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分段函数---习题课


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1.在定义域内,对于自变量x的不同取值区间,有不 同的对应法则,这样的函数叫 分段函数 . 2.分段函数的定义域是各段定义域的 并集 ,其值 域是各段值域的 并集 .

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已知函数

分段函数图象
?x 2 ? f ( x) ? ? 1 ?0 ? x?0 x?0 x?0

(1)画出函数的图象; (2)根据已知条件分别求f(1),f(-3),f[f(-3)],f{f[f(-3)]}的值. 【分析】给出的函数是分段函数,应注意在不同的范围上 用不同的关系式. (1)函数f(x)在不同区间上的关系都是常见的基本初等函 数关系,因而可利用常见函数的图象作图. (2)根据自变量的值所在的区间,选用相应的关系式求 函数值.

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【解析】(1)分别画出y=x2(x>0),y=1(x=0),y=0(x<0)的图 象,即得所求函数的图象如图所示.
(2)f(1)=12=1,

f(-3)=0,
f[f(-3)]=f(0)=1, f{f[f(-3)]}=f[f(0)]=f(1)=12=1. 【评析】分段函数的对应关系是借助于几个不同的表达式 来表示的,处理分段函数的问题时,首先要确定自变量的 数值属于哪一个区间,从而选相应的对应关系.对于分段函 数,各个分段的“端点”要注意处理好.

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x?0 ? 3x ? 5 ? 已知函数f(x)的解析式为: f(x) ? ?x ? 5 0? x?1 ? ? 2x ? 8 x ?1 ? 3 1 (1)求 f( ), f( ), f( ?1) 的值; 2 π
(2)画出这个函数的图象; (3)求f(x)的最大值.

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3 3 3 (1) ? ? 1 ? f( ) ? (?2) ? ? 8 ? 5 2 2 2 1 1 1 5π ? 1 ? 0 ? ? 1 ? f( ) ? ? 5 ? π π π π ? ?1 ? 0 ? f( ?1) ? ?3 ? 5 ? 2

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(2)如图,在函数y=3x+5图 象上截取x≤0的部分,在函数 y=x+5图象上截取0<x≤1的部 分,在函数y=-2x+8图象上截 取x>1的部分.图中实线组成 的图形就是函数f(x)的图象.

(3)由函数图象可知,当x=1 时,f(x)的最大值为6.

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学点二 已知

分段函数的求值问题

? 1 x ? ?2 ? 2x ? f ( x) ? ?? ?2? x ? 2 ?x 2 ? 4x x?2 ? ?

求f{f[f(3)]}

【分析】求分段函数的函数值时,一般先确定自变量的取值 在定义域的哪个子区间,然后用与这个区间相对应的对应关 系来求函数值.

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【解析】∵3∈[2,+∞),
∴f(3)=32-4×3=-3. ∵-3∈(-∞,-2],

3 1 ∴f[f(3)]=f(-3)= ×(-3)= ? . 2 2 3
∵ ? ∈(-2,2), 2 3 ∴f{f[f(3)]}=f( ? )=π. 2

【评析】解决此类问题应自内向外依次求值.

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已知函数

? x ? ?1 ? x?2 ? f(x) ? ?2x ? 1 ? x ? 2 ? x2 x?2 ? 2 ?

? ? 7 ?? (1)求 f ?f ?f( ? )? ? ? ? 4 ??

(2)若f(a)=3,求a的值;

(3)求f(x)的定义域与值域.

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(1) ? f (? 7 ) ? ? 7 ? 2 ? 1 4 4 4

7 ? 1 1 1 名师伴你行 ? ? f ? f (? )? ? f ( ) ? 2 ? ? 4 ? 4 4 2 ?

? ? 7 ?? 1 f ? f ? f (? )? ? ? f ( ) ? 1 4 ?? 2 ? ? (2)∵f(a)=3,

∴当a≤-1时,a+2=3,∴a=1>-1(舍去), 1 3 当-1<a<2时,2a=3,∴a= ∈(-1,2),当a≥2时, 2a2=3,∴a= 6 ≥2, 32 综上知,当f(a)=3时,a= 或a= 6 . 2 (3)f(x)的定义域为(-∞,-1]∪(-1,2)∪[2,+∞)=R. 当x≤-1时,f(x)∈(-∞,1]; 当-1<x<2时,f(x)∈(-2,4); 当x≥2时,f(x)∈[2,+∞). ∴(-∞,1]∪(-2,4)∪[2,+∞)=R,f(x)的值域为R.

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学点三

分段函数的解析式

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如图所示,等腰梯形ABCD的两底分别为 AD=2,BC=1,∠BAD=45°,直线MN⊥AD交AD于M,交折线 ABCD于N,记AM=x,试将梯形ABCD位于直线MN左侧的 面积y表示为x的函数,并写出函数的定义域和值域.

