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平面向量基础训练题

一、选择题 1．若向量 a =（1，1） ， b =（1，-1） ， c =（-1，2） ，则 c 等于（ ） A．

? 1 3 a? b 2 2 1 3 a? b 2 2 B． 3 1 a? b 2 2 C．

D．

?

3 1 a? b 2 2

2．若取两个互相垂直的单位向量 i， j 为基底, 且已知 a = 3i + 2j , b = i - 3j , 则 5a 与 3b 的数量积等于（ ） A．–45 B．45 C．–1 D．1

3． O 是 ΔABC 所在的平面内的一点，且满足（ OB - OC ）· （ OB + OC -2 OA ）=0，则 ΔABC 的形状一定为（ ） A．正三角形 B．直角三角形 4．下面的四个命题：①| a ? b |?| a || b | ； ③ 若 a ? (b ? c)则a ? b ? a ? c ； 其中真命题是（ A．① ② ） B．③ ④ C．等腰三角形

2 2

D．斜三角形

2 ②(a ? b) ? a ? b ；

④ 若 a ? b ? 0则 | a ? b |?| a ? b | C．① ③ D．② ④

2 5．将抛物线 y ? x ? 4x ? 7 的图象按向量 a 平移，使其顶点与坐标原点重合，则 a =（ ）

A． （2，-3）

B． （-2，-3）

C． （-2，3）

D． （2，3）

6．下列四个命题，其中正确的个数有（ ） ① 对于实数 m 和向量 a, b, 恒有m(a ? b) ? ma ? mb ② 对于实数 m, n 和向量 a, 恒有(m ? n)a ? ma ? na ③ 若 ma ? mb(m ? R), 则有a ? b A．1 个 B．2 个 ④ 若 ma ? na(m, n ? R, a ? 0, 则有m ? n C．3 个 D．4 个

7．已知 | a |? 3,| b |? 5, 且a ? b ? 12 ，则向量 a 在向量 b 上的投影为（ ） C．4 D．5 1 MN OM ON 8．已知向量 =（3，-2） ， =（-5，-1） ，则 2 等于（ ） 1 1 A． （8，1） B． （-8，1） C． （4，- 2 ） D． （-4， 2 ） ? 2 2 9．已知|p|= ，|q|=3，p，q 的夹角为 4 ，则以 a=5p+2q，b=p-3q 为邻边的平行四边形的 一条对角线长为（ ）

12 A． 5

B．3

A．15

B． 15

C．14

D．16

10．设 e1 和 e2 是互相垂直的单位向量，且 a=3e1+2e2，b=-3e1+4e2，则 a· b 等于（ ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 11．若|a|=|b|=1，a⊥ b 且 2a+3b 与 ka-4b 也互相垂直，则实数 k 的值为（ ） A．-6 B．6 C．-3 D．3 12．设 a、b、c 为平面向量，下面的命题中：① a· （b-c）=a· b-a· c；② （a· b）· c=a· (b· c)；③ （a-b） 2 2 2 =|a| -2|a|· |b|+|b| ；④ 若 a· b=0，则 a=0 或 b=0。正确的个数是（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 BACBA CADAC BC 二、填空题 13．已知 e 是单位向量，求满足 a∥ e 且 a· e =－18 的向量 a=_______. 14．设 a=(m+1)i－3j，b=i+(m－1)j，(a+b) ⊥ (a－b), 则 m=___ ___.

BC + AB = 0，则 ΔABC 的形状为 15．若 AB ·

2

。

2 2 16．把函数 y ? 2 x ? 4 x ? 5 的图象按向量 a 平移，得到 y ? 2 x 的图象，且 a⊥ b，c=（1，-1） ，

b· c=4，则 b= 13．－18e 14．－2

。 15．直角三角形

16． （3，-1） .

