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上海市复旦大学附中 16-17 学年高一（上）期中 数学试卷 一.填空题 1． （3 分）已知全集 U=R，集合 A={x|x≤1}，集合 B={x|x≥2}，则?U（A∪B）= 2． （3 分）集合{1，2，3，…，2015，2016}的子集个数为 ． ． ． 3． （3 分） 已知集合 A={x|1≤x≤2}， 集合 B={x|x≤a}， 若 A∩B≠?， 则实数 a 的取值范围是 4． （3 分）己知集合 U={a，b，c，d，e，f}，集合 A={a，b，c，d}，A∩B={b}，?U（A∪B） ={f}，求集合 B． 5． （3 分）已知 a2＞a1＞0，b2＞b1＞0，且 a1+a2=b1+b2=1，记 A=a1b1+a2b2，B=a1b2+a2b1， C= ，则按 A、B、C 从小到大的顺序排列是 ． ． 6． （3 分）已知 Rt△ABC 的周长为定值 2，则它的面积最大值为 7． （3 分）我们将 b﹣a 称为集合 M={x|a≤x≤b}的“长度”，若集合 M={x|m≤x≤m+ }， N={x|n﹣0.5≤x≤n}，且集合 M 和集合 N 都是集合{x|0≤x≤1}的子集，则集合 M∩N 的“长度” 的最小值是 ． ＞x}，B={x|x（x﹣3） （x+3）＞0}，则 A∩B= ． 8． （3 分）已知 A={x| 9． （3 分）对于任意集合 X 与 Y，定义：①X﹣Y={x|x∈X 且 x?Y}，②X△Y=（X﹣Y）∪（Y ﹣X） ，已知 A={y|y=x2，x∈R}，B={y|﹣2≤y≤2}，则 A△B= ． 10． （3 分）已知常数 a 是正整数，集合 A={x||x﹣a|＜a+ ，x∈Z}，B={x||x|＜2a，x∈Z}， 则集合 A∪B 中所有元素之和为 ． 11． （3 分）非空集合 G 关于运算⊕满足： （1）对任意 a，b∈G，都有 a+b∈G； （2）存在 e∈G 使得对于一切 a∈G 都有 a⊕e=e⊕a=a， 则称 G 是关于运算⊕的融洽集， 现有下列集合与运算： ①G 是非负整数集，⊕：实数的加法； ②G 是偶数集，⊕：实数的乘法； ③G 是所有二次三项式构成的集合，⊕：多项式的乘法； ④G={x|x=a+b ，a，b∈Q}，⊕：实数的乘法； 其中属于融洽集的是 （请填写编号） 12． （3 分）集合 A={（x，y）|y=a|x|，x∈R}，B={（x，y）|y=x+a，x∈R}，已知集合 A∩B 中有且仅有一个元素，则常数 a 的取值范围是 二.选择题 13． （3 分）已知集合 A={1，2，3，…，2105，2016}，集合 B={x|x=3k+1，k∈Z}，则 A∩B 中的最大元素是（ A．2014 B．2015 C．2016 D．以上答案都不对 14． （3 分）已知全集 U=A∪B 中有 m 个元素， （?UA）∪（?UB）中有 n 个元素．若 A∩B 非 空，则 A∩B 的元素个数为（ A．mn ） ） ． B．m+n C．n﹣m D．m﹣n ） 15． （3 分）命题“已知 x，y∈R，如果 x2+y2=0，那么 x=0 且 y=0”的逆否命题是（ A．已知 x，y∈R，如果 x2+y2≠0，那么 x≠0 且 y≠0 B．已知 x，y∈R，如果 x2+y2≠0，那么 x≠0 或 y≠0 C．已知 x，y∈R，如果 x≠0 或 y≠0，那么 x2+y2≠0 D．已知 x，y∈R，如果 x≠0 且 y≠0，那么 x2+y2≠0 16． （3 分）对任意实数 a，b，c，给出下列命题： ①“a=b”是“ac=bc”的充要条件； ②“a+5 是无理数”是“a 是无理数”的充要条件； ③“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件； ④“a＜4”是“a＜3”的必要条件； 其中真命题的个数是（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 三.解答题 17．已知集合 A={1，2，3}，B={x|x2﹣（a+1）x+a=0，x∈R}，若 A∪B=A，求实数 a． 18．已知 a，b，c∈R+，求证：2（a3+b3+c3）≥ab2+a2b+bc2+b2c+ac2+a2c． 19．设正有理数 a1 是 （1） 的一个近似值，令 a2=1+ ，求证： 介于 a1 与 a2 之间； ． （2）a2 比 a1 更接近于 20．已知对任意实数 x，不等式 mx2﹣（3﹣m）x+1＞0 成立或不等式 mx＞0 成立，求实数 m 的取值范围． 21．已知关于 x 的不等式（4kx﹣k2﹣12k﹣9） （2x﹣11）＞0，其中 k∈R； （1）试求不等式的解集 A； （2）对于不等式的解集 A，记 B=A∩Z（其中 Z 为整数集） ，若集合 B 为有限集，求实数 k 的取值范围，使得集合 B 中元素个数最少，并用列举法表示集合 B． 参考答案 一.填空题 1． {x|1＜x＜2} 2. 22016 3． [1，+∞） 4．解：∵U={a，b，c，d，e，f}，?U（A∪B）={f}， ∴A∪B={a，b，c，d，e}， ∵A∩B={b}；A={a，b，c，d}， ∴b∈B，e∈B，b?B，c?B，d?B， ∴B={b，e}． 5．B＜C＜A 6．3﹣2 7． 8． {x|﹣3＜x＜0} 9． [﹣3，0）∪（3，+∞） 10． 2a 11． ①④ 12． [﹣1，1] 二.选择题 13．A 14．D 15．C 16．B 三.解答题 17．解：由 A∪B=A，得 B?A． ①若 B=?，则△=（a+1）2﹣4a＜0，解得：a∈?； ②若 1∈B，△=（a+1）2﹣4a=0，此时 a=1，满足 12﹣a﹣1+a=0，此时 B={1}，符合题意； ③若 2∈B，则 22﹣2a﹣2+a=0，解得：a=2，此时 A={2，1}，满足题意． ④若 3∈B，则 32﹣3a﹣3+a=0，解得：a=3，此时 A={3，1}，满足题意．

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