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数学必修4第二章平面向量练习题

平面向量基础训练题
一、选择题 1.若向量 a =(1,1) , b =(1,-1) , c =(-1,2) ,则 c 等于( ) A.
? 1 3 a? b 2 2 1 3 a? b 2 2 B. 3 1 a? b 2 2 C.

D.

?

3 1 a? b 2 2

2.若取两个互相垂直的单位向量 i, j 为基底, 且已知 a = 3i + 2j , b = i - 3j , 则 5a 与 3b 的数量积等于( ) A.–45 B.45 C.–1 D.1

3. O 是 ΔABC 所在的平面内的一点,且满足( OB - OC )· ( OB + OC -2 OA )=0,则 ΔABC 的形状一定为( ) A.正三角形 B.直角三角形 4.下面的四个命题:①| a ? b |?| a || b | ; ③ 若 a ? (b ? c)则a ? b ? a ? c ; 其中真命题是( A.① ② ) B.③ ④ C.等腰三角形
2 2

D.斜三角形

2 ②(a ? b) ? a ? b ;

④ 若 a ? b ? 0则 | a ? b |?| a ? b | C.① ③ D.② ④

2 5.将抛物线 y ? x ? 4x ? 7 的图象按向量 a 平移,使其顶点与坐标原点重合,则 a =( )

A. (2,-3)

B. (-2,-3)

C. (-2,3)

D. (2,3)

6.下列四个命题,其中正确的个数有( ) ① 对于实数 m 和向量 a, b, 恒有m(a ? b) ? ma ? mb ② 对于实数 m, n 和向量 a, 恒有(m ? n)a ? ma ? na ③ 若 ma ? mb(m ? R), 则有a ? b A.1 个 B.2 个 ④ 若 ma ? na(m, n ? R, a ? 0, 则有m ? n C.3 个 D.4 个

7.已知 | a |? 3,| b |? 5, 且a ? b ? 12 ,则向量 a 在向量 b 上的投影为( ) C.4 D.5 1 MN OM ON 8.已知向量 =(3,-2) , =(-5,-1) ,则 2 等于( ) 1 1 A. (8,1) B. (-8,1) C. (4,- 2 ) D. (-4, 2 ) ? 2 2 9.已知|p|= ,|q|=3,p,q 的夹角为 4 ,则以 a=5p+2q,b=p-3q 为邻边的平行四边形的 一条对角线长为( )
12 A. 5

B.3

A.15

B. 15

C.14

D.16

10.设 e1 和 e2 是互相垂直的单位向量,且 a=3e1+2e2,b=-3e1+4e2,则 a· b 等于( ) A.1 B.2 C.-1 D.-2 11.若|a|=|b|=1,a⊥ b 且 2a+3b 与 ka-4b 也互相垂直,则实数 k 的值为( ) A.-6 B.6 C.-3 D.3 12.设 a、b、c 为平面向量,下面的命题中:① a· (b-c)=a· b-a· c;② (a· b)· c=a· (b· c);③ (a-b) 2 2 2 =|a| -2|a|· |b|+|b| ;④ 若 a· b=0,则 a=0 或 b=0。正确的个数是( ) A.3 B.2 C.1 D.0 BACBA CADAC BC 二、填空题 13.已知 e 是单位向量,求满足 a∥ e 且 a· e =-18 的向量 a=_______. 14.设 a=(m+1)i-3j,b=i+(m-1)j,(a+b) ⊥ (a-b), 则 m=___ ___.
BC + AB = 0,则 ΔABC 的形状为 15.若 AB ·
2



2 2 16.把函数 y ? 2 x ? 4 x ? 5 的图象按向量 a 平移,得到 y ? 2 x 的图象,且 a⊥ b,c=(1,-1) ,

b· c=4,则 b= 13.-18e 14.-2

。 15.直角三角形

16. (3,-1) .