17、若 | a ? b |? 41 ? 20 3 ， | a |? 4, | b |? 5 ，则 a与b 的数量积为 r r 18、向量 a ? ( x,1) 与 b ? (4, x) 共线且方向相同，则 x = . 20、已知 a =(－3，4)，若 | b | ＝1， b ⊥ a ，则 b =

19、已知 A（3，y） ，B（ ? 5 ，2） ，C（6， ? 9 ）三点共线，则 y=_________. . . . 21、非零向量 a 和 b 满足： | a |?| b |?| a ? b | ，则 a 与 a ? b 的夹角等于 1 a b a 22、已知| |=10，| |=12，且（3 ） · （ 5 b ）=－36，则 a 与 b 的夹角是

? | a | | b | 23、如果 ＝1， ＝2， a 与 b 的夹角为 4 ，则 |a ? b | 等于 . 三、解答题 24．已知向量 a=e1-e2，b=4 e1+3 e2，其中 e1=（1，0） ，e2=（0，1） 。 （Ⅰ ）试计算 a· b 及|a+ b|的值； （Ⅱ ）求向量 a 与 b 的夹角的余弦值。 解： （Ⅰ ）a =（1，0）-（0，1）=（1，-1） ，b=（4，0）+（0，3）=（4，3） 。

a· b=（1，-1）· （4，3）=1；|a+b|=|（5，2）|= 29 。

cos? ? a ?b 2 2 ? ? ? arccos | a | ? | b | 10 ， 10 。

（Ⅱ ）

25．已知平面上三个向量 a、b、c 的模均为 1，它们相互之间的夹角均为 120° . （Ⅰ ）求证： （a－b）⊥ c； （Ⅱ ）若|ka+b+c|>1（k∈ R） ，求 k 的取值范围.

| a |?| b |?| c |? 1, 且 a、b、c 之间的夹角均为 120° 解（Ⅰ ）? ，

? (a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c ?| a || c | cos120? ? | b || c | ocs120? ? 0

…3

分

? (a ? b) ? c .

| ka ? b ? c |? 1, （Ⅱ ）?

? | ka ? b ? c |2 ? 1,

(ka ? b ? c) ? (ka ? b ? c) ? 1,

?k 2a ? a ? b ? b ? c ? c ? 2ka ? b ? 2ka ? c ? 2b ? c ? 1

? k 2 ? 2k ? 0,

1 a ? b ? a ? c ? b ? c ? cos120 ? ? , 2

2 2

? k ? 0或k ? 2 .

26．已知 f（A,B）= sin 2 A ? cos 2B ? 3 sin 2 A ? cos2B ? 2 。 （Ⅰ ）设 A、B、C 为 ΔABC 内角，当 f（A, B）取得最小值是，求∠ C； ? （Ⅱ ）当 A+B= 2 且 A、B∈ R 时，y=f（A, B）的图象通过向量 p 的平移得到函数 y=2cos2A 的图象，求向量 p。

(sin2 A ? 3 2 1 ) ? (cos2B ? ) 2 ? 1 2 2 。

解： （Ⅰ ）f（A· B）=

由题意

? sin 2 A ? ? ? ? ?cos 2 B ? ? ?

? ? ? 3 , ?A ? 或 , ? 6 3 2 ? ? 1 2? ? ?B ? ? . ? 6 ? 2 ∴ ∠ C= 3 或∠ C= 2 。

? （Ⅱ ）∵ A+B= 2 ，∴ 2B= ? -2A， ? ? 3 3 ∴ f（A· B）=cos2A- sin2A+3=2cos（2A+ ）+3=2cos2（A+ 6 ）+3， ? ∴ p =（ 6 ，-3） 。

27．平面直角坐标系内有点 P（1，cosx） ，Q（cosx，1） ，

x ? [?

? ?

, ] 4 4 。

（Ⅰ ）求向量 OP 和 OQ 的夹角 θ 的余弦用 x 表示的函数 f（x） ； （Ⅱ ）求 θ 的最值。

2 OQ =2cosx，| OP |· 解： （Ⅰ ）∵OP · | OQ |= 1 ? cos x ，

OP ? OD

∴ cosθ= | OP | ? | OD |

?

2 cos x 1 ? cos2 x

= f（x） 。

2 cos x 2 ? 1 ? cos2 x cos x ? 1 cos x 。 （Ⅱ ）cosθ= f（x）=

∵

x ? [?

