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四川省宜宾市第三中学2016届高三上学期第一次月考数学(文)试题

A ? B ? 1 ? 1 0 [2, ?? )) ( 2] f? ) ? cos 3, ?? ) 2x g ( x [ 3, ?? ? 1 ?

A(? ) x y ? lg ? x ? 3? g ? 3 26

?

?

宜三中高 2013 级 10 月数学(文科)试题 第 I 卷(选择题)
一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合 A. 2.若复数 z 满足 A.2-2i
?
?

, B ? ?x x ? 2?,则 B. C.

( D. )



3-i =1+i,i 是虚数单位,则 z=( z B.1-2i C.2+i
?

D.1+2i
?

3.已知 a 与 b 均为单位向量,它们的夹角为 60? ,那么 | a ? 3b | 等于( A. 7 4.设 A. 是将函数 B. B. 10 C. 13 D.4 等于( D. ( )



向左平移 个单位得到的,则 C.



5.若条件 p :| x ? 1 |? 4, 条件q : x 2 ? 5x ? 6, 则p是q 的 A.充分不必要条件 C.充要条件 6. 已知 ? 是第二象限角, tan ? ? ? A.
1 8

B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件
8 ,则 sin ? ? ( 15

)

8 8 D. ? 17 17 ? ? ? ? ? ? 7.已知向量 a ? (1,1), b ? (2, x), 若 a ? b 与 a ? b 平行,则实数 x 的值是(

B. ?

1 8

C.

)

A.-2

B.0

C.1

D.2 )

8. 在 ?ABC 中,若 sin( A ? B) sin( A ? B) ? sin 2 C ,则此三角形形状是( A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形

9.若函数 f ? x ? ? kx ? Inx 在区间 ?1, ?? ? 单调递增,则 k 的取值范围是( A. ? ??, ?2? B. ? ??, ?1? C. ? 2, ?? ? D. ?1, ?? ?

)

10.已知函数 y ? f ( x) 的定义域为 {x | x ? R ,且 x ? 0} ,且满足 f ( x) ? f (? x) ? 0 ,

当 x ? 0 时, f ( x) ? ln x ? x ? 1,则函数 y ? f ( x) 的大致图像为 (



11.已知函数 f ( x ? 1) 是定义在 R 上的奇函数,若对于任意两个实数 x1 ? x2 ,不等 式

f ( x1 ) ? f ? x2 ? ? 0 恒成立,则不等式 f ( x ? 3) ? 0 的解集为( x1 ? x2
A. (??, ?3) B. (4, ??)
?ax 2 , ? ?ln x ,

) D. (??, ?4)

C. (??,1)

12.已知函数 f ( x) ? ? ?

x ? e, ,其中 e 是自然对数的底数,若直线 y ? 2 与函数 x ? e.

y ? f ( x) 的图象有三个交点,则常数 a 的取值范围是(

) D. [2e ?2 , ? ?)

A. ( ?? , 2)

B. (?? , 2]

C. (2e ?2 , ? ?)

第Ⅱ卷(非选择题)
二.填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.)
13. 已知 sin(

?
6

? x) ?

? 3 ,则 cos( x ? ) 的值是________. 3 5

14. 在 ?ABC 中, AB ? 3, AC ? 1, B ? 30? ,则 ?ABC 的面积等于________.
1 15.设函数 f ( x) ? a ln x ? bx 2 ,若函数 f ( x) 在 x ? 1 处与直线 y ? ? 相切,则实数 2

a?b ?
16 . 设 函 数 f ? x ? 的 定 义 域 为 D , 若 任 取 x1 ? D , 存 在 唯 一 的
x2 ? D满足 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? C ,则称 C 为函数 y ? f ?x ? 在 D 上的均值.给出下列五个函 2

数:① y ? x ;② y ? x2 ;③ y ? 4sin x ;④ y ? 1gx ;⑤ y ? 2x .则所有满足在其定义 域上的均值为 2 的函数的序号为_____.