17、若 | a ? b |? 41 ? 20 3 , | a |? 4, | b |? 5 ,则 a与b 的数量积为 r r 18、向量 a ? ( x,1) 与 b ? (4, x) 共线且方向相同,则 x = . 20、已知 a =(-3,4),若 | b | =1, b ⊥ a ,则 b =

19、已知 A(3,y) ,B( ? 5 ,2) ,C(6, ? 9 )三点共线,则 y=_________. . . . 21、非零向量 a 和 b 满足: | a |?| b |?| a ? b | ,则 a 与 a ? b 的夹角等于 1 a b a 22、已知| |=10,| |=12,且(3 ) · ( 5 b )=-36,则 a 与 b 的夹角是

? | a | | b | 23、如果 =1, =2, a 与 b 的夹角为 4 ,则 |a ? b | 等于 . 三、解答题 24.已知向量 a=e1-e2,b=4 e1+3 e2,其中 e1=(1,0) ,e2=(0,1) 。 (Ⅰ )试计算 a· b 及|a+ b|的值; (Ⅱ )求向量 a 与 b 的夹角的余弦值。 解: (Ⅰ )a =(1,0)-(0,1)=(1,-1) ,b=(4,0)+(0,3)=(4,3) 。
a· b=(1,-1)· (4,3)=1;|a+b|=|(5,2)|= 29 。
cos? ? a ?b 2 2 ? ? ? arccos | a | ? | b | 10 , 10 。

(Ⅱ )

25.已知平面上三个向量 a、b、c 的模均为 1,它们相互之间的夹角均为 120° . (Ⅰ )求证: (a-b)⊥ c; (Ⅱ )若|ka+b+c|>1(k∈ R) ,求 k 的取值范围.

| a |?| b |?| c |? 1, 且 a、b、c 之间的夹角均为 120° 解(Ⅰ )? ,

? (a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c ?| a || c | cos120? ? | b || c | ocs120? ? 0

…3



? (a ? b) ? c .

| ka ? b ? c |? 1, (Ⅱ )?

? | ka ? b ? c |2 ? 1,

(ka ? b ? c) ? (ka ? b ? c) ? 1,

?k 2a ? a ? b ? b ? c ? c ? 2ka ? b ? 2ka ? c ? 2b ? c ? 1
? k 2 ? 2k ? 0,

1 a ? b ? a ? c ? b ? c ? cos120 ? ? , 2
2 2

? k ? 0或k ? 2 .

26.已知 f(A,B)= sin 2 A ? cos 2B ? 3 sin 2 A ? cos2B ? 2 。 (Ⅰ )设 A、B、C 为 ΔABC 内角,当 f(A, B)取得最小值是,求∠ C; ? (Ⅱ )当 A+B= 2 且 A、B∈ R 时,y=f(A, B)的图象通过向量 p 的平移得到函数 y=2cos2A 的图象,求向量 p。
(sin2 A ? 3 2 1 ) ? (cos2B ? ) 2 ? 1 2 2 。

解: (Ⅰ )f(A· B)=

由题意

? sin 2 A ? ? ? ? ?cos 2 B ? ? ?

? ? ? 3 , ?A ? 或 , ? 6 3 2 ? ? 1 2? ? ?B ? ? . ? 6 ? 2 ∴ ∠ C= 3 或∠ C= 2 。

? (Ⅱ )∵ A+B= 2 ,∴ 2B= ? -2A, ? ? 3 3 ∴ f(A· B)=cos2A- sin2A+3=2cos(2A+ )+3=2cos2(A+ 6 )+3, ? ∴ p =( 6 ,-3) 。

27.平面直角坐标系内有点 P(1,cosx) ,Q(cosx,1) ,

x ? [?

? ?

, ] 4 4 。

(Ⅰ )求向量 OP 和 OQ 的夹角 θ 的余弦用 x 表示的函数 f(x) ; (Ⅱ )求 θ 的最值。
2 OQ =2cosx,| OP |· 解: (Ⅰ )∵OP · | OQ |= 1 ? cos x ,

OP ? OD

∴ cosθ= | OP | ? | OD |

?

2 cos x 1 ? cos2 x

= f(x) 。

2 cos x 2 ? 1 ? cos2 x cos x ? 1 cos x 。 (Ⅱ )cosθ= f(x)=



x ? [?