? ?

,

1 3 2 2 cos x ? cos x ?[ , 1] 4 4 ，∴ cos x ≤ 2 ， 2 ，2≤ ]

2 2 2 2 2 2 3 ≤f（x）≤1，即 3 ≤cosθ≤1。 ? max arccos 3 ，

? min ? =0。

28．已知 a =（cos ? ，sin ? ） ，b=（cos ? ，sin ? ） ，a 与 b 之间有关系式|ka+b |= 3 |a-ka|， 其中 k>0。 （Ⅰ ）用 k 表示 a· b； （Ⅱ ）求 a· b 的最小值，并求此时 a 与 b 的夹角 θ 的大小。 解： （Ⅰ ）由|ka+b |2= 3 |a-ka|2 得，8ka· b=（3-k2）a2+（3k2-1）b2。

(3 ? k 2 )a 2 ? (3k 2 ? 1)b 2 8k ∴ a· b= 。

∵ a =（cos ? ，sin ? ） ，b=（cos ? ，sin ? ） ，∴ a2=1，b2=1，

k 2 ?1 ∴ a· b= 4 k 。

1 k 2 ? 1 2k 1 ? 2 （Ⅱ ）∵ k>0，k +1>2k，即 4k ≥ 4k 2 ，∴ a· b 的最小值为 2 。 1 ? ? ∵ a· b=|a|· |b|cosθ，∴ cosθ= 2 ，θ= 60 ，此时 a 与 b 的夹角为 60 。

29．已知： a 、 b 、 c 是同一平面内的三个向量，其中 a =（1，2） （Ⅰ ）若| c | ? 2 5 ，且 c // a ，求 c 的坐标；

5 , b （Ⅱ ）若| |= 2 且 a ? 2b 与 a ? b 垂直，求 a 与 b 的夹角 θ.

c ? ( x, y),? | c | ? 2 5,? x 2 ? y 2 ? 2 5,? x 2 ? y 2 ? 20 解： （Ⅰ ）设 ? c // a, a ? (1,2),? 2x ? y ? 0,? y ? 2x

? ? y ? 2x ? 2 2 ? ? x ? y ? 20

?x ? 2 ? ?y ? 4 ? x ? ?2 ? ? y ? ?4

由

∴

或

∴c ? (2,4),或c ? (?2,?4)

（Ⅱ ）?(a ? 2b) ? (2a ? b),?(a ? 2b) ? (2a ? b) ? 0

2a ? 3a ? b ? 2b ? 0,?2 | a |2 ?3a ? b ? 2 | b |2 ? 0 ……（※ ）

? | a |2 ? 5, | b |2 ? ( 5 2 5 ) ? , 2 4 代入（※ ）中,

? 5 2

? 2 ? 5 ? 3a ? b ? 2 ? 5 5 ? 0?a ? b ? ? 4 2

2 2

5 a ?b ?| a |? 5 , | b |? ,? c o ? s? ? 2 | a |?|b |

5 5? 2

? ?1

a ? (2, cos x), b ? (sin( x ? ), ?2) 6 30、已知 函数 f ( x) ? a b( x ? R)

（1） 求函数 f(x)的单调递增区间

?

f ( x) ?

（2） 若

6 ? cos(2 x ? ) 5求 3 的值

31 、 已 知

a?( 2 c? os x

x?

, 2 ? cx o ? s b

?

) ,? x c o s ? x ,

?

3 sin （ 其 中 0 ? ? ? 1) 函 数

f ( x) ? a ? b ，若直线

?

3 是函数 f ( x) 图像的一条对称轴，

（1） 求 ? 的值 （2）作出 f ( x ) 在区间 [?? , ? ] 的图像

x x x 2? m ? ( 3 sin ,1), n ? (cos , cos 2 ) cos( ? x) 4 4 4 （1）若 m n ? 1求 3 32、已知 的值

（ 2 ） 记 f ( x) ? m ? n ， 在 ?ABC 中 ， 角 A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 为 a,b,c ， 且 满 足

(2a ? c) cos B ? b cos C 求 f ( A) 的取值范围

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