三.解答题: (解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
? 1 ? 17.(本小题满分 10 分) 已知集合 A ? ?? 3,0? ,集合 B ? ? x ? 2 x ? 2? . ? 8 ?

(1)求 A ? B ; (2)若集合 C ? ? x 2a ? x ? a ? 1? ,且 ( A ? B) ? C ,求实数 a 的取值范围.

18. (本小题满分 12 分) 1 13 ? 已知 cos ? ? , cos( ? ? ? ) ? , 且0 ? ? ? ? ? 7 14 2

cos(? ? 2a) tan(2? ? 2? ) sin( ? 2? ) 2 ( 1 )求 的值; ? cos( ? 2? ) 2
( 2 )求角 ? .

?

19. (本小题满分 12 分)已知函数 f(x)= (1)当 x∈[﹣ ,

sin2x﹣cos2x﹣ , (x∈R)

]时,求函数 f(x)的最小值和最大值; ,f(C)=0,若

(2)设△ABC 的内角 A,B,C 的对应边分别为 a,b,c,且 c= 向量 m =(1,sinA)与向量

=(2,sinB)共线,求 a,b 的值.

20.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? a2 x,(a ? 0) (Ⅰ)若 a ? 2 ,求函数 f ( x) 的单调区间与极值; (Ⅱ)已知方程 f ( x) ? 5 ? 0 有三个不相等的实数解,求实数 a 的取值范围

21.(本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? e x ? ax ?1 ( e 为自然对数的底数) , ( 1 )当 a =1 时,求 f ( x) 在点(1, f (1) )处的切线与两坐标轴围成的图形的面 积; ( 2 )若 f ?x? ? x 2 对任意的 x ?(0,1)恒成立,求实数 a 的取值范围.

22. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ln x, g ( x) ? f ( x) ? ax2 ? 3x , 函数 g ( x) 的图 像在点 (1, g (1)) 处的切线平行于 x 轴 ( 1 )求 a 的值; ( 2 )求函数 g ( x) 的极值; (3) 设斜率为 k 的直线与函数 f ( x) 的图像交于两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), ( x1 ? x2 ) , 证明
1 1 ?k? . x2 x1

A ? B ? cos 1 ? 1 0 [2, ?? ( 2] f? ) ? 3, ?? ) ?2 g ( x [ 3, ?? ? 1 ? B ? x) ) x 2x

?? x ? 3? A(? ? g ) x y ? lg ? 3 26

?

?

宜三中高 2013 级 10 月数学(文科)试题 第 I 卷(选择题) (答案)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合 A. 2.若复数 z 满足 B. , C. B
?

,则



A D.



A.2-2i
?
?

3-i =1+i,i 是虚数单位,则 z=( z B.1-2i C.2+i

)

D.1+2i
?

3.已知 a 与 b 均为单位向量,它们的夹角为 60? ,那么 | a ? 3b | 等于(A A. 7 4.设 A. 是将函数 B. B. 10 C. 13 D.4



向左平移 个单位得到的,则 C. D.

等于(

D



5.若条件 p :| x ? 1 |? 4, 条件q : x 2 ? 5x ? 6, 则p是q 的 A.充分不必要条件 C.充要条件 6. 已知 ? 是第二象限角, tan ? ? ? A.
1 8

(B



B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件
8 ,则 sin ? ? ( 15

C

)

8 8 D. ? 17 17 ? ? ? ? ? ? 7.已知向量 a ? (1,1), b ? (2, x), 若 a ? b 与 a ? b 平行,则实数 x 的值是(

B. ?

1 8

C.

D

)

A.-2

B.0

C.1

D.2 B )

8. 在 ?ABC 中,若 sin( A ? B) sin( A ? B) ? sin 2 C ,则此三角形形状是( A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形

D.等腰直角三角形 D )

9.若函数 f ? x ? ? kx ? Inx 在区间 ?1, ?? ? 单调递增,则 k 的取值范围是( (A) ? ??, ?2? (B) ? ??, ?1? (C)? 2, ?? ?

(D)?1, ?? ?