【分析】求函数解析式是解决其他问题的关键,根据题意,此 题应对N分别在AB,BC,CD三段上分三种情况写出函数 的解析式.

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【解析】过B,C分别作AD的垂线,垂足分别为H和G, 1 3 则AH= ,AG= , 当M位于H左侧时,AM=x,MN=x.
1 1 2 0≤x< ∴y=S△AMN= 2 x . 2 1 y= AH· HB+HM· MN 2 2 2

当M位于H,G之间时,

=
当M位于G,D之间时, y=S梯形ABCD-S△MDN
1 1 = 2× 2×(2+1)-(2-x)(2-x) 3 1 2 5 = - x +2x≤x≤2. 2 4 2

=

1 1 1 1 1 2 × 2 × 2 +(x- 2)× 2 3 1 1 1 x≤x< 2 . 2 2 8

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∴所求函数的关系式为
1 2 1 ? x 0?x? ? 2 2 ? 1 1 1 3 ? y?? x? ?x? 2 8 2 2 ? 3 ?? 1 x 2 ? 2x ? 5 ?x?2 ? 2 4 2 ?

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∴函数的定义域为[0,2],值域为[0, ] 【评析】分段函数的定义域是各部分x的取值范围的并集,值 域也是y在各部分值的取值范围的并集,因此,函数的解析式、 定义域、值域通常是逐段求解,最后综合求出.

3 4

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如图所示,在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P,沿着 折线BCDA由点B(起点)向点A(终点)运动.设点P运动的路 程为x,△ABP的面积为y. (1)求y与x之间的函数关系式; (2)画出y=f(x)的图象. (1)当P点在BC上,即0≤x≤4时, 1 S△ABP= ×4×x=2x; 2 当P点在CD上时, S△ABP=
1 2 ×4×4=8; 1 ×4×(12-x). 2

当P点在AD上时,

S△ABP=

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所求的函数关系式为
0?x?4 ? 2x ? y?? 8 4?x?8 ?? 2x ? 24 8 ? x ? 12 ?

(2)画出y=f(x)的图象,如右 图所示.

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学点四

分段函数的应用问题

某汽车以52 km/h的速度从A地运行到260 km远处的B地, 在B地停留面1.5 h后,再以65 km/h的速度返回A地.试将 汽车离开A地后行走的路程S表示为时间t的函数.
【分析】因行驶速度不一样,故S与t的关系需用分段函数 表示. 【解析】因为行驶速度不一样,可考虑分段表示, 260÷52=5(h),260÷65=4(h).

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所以
? 52t 0?t?5 ? ? 1 ? S?? 260 5?t?6 2 ? 1 1 ?260 ? 65(t ? 6 1 ) 6 ? t ? 10 ? ? 2 2 2

【评析】解决数学应用题的一般步骤:首先要在阅读材料、 理解题意的基础上,把实际问题抽象成数学问题,经过去 粗取精,利用数学知识建立相应的数学模型,再利用数学 知识对数学模型进行分析、研究,得出数学结论,最后把 数学结论(结果)返回到实际问题中.

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A,B两地相距150公里,某汽车以每小时50公里的速度从A 地运行到B地,在B地停留2小时之后,又以每小时60公里的 速度返回A地,写出该车离开A地的距离s(公里)与时间t(小 时)的函数关系.
由50t1=150得t1=3, ∴当0≤t≤3时,s=50t; 当3<t≤5时,s=150; 当5<t≤7.5时,s=150-60(t-5)=450-60t. ∴所求函数关系式为

5 由60t2=150得t2= , 2

? 50t ? S ? ? 150 ?450 ? 60t ?

t ? [0,3] t ? (3,5] t ? (5,7.5]

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1.怎样正确地理解分段函数?

对于自变量x的不同取值区间,有着不同的对应法则的函数,称为分 段函数,不能认为它是几个函数,它只是一个函数的表达式,只是 在表达形式上同以前学过的函数不同,在表示时,用“{”表示出各 段解析式关系.
2.如何加强对分段函数的认识? 首先对分段函数的定义要理解并掌握,其次从简单的分段函数入手 多认识、多识记.

教材中通过例题的形式给出了“分段函数”的概念,从而说明:对 于一个函数来说,对应法则可以由一个解析式来表示,也可以由几 个解析式来表示;用图象表示时,既可以是一条平滑的曲线,也可 以是一些点、一段曲线、几条曲线等.

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1.分段函数的图象是一些线段或曲线段构成的,定 义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集. 2.各段不一定等长.

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