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高中数学


3.1《变化的快慢与变化率》

§1 变化的快慢与变化率

实例1分析
银杏树 雨后春笋

树高:15米 树龄:1000年

高:15厘米 时间:两天

实例2分析
物体从某一时刻开始运动,设s表示此物体经过时间t走过的路程,在 运动的过程中测得了一些数据,如下表.

t( 秒 ) s(米)

0 0

2 6

5 9

10 20

13 32

15 44

… …

物体在0~2秒和10~13秒这两段时间内,哪一段时间运动得更快?

实例3分析
抚州市今年3月18日到4月20日期间的日最高气温记载.

时间
日最高气温
气温变化曲线

3月18日 4月18日 4月20日
3.5℃ 18.6℃ 33.4℃

温差15.1℃ 温差14.8℃
C(34,33.4) B(32,18.6)

T(oC) 33.4 18.6 A(1,3.5) 3.5

气温曲线
32 34 t (d)

o 1 (3月18日为第一天)

y
f(34)

[问题]如果将上述气温曲线看成

C







y

=

f (x )

的图象, 则函数y = f(x)在区间[1, 34]上的平均变化率为

A
f(1)

y=f(x) 34 x

f (34) ? f (1) 34 ? 1

o

1

y f(34)

[问题]如果将上述气温曲线看成

C







y

=

f (x )

的图象, 则函数y = f(x)在区间[1, 34]上的平均变化率为 在区间 [1 , x1] 上的平均变化率


f (x 1 ) f(1)

A 1
x1

y=f(x) 34
x

f (34) ? f (1) 34 ? 1

o

f ( x1 ) ? f (1) x1 ? 1

y
f(34)

[问题]如果将上述气温曲线看成

C







y

=

f (x )

的图象, 则函数y = f(x)在区间[1, 34]上的平均变化率为 在区间 [1 , x1] 上的平均变化率

f (x 2 ) f (x 1 )

A 1
x1

y=f(x)
x2

f(1)

f (34) ? f (1) 在区间 [x2 , 34] 上的平均变化率 34 ? 1



o

34

x

f ( x1 ) ? f (1) x1 ? 1
f (34) ? f ( x2 ) 34 ? x2

你能否类比归纳出 “函 数f(x)在区间[x1,x2]上的平均 变化率”的一般性定义吗?

归纳概括
1 平均变化率的定义:
f ( x2 ) ? f ( x1 ) 一般地,函数 f ( x) 在 [ x1 , x2 ] 区间上的平均变化率为: x2 ? x1
y B(x2,f(x2)) f(x2)-f(x1) A(x1,f(x1)) x2-x1 0 =△y =△x x

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?y ? x2 ? x1 ?x

2 平均变化率的几何意义:
( x2 , f ( x2 )) 曲线 y ? f ( x)上两点 ( x1 , f ( x1 ))、 连线的斜率.

平均变化率 一般地,函数 f ( x) 在 [ x1 , x2 ]区间上 的平均变化率为: f ( x2 ) ? f ( x1 )
x2 ? x1

数学 应用

某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示,试分别计算从出生到第3 个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率.

实际意义
W(kg)
11 8.6 6.5 3.5

婴儿出生后,体重的增 加是先快后慢

解: 婴儿从出生到第3个月的平均变化率是:

6.5 ? 3.5 ?1 3?0
婴儿从第6个月到第12个月的平均变化率是:

0

3

6

12

T(月)

11 ? 8.6 ? 0.4 12 ? 6

平均变化率
一般地,函数 f ( x) 在 [ x1 , x2 ]区间上 的平均变化率为: f ( x2 ) ? f ( x1 )
x2 ? x1

数学 应用

某病人吃完退烧药,他的体温变化如图,比较时间x从0min到20min 和 从20min到30min体温的变化情况,哪段时间体温变化较快?

y/(oC) 39 38
37 36 0

解: 体温从0min到20min的平均变化率是:

38.5 ? 39 ?0.5 ? ? ?0.025 20 ? 0 20

( ? C/min)

体温从20min到30min的平均变化率是: 38 ? 38.5 ? ? ?0.05 ( C/min) 30 ? 20

? ?0.05 ? ?0.025
10 20 30 40 50 60 70 x/min

∴后面10min体温变化较快

平均变化率

一般地,函数 f ( x) 在 [ x1 , x2 ]区间上 的平均变化率为: f ( x2 ) ? f ( x1 )
x2 ? x1

探索思考
1.已知函数f(x)=2x+1,分别计算在区间[-1,1],[0,5]上的平均变化率. 答案:都是2 2.变式一:求函数f(x)=2x+1在区间[m,n]上的平均变化率. 答案:还是2 3.变式二:函数f(x): =kx+b在区间[m,n]上的平均变化率. 答案:是k 一般地,一次函数f(x)=kx+b(k≠0)在任意区 间[m,n](m<n)上的平均变化率等于k.

平均变化率 一般地,函数 f ( x) 在 [ x1 , x2 ]区间上 的平均变化率为: f ( x2 ) ? f ( x1 )
x2 ? x1

探索思考
4.变式三:求函数f(x)=x2在区间[-1,1]上的平均变化率. y 答案:是0

C1 C3

B A
O

C2

平均变化率的缺点:
它不能具体说明函数在这一 段区间上的变化情况.

x1

x2

x

平均变化率 一般地,函数 f ( x) 在 [ x1 , x2 ]区间上 的平均变化率为: f ( x2 ) ? f ( x1 )
x2 ? x1

探索思考
5.变式四:已知函数f(x)=x2,分别计算在区间 [1,3] , [1,2], [1,1.1] ,[1,1.01] ,[1,1.001]上的平均变化率. 答案:在这5个区间上的平均变化率分别是:4、3、 2.1、2.01、2.001 规律: 当区间的右端点逐渐接近1 时,平均变化率逐渐接近2.

回顾小结:
1 平均变化率的定义:
f ( x2 ) ? f ( x1 ) 一般地,函数 f ( x) 在 [ x1 , x2 ] 区间上的平均变化率为: x2 ? x1
y B(x2,f(x2)) f(x2)-f(x1) A(x1,f(x1)) x2-x1 0 =△y =△x x

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?y ? x2 ? x1 ?x

2 平均变化率的几何意义:
( x2 , f ( x2 )) 曲线 y ? f ( x)上两点 ( x1 , f ( x1 ))、 连线的斜率.



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