10、已知函数 y ? f ( x) 的定义域为 {x | x ? R ,且 x ? 0} ,且满足 f ( x) ? f (? x) ? 0 ,

当 x ? 0 时, f ( x) ? ln x ? x ? 1,则函数 y ? f ( x) 的大致图像为 (

A



11、已知函数 f ( x ? 1) 是定义在 R 上的奇函数,若对于任意两个实数 x1 ? x2 ,不等 式

f ( x1 ) ? f ? x2 ? ? 0 恒成立,则不等式 f ( x ? 3) ? 0 的解集为( D ) x1 ? x2
A. (??, ?3) B. (4, ??)
?ax 2 , ? ?ln x ,

C. (??,1)

D. (??, ?4)

12、已知函数 f ( x) ? ? ?

x ? e, ,其中 e 是自然对数的底数,若直线 y ? 2 与函数 x ? e.

y ? f ( x) 的图象有三个交点,则常数 a 的取值范围是(

D

) D. [2e ?2 , ? ?)

A. ( ?? , 2)

B. (?? , 2]

C. (2e ?2 , ? ?)

第Ⅱ卷(非选择题)
二.填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.)
13. 已知 sin(

?
6

? x) ?

? 3 3 ,则 cos( x ? ) 的值是________. 5 3 5

14. 在 ?ABC 中 , AB ? 3, AC ? 1, B ? 30? , 则 ?A B C 的 面 积 等 于 ________.
3 3 . or 2 4
1 15、设函数 f ( x) ? a ln x ? bx 2 ,若函数 f ( x) 在 x ? 1 处与直线 y ? ? 相切,则实数 2

a?b ?

1 2

16 、 设 函 数 f ? x ? 的 定 义 域 为 D , 若 任 取 x1 ? D , 存 在 唯 一 的
x2 ? D满足 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? C ,则称 C 为函数 y ? f ?x ? 在 D 上的均值.给出下列五个函 2

数:① y ? x ;② y ? x2 ;③ y ? 4sin x ;④ y ? 1gx ;⑤ y ? 2x .则所有满足在其定义 域上的均值为 2 的函数的序号为_____.①④

三.解答题: ( 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)

? 1 ? 17. (本小题满分 10 分) 已知集合 A ? ?? 3,0? ,集合 B ? ? x ? 2 x ? 2? . ? 8 ?

(1)求 A ? B ; (2)若集合 C ? ? x 2a ? x ? a ? 1? ,且 ( A ? B) ? C ,求实数 a 的取值范围. 解: (1)由题可得 A ? [?3, 0) , B ? (?3,1) ,所以 A ? B ? (?3,0) . (2)由题 C ? ? 时, 2a ? a ? 1 ? a ? 1 ;
? 2a ? a ? 1 3 ? C ? ? 时, ? 2a ? ?3 ? ? ? a ? ?1 ; 2 ?a ? 1 ? 0 ?

综上: ?

3 ? a ? ?1 或 a ? 1 . 2
1 13 ? , cos( ? ? ? ) ? , 且0 ? ? ? ? ? 7 14 2

18. (本小题满分 12 分)已知 cos ? ?

cos(? ? 2a) tan(2? ? 2? ) sin( ? 2? ) 2 (1)求 的值 ? cos( ? 2? ) 2
(2)求角 ? .

?

cos(? ? 2a) tan(2? ? 2? ) sin( ? 2? ) 47 2 解: (1)化简可得 ? ? cos 2? ? 1 ? 2 cos2 ? ? ? 49 cos( ? 2? ) 2 1 (2) cos ? ? cos ?(? ? ? ) ? ? ? ? cos( ? ? ? ) cos ? ? sin(? ? ? ) sin ? ? , 2 ? ? ? 0 ? ? ? ,? ? ? 2 3
19. (本小题满分 12 分)已知函数 f(x)= (1)当 x∈[﹣ , sin2x﹣cos2x﹣ , (x∈R)

?

