ? ?

5 2

5 x ? y ?1 ? 0 2 ??? ? ??? ? ??? ? 设 C ? xc , yc ? ,由已知 OA ? OB ? mOC ,得 ? x1, y1 ? ? ? x2 , y2 ? ? ? mxc , myc ?
故直线 AB 的方程为

? x1 ? x2 y1 ? y2 ? , ? , ? m ? 0? m ? ? m 2k 2k 2 2 ? ?4 5 , y1 ? y2 ? k ? x1 ? x2 ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 又 x1 ? x2 ? 2 ?8 k ?1 k ?1 k ?1
∴ ? mxc , myc ? ? ?
? ? ∴点 C ? ?4 5 , 8 ? ? m m? ? ?

将点 C 的坐标代入曲线 E 的方程,得

得 m ? ?4 ,但当 m ? ?4 时,所得的点在双曲线的右支上,不合题意 ∴m ? 4

80 64 ? ?1 m2 m2

C 点的坐标为 ? 5, 2 , C 到 AB 的距离为

?

?

5 ? ? 5 ? 2 ?1 2 ? 5? 2 ? ? ?1 2 ? ?
2

?

?

?

1 3

∴ ?ABC 的面积 S ?

1 1 ?6 3? ? 3 2 3

2、已知双曲线 x2-

y2 =1,问过点 A(1,1)是否存在直线 l ,使 l 与双曲线交于 P,Q 两点,并且 A 2

为线段 PQ 的中点?若存在求出直线 l 的方程,若不存在请说明理由。 3、给定双曲线 2x2-y2=2 (1)过点 A(2,1)的直线 l 与所给双曲线交于两点 P1、P2,求线段 P1P2 中点 P 的轨迹方程; (2)过点 B(1,1)能否作直线 m,使 m 与所给双曲线交于两点 Q1、Q2,且点 B 是线段 Q1Q2 的中点? 如果直线 m 存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由. 4、直线 y=kx+1 与双曲线 3x2-y2=1 相交于两点 A、B, (1)当 k 为何值时,以 AB 为直径的圆经过坐标原点; (2)是否存在实数 k,使 A、B 关于直线 y=2x 对称?若存在,求出 k;若不存在,说明理由 3、(1)2x2-y2-4x+y=0;(2)不存在. 4、 (1)k=± 1;(2)不存在. 5、已知动点 P 与双曲线

x2 y2 ? =1 的两个焦点 F1、F2 的距离之和为定值,且 cosF1PF2 的最小 2 3

值为-

1 . 9

(1)求动点 P 的轨迹方程; (2)若已知 D(0,3),M、N 在动点 P 的轨迹上,且 DM =λ 解:(1)由题意 c2=5,设|PF1|+|PF2|=2a(a> 5 ),由余弦定理 得 cosF1PF2=

DN ,求实数λ

的取值范围

| PF1 |2 ? | PF2 |2 ? | F1 F2 |2 2a 2 ? 10 = -1. 2 | PF1 | ? | PF2 | | PF1 | ? | PF2 |
| PF1 | ? | PF2 | 2 2 ) =a , 2
3分

又|PF1|·|PF2|≤(

当且仅当|PF1|=|PF2|时,|PF1|·|PF2|取最大值,

1 2a 2 ? 10 2a 2 ? 10 此时 cosF1PF2 取最小值 -1,令 -1=- ,解得 a2=9. 2 2 9 a a
∵c= 5 ,∴b2=4,故所求 P 的轨迹方程为

x2 y2 ? =1. 9 4

7分

(2)设 N(s,t),M(x,y),则由 DM =λ DN ,可得 (x,y-3)=λ (s,t-3),故 x=λ s,y=3+λ (t-3), ∵M、N 在动点 P 的轨迹上,故

s2 t 2 (? s ) 2 (?t ? 3 ? 3? ) 2 ? =1 且 + =1. 4 9 4 9

(?t ? 3 ? 3? ) 2 ? ?2t 2 消去 s,可得 =1-λ 2, 4
13? ? 5 13? ? 5 1 .又|t|≤2,∴| |≤2,解得 ≤λ ≤5. 6? 6? 5 1 故实数λ 的取值范围是[ ,5]. 5
解得 t=

x2 6、设双曲线 C: 2-y2=1(a>0)与直线 l:x+y=1 相交于两个不同的点 A、B. a (1)求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围; → 5→ (2)设直线 l 与 y 轴的交点为 P,且PA= PB,求 a 的值. 12 x2 2 【解析】 (1)将 y=1-x 代入双曲线 2-y =1 中得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0① a 2 ? ?1-a ≠0 所以? 4 , 2 2 ?4a +8a (1-a )>0 ? 解得 0<a< 2,且 a≠1,又双曲线的离心率 1+a2 1 e= = +1,0<a< 2且 a≠1, a a2 6 ∴e> 且 e≠ 2. 2 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(0,1). 5 → 5→ ∵PA= PB,∴(x1,y1-1)= (x2,y2-1). 12 12 5 由此得 x1= x2 由于 x1,x2 都是方程①的两根, 12 -2a2 5 2 17 2a2 且 1-a2≠0,∴ x2= x2=- . 2, 12 1-a 12 1-a2 2 2a 289 289 17 消去 x2,得- = ,∴a2= ,∴a=± . 169 13 1-a2 60 17 由 a>0,得 a= . 13
2

0

0

7

0

3

0

5


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