? ?
,

1 3 2 2 cos x ? cos x ?[ , 1] 4 4 ,∴ cos x ≤ 2 , 2 ,2≤ ]

2 2 2 2 2 2 3 ≤f(x)≤1,即 3 ≤cosθ≤1。 ? max arccos 3 ,

? min ? =0。

28.已知 a =(cos ? ,sin ? ) ,b=(cos ? ,sin ? ) ,a 与 b 之间有关系式|ka+b |= 3 |a-ka|, 其中 k>0。 (Ⅰ )用 k 表示 a· b; (Ⅱ )求 a· b 的最小值,并求此时 a 与 b 的夹角 θ 的大小。 解: (Ⅰ )由|ka+b |2= 3 |a-ka|2 得,8ka· b=(3-k2)a2+(3k2-1)b2。
(3 ? k 2 )a 2 ? (3k 2 ? 1)b 2 8k ∴ a· b= 。

∵ a =(cos ? ,sin ? ) ,b=(cos ? ,sin ? ) ,∴ a2=1,b2=1,
k 2 ?1 ∴ a· b= 4 k 。
1 k 2 ? 1 2k 1 ? 2 (Ⅱ )∵ k>0,k +1>2k,即 4k ≥ 4k 2 ,∴ a· b 的最小值为 2 。 1 ? ? ∵ a· b=|a|· |b|cosθ,∴ cosθ= 2 ,θ= 60 ,此时 a 与 b 的夹角为 60 。

29.已知: a 、 b 、 c 是同一平面内的三个向量,其中 a =(1,2) (Ⅰ )若| c | ? 2 5 ,且 c // a ,求 c 的坐标;
5 , b (Ⅱ )若| |= 2 且 a ? 2b 与 a ? b 垂直,求 a 与 b 的夹角 θ.

c ? ( x, y),? | c | ? 2 5,? x 2 ? y 2 ? 2 5,? x 2 ? y 2 ? 20 解: (Ⅰ )设 ? c // a, a ? (1,2),? 2x ? y ? 0,? y ? 2x
? ? y ? 2x ? 2 2 ? ? x ? y ? 20
?x ? 2 ? ?y ? 4 ? x ? ?2 ? ? y ? ?4







∴c ? (2,4),或c ? (?2,?4)

(Ⅱ )?(a ? 2b) ? (2a ? b),?(a ? 2b) ? (2a ? b) ? 0
2a ? 3a ? b ? 2b ? 0,?2 | a |2 ?3a ? b ? 2 | b |2 ? 0 ……(※ )
? | a |2 ? 5, | b |2 ? ( 5 2 5 ) ? , 2 4 代入(※ )中,
? 5 2
? 2 ? 5 ? 3a ? b ? 2 ? 5 5 ? 0?a ? b ? ? 4 2
2 2

5 a ?b ?| a |? 5 , | b |? ,? c o ? s? ? 2 | a |?|b |

5 5? 2

? ?1

a ? (2, cos x), b ? (sin( x ? ), ?2) 6 30、已知 函数 f ( x) ? a b( x ? R)
(1) 求函数 f(x)的单调递增区间

?

f ( x) ?
(2) 若

6 ? cos(2 x ? ) 5求 3 的值

31 、 已 知

a?( 2 c? os x
x?

, 2 ? cx o ? s b

?

) ,? x c o s ? x ,

?

3 sin ( 其 中 0 ? ? ? 1) 函 数

f ( x) ? a ? b ,若直线

?
3 是函数 f ( x) 图像的一条对称轴,

(1) 求 ? 的值 (2)作出 f ( x ) 在区间 [?? , ? ] 的图像

x x x 2? m ? ( 3 sin ,1), n ? (cos , cos 2 ) cos( ? x) 4 4 4 (1)若 m n ? 1求 3 32、已知 的值
( 2 ) 记 f ( x) ? m ? n , 在 ?ABC 中 , 角 A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 为 a,b,c , 且 满 足

(2a ? c) cos B ? b cos C 求 f ( A) 的取值范围


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