]时,求函数 f(x)的最小值和最大值; ,f(C)=0,若

(2)设△ABC 的内角 A,B,C 的对应边分别为 a,b,c,且 c= 向量 m =(1,sinA)与向量 =(2,sinB)共线,求 a,b 的值. sin2x﹣cos2x﹣ = ]

解答: 解: (1)函数 f(x)= ﹣ )﹣1,∵x∈[﹣ ,

sin2x﹣ cos2x﹣1=sin(2x

∴2x﹣

∈[﹣



]则 sin(2x﹣

)∈[﹣

,1]

∴函数 f(x)的最小值为﹣ (2)∵f(C)=sin(2C﹣ 又∵0<C<π ,﹣ <2C﹣

﹣1 和最大值 0; )﹣1=0,即 < sin(2C﹣ = )=1, .

,∴2C﹣

,∴C=

∵向量 m =(1,sinA)与 =(2,sinB)共线,∴sinB﹣2sinA=0. 由正弦定理 ∵c= ,得 b=2a,① ,②

,由余弦定理得 3=a2+b2﹣2abcos

解方程组①②,得 a=1,b=2. 20.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? a2 x,(a ? 0) (Ⅰ)若 a ? 2 ,求函数 f ( x) 的单调区间与极值; (Ⅱ)已知方程 f ( x) ? 5 ? 0 有三个不相等的实数解,求实数 a 的取值范围 【答案】 (Ⅰ)当 a ? 2 时, f ?x? ? x3 ? 2x 2 ? 4x, (a ? 0) ,

f ' ?x? ? 3x 2 ? 4 x ? 4 = ?x ? 2??3x ? 2? ? 0
? x ? ?2或x ? 2 3

2? ? ?2 ? ? 函数 f ?x ? 的单调递增区间为 ?? ?,?2?, ? ,?? ? ,单调递减区间 ? ? 2, ? 3? ? ?3 ?
当 x ? ?2 时,函数 f ?x ? 的极大值 f ?? 2? ? 8

2 当 x ? ? 时,函数 f ?x ? 的极小值 3

40 ?2? f ? ??? 27 ?3?

3 2 2 (Ⅱ)设 ? ? x ? ? f ? x ? ? 5 ? x ? ax ? a x ? 5

? ' ?x? ? 3x2 ? 2ax ? a 2 ? ?x ? a??3x ? a?
? ?a,

?? (?a) ? 0 a ? 是函数 ? ? x ? 的极值点,由题意知: ? a ?a ? 3 ? ( )?0 3 ? ? 3 综上可知, a 的取值范围为: a ? 3
21. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? e x ? ax ?1 ( e 为自然对数的底数) ,

(1)当 a =1 时,求 f ( x) 在点(1, f (1) )处的切线与两坐标轴围成的图形的面积; (2)若 f ?x? ? x 2 对任意的 x ?(0,1)恒成立,求实数 a 的取值范围. 解: (1)当 a ? 1 时, f ( x) ? ex ? x ? 1 , f (1) ? e , f ?( x) ? e x ? 1 , f ?(1) ? e ? 1 , 函数 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? e ? (e ? 1)( x ? 1) , 即 y ? (e ? 1) x ? 1 -------3 分

设切线与 x、y 轴的交点分别为 A,B. 令 x ? 0 得 y ? ?1 ,令 y ? 0 得 x ?
S△OAB ? 1 1 1 ? ?1 ? . 2 e ?1 2(e ? 1)

1 1 , 0) , B (0, ?1) ,∴ A( e ?1 e ?1

在点 (1, f (1)) 处的切线与坐标轴围成的图形的面积为 (2)由 f ( x) ≥ x 2 得 a ≥ 令 h( x) ?
1 ? x2 ? e x , -------7 分 x

1 ……5 分 2(e ? 1)

1 ? x2 ? e x 1 ex ? ?x? , x x x
1 e x ( x ? 1) ( x ? 1)( x ? 1 ? e x ) ? ? -------9 分 x2 x2 x2

h ?( x) ? 1 ?

