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2018版高中数学(人教A版)必修2同步教师用书: 第3章 3.3.3 点到直线的距离 3.3.4 两条平行直线间的距离

3.3.3 3.3.4 点到直线的距离 两条平行直线间的距离 1.掌握点到直线的距离公式.(重点) 2.能用公式求点到直线的距离.(难点) 3.会求两条平行直线间的距离.(重点、易错点) [基础· 初探] 教材整理 1 点到直线的距离 阅读教材 P106“练习”以下至 P107“例 5”以上部分,完成下列问题. 1.概念:过一点向直线作垂线,则该点与垂足之间的距离,就是该点到直线 的距离. 2.公式:点 P(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C=0 的距离 d= |Ax0+By0+C| . A2+B2 原点到直线 x+2y-5=0 的距离是( A. 2 C.2 【解析】 ) B. 3 D. 5 由点到直线的距离公式得 d= |0+0-5| = 5. 12+22 D 两条平行直线间的距离 【答案】 教材整理 2 阅读教材 P108“练习”以下至 P109“练习”以上部分,完成下列问题. 1.概念:夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距 离. 2.求法:两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离. 3.公式:两条平行直线 l1:Ax+By+C1=0 与 l2:Ax+By+C2=0 之间的距离 d= |C1-C2| . A2+B2 已知直线 l1:x+y+1=0,l2:x+y-1=0,则 l1,l2 之间的距离为( A.1 C. 3 【解析】 2. 法二:d= 【答案】 |1-?-1?| = 2. 12+12 B B. 2 D.2 ) |1-2-1| 法一:在 l1 上取一点(1,-2),则点到直线 l2 的距离为 = 12+12 [小组合作型] 点到直线的距离 求过点 M(-2,1),且与 A(-1,2),B(3,0)距离相等的直线方程. 【精彩点拨】 所求直线过点 M,且到两定点 A 和 B 的距离相等.解答本题 可以根据几何意义分两类情况:(1)直线过线段 AB 的中点;(2)所求直线与 AB 平 行,或可利用点到直线的距离公式求解. 【自主解答】 1 法一:由题意可得 kAB=-2,线段 AB 的中点为 C(1,1),满足 条件的直线经过线段 AB 的中点或与直线 AB 平行. 当直线过线段 AB 的中点时,由于 M 与 C 点的纵坐标相同,所以直线 MC 的 方程为 y=1; 1 1 当直线与 AB 平行时,其斜率为-2,由点斜式可得所求直线方程为 y-1=-2 (x+2),即 x+2y=0. 综上,所求直线的方程为 y=1 或 x+2y=0. 法二:显然所求直线的斜率存在,设直线方程为 y=kx+b,根据条件有: ?1=-2k+b, ?|-k-2+b|= |3k+b| , k2+1 ? k2+1 b-2k=1, ? ? ?b-2k=1, 化简得:? 或? 1 k=-2, ?k=1-b, ? ? 1 ? ?k=- , ?k=0, 2 所以? 或? b = 1 , ? ? ?b=0. 故所求直线方程为 y=1 或 x+2y=0. 解此类题目有两种方法,一是利用数形结合的方法,过一定点与两定点距离相 等的点的直线有两条,根据这两条直线的几何特征可求出其直线方程.二是求此类 问题的一般方法,它应用了点到直线的距离公式,但设所求直线的方程时,要注意 考虑直线的斜率是否存在. [再练一题] 1.求点 P(3,-2)到下列直线的距离: 3 1 (1)y=4x+4;(2)y=6;(3)x=4. 【解】 式可得 d= |3×3-4×?-2?+1| 18 =5. 32+?-4?2 3 1 (1)直线 y=4x+4化为一般式为 3x-4y+1=0,由点到直线的距离公 (2)因为直线 y=6 与 y 轴垂直,所以点 P 到它的距离 d=|-2-6|=8. (3)因为直线 x=4 与 x 轴垂直,所以点 P 到它的距离 d=|3-4|=1. 两条平行线间的距离 直线 l1 过点 A(0,1),l2 过点 B(5,0),如果 l1∥l2,且 l1 与 l2 的距离为 5, 求直线 l1 与 l2 的方程. 【精彩点拨】 先设出 l1、l2 的方程,利用两条平行线间的距离公式求解,但 注意直线斜率的讨论. 【自主解答】 件. 当 l1,l2 的斜率存在时,设 l1:y=kx+1,即 kx-y+1=0, l2:y=k(x-5),即 kx-y-5k=0,由两条平行直线间的距离公式得 |1-?-5k?| 12 2 2=5,解得 k= 5 . k +?-1? 此时 l1:12x-5y+5=0,l2:12x-5y-60=0. 综上所述,所求直线 l1,l2 的方程为 l1:x=0,l2:x=5 或 l1:12x-5y+5= 0,l2:12x-5y-60=0. 当 l1,l2 的斜率不存在,即 l1:x=0,l2:x=5 时,满足条 求两平行直线间距离的两种思路 (1)利用“化归”法将两条平行线的距离转化为求一条直线上任意一点到另一 条直线的距离. (2)直接利用两平行线间的距离公式,当直线 l1:y=kx+b1,l2:y=kx+b2,且 |b1-b2| b1≠b2 时,d= 2 ;当直线 l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0 且 C1≠C2 k +1 时,d= |C1-C2| ,必须注意两直线方程中 x,y 的系数对应相等. A2+B2 [再练一题] 5 2.与直线 2x+y+1=0 的距离等于 5 的直线方程为( A.2x+y=0 B.2x+y-2=0 C.2x+y=0 或 2x+y-2=0 D.2x+y=0 或 2x+y+2=0 【解析】 根据题意可设所求直线方程为 2x+y+c=0,因为两直线间的距离 ) |c-1| 5 5 等于 5 ,所以 d= 2 2= 5 , 2 +1 解得 c=0 或 c=2. 故所求直线方程为 2x+y=0 或 2x+y+2=0. 【答案】 D [探究共研型] 距离公式的综合应用 探究 1 两条互相平行

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