令 k ( x) ? x ? 1 ? e x ,

k ?( x) ? 1 ? e x ,

∵ x ? (0,1) ,∴ k ?( x) ? 1 ? ex ? 0 , k ( x) 在 x ? (0,1) 为减函数 , ∴ k ( x) ? k (0) ? 0 , 又∵ x ? 1 ? 0 , x 2 ? 0 ∴ h ?( x) ?
( x ? 1)( x ? 1 ? e x ) ?0 x2

∴ h( x) 在 x ? (0,1) 为增函数, 因此只需 a ≥ 2 ? e 22. (本小题满分 12 分)

h( x) ? h(1) ? 2 ? e ,-----11 分

………… 12 分

已知函数 f ( x) ? ln x, g ( x) ? f ( x) ? ax2 ? 3x , 函数 g ( x) 的图像在点 (1, g (1)) 处的 切线平行于 x 轴 (1)求 a 的值; (2)求函数 g ( x) 的极值; ( 3 ) 设 斜 率 为 k 的 直 线 与 函 数 f ( x) 的 图 像 交 于 两 点

A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), ( x1 ? x2 ) ,证明

1 1 ?k? . x2 x1
1 ? 2ax ? 3 x

解: (1)依题意得 g ( x) ? ln x ? ax 2 ? 3x ,则 g '( x) ?

g '(1) ? 1 ? 2a ? 3 ? 0

,a ? 1

. . . . . . . . . . . .2 分

(2)由(1)得 g '( x) ?

2 x 2 ? 3 x ? 1 (2 x ? 1)( x ? 1) ? x x
1 或 x ?1 2

∵函数 g ( x) 的定义域为 (0, ??) ,令 g '( x) ? 0 得 x ?

1 1 函数 g ( x) 在 (0, ) 上单调递增,在 ( ,1) 单调递减;在 (1, ??) 上单调递增.故 2 2 函数 g ( x) 的极小值为
g (1) ? ?2

. . . . . . . . . . . .6 分
y2 ? y1 ln x2 ? ln x1 , ? x2 ? x1 x2 ? x1

(3)证法一:依题意得 k ? 要证

1 1 1 ln x2 ? ln x1 1 ? k ? ,即证 ? ? x2 x1 x2 x2 ? x1 x1
x2 ? x1 x x ?x ? ln 2 ? 2 1 x2 x1 x1

因 x2 ? x1 ? 0 ,即证 令

x2 1 ,即证 1 ? ? ln t ? t ? 1 ( t ? 1 ) ? t ( t ? 1) t x1

1 令 k (t ) ? ln t ? t ? 1 ( t ? 1 )则 k '(t ) ? ? 1 ? 0 t ∴ k (t ) 在(1,+ ? )上单调递减,

∴ k (t ) ? k ?1? ? 0

即 ln t ? t ? 1 ? 0 ,? ln t ? t ? 1 --------------①

1 1 1 t ?1 令 h(t ) ? ln t ? ? 1 ( t ? 1 )则 h '(t ) ? ? 2 ? 2 ? 0 t t t t ∴ h(t ) 在(1,+ ? )上单调递增, 1 ∴ h(t ) ? h(1) =0,即 ln t ? 1 ? ( t ? 1 )--------------② t 1 1 1 综①②得 1 ? ? ln t ? t ? 1 ( t ? 1 ) ,即 ? k ? . t x2 x1

【证法二:依题意得 k ?

y2 ? y1 ln x2 ? ln x1 ? ? ln x2 ? kx2 ? ln x1 ? kx1 , x2 ? x1 x2 ? x1

1 ? k, x 1 1 1 由 h?( x) ? 0 得 x ? ,当 x ? 时, h?( x) ? 0 ,当 0 ? x ? 时, h?( x) ? 0 , k k k 1 1 ? h( x) 在 (0, ) 单调递增,在 ( , ??) 单调递减,又 h( x1 ) ? h( x2 ), k k 1 1 1 . . . . . . . . .12 分 ? x1 ? ? x2 , 即 ?k? k x2 x1

令 h( x) ? ln x ? kx, 则 h?( x) ?


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