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标题-2017-2018学年高中数学三维设计苏教版必修5:回扣验收特训(一) 解三角形


回扣验收特训(一)

解三角形

1. 在△ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 所对的边, 若 ccos A=b, 则△ABC 是________. b2+c2-a2 解析: 根据余弦定理, 得 c· =b, 即 c2=a2+b2, 故△ABC 一定是直角三角形. 2bc 答案:直角三角形 2.△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,若 a2-c2=2b,且 sin B=6cos A· sin C,则 b 的值为________. b2+c2-a2 解析:由正弦定理与余弦定理可知,sin B=6cos Asin C 可化为 b=6· · c,化 2bc 简可得 b2=3(b2+c2-a2),又 a2-c2=2b 且 b≠0,得 b=3. 答案:3 3.在锐角△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 sin A=
△ABC

2 2 ,a=2,S 3

= 2,则 b=________. 1 1 1 2 2 解析:由已知得:cos A= ,S△ABC= bcsin A= bc× = 2,∴bc=3,又由余弦定 3 2 2 3

理得:a2=b2+c2-2bccos A,即 b2+c2-2=4,∴b2+c2=6,∴b+c=2 3,解得 b=c= 3. 答案: 3 4.已知 a,b,c 分别为△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边,a=2,且(2+b)(sin A- sin B)=(c-b)sin C,则△ABC 面积的最大值为________. 解析:由正弦定理得(2+b)(a-b)=(c-b)c,即(a+b)· (a-b)=(c-b)c,即 b2+c2-a2 =bc,所以 cos A= b2+c2-a2 1 π = ,又 A∈(0,π),所以 A= ,又 b2+c2-a2=bc≥2bc-4, 2bc 2 3

1 1 3 即 bc≤4, 故 S△ABC= bcsin A≤ ×4× = 3, 当且仅当 b=c=2 时, 等号成立, 则△ABC 2 2 2 面积的最大值为 3. 答案: 3 5.在△ABC 中,B=120°,AB= 2,A 的角平分线 AD= 3,则 AC=________. AB AD 2 3 2 解析:由正弦定理得 = ,即 = ,解得 sin∠ADB= , 2 sin∠ADB sin B sin∠ADB sin 120° ∠ADB=45°,从而∠BAD=15°=∠DAC,所以∠C=180°-120°-30°=30°,AC AB· sin B = = 6. sin C 答案: 6

6.在△ABC 中,AB=3,BC= 13,AC=4,则△ABC 的面积等于________. AB2+AC2-BC2 9+16-13 1 3 解析:由余弦定理,得 cos A= = = ,所以 sin A= ,所 2AB· AC 2 2×3×4 2 1 1 3 以 S△ABC= AB· ACsin A= ×3×4× =3 3. 2 2 2 答案:3 3

7.设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 acos C+ ________. 解析:在△ABC 内应用余弦定理得:cos C= 可得:a×

3 c=b,则角 A= 2

a2+b2-c2 3 ,将其代入 acos C+ c=b 中 2ab 2

a2+b2-c2 b2+c2-a2 3 + c=b,化简整理得:b2+c2-a2= 3bc,于是 cos A= = 2ab 2 2cb

3 π ,所以 A= . 2 6 答案: π 6

C 1 8.在△ABC 中,已知 2acos B=c,sin Asin B(2-cos C)=sin2 + ,则△ABC 的形状 2 2 为________. 解析:依题意得 2sin Acos B=sin C=sin(A+B),2sin Acos B-sin(A+B)=sin(A-B) 1 =0,因此 B=A,C=π-2A,于是有 sin2A(2+cos 2A)=cos2A+ ,即 sin2A(3-2sin2A)=1 2
2 1 3-2sin A 1 2 -sin2A+ = ,解得 sin2A= ,因此 sin A= ,又 B=A 必为锐角,因此 B=A 2 2 2 2

π = ,△ABC 是等腰直角三角形. 4 答案:等腰直角三角形 9.在直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=2BC=2CD,则 cos∠DAC =________. 解析: 由已知条件可得图形, 如图所示, 设 CD=a, 在△ACD CD2=AD2+AC2-2AD×AC×cos∠DAC, ∴a2=( 2a)2+( 5a)2-2× 2a× 5a×cos∠DAC, ∴cos∠DAC= 答案: 3 10 10 3 10 . 10 中,

10.已知△ABC 的面积为

3 π ,AC= 3,∠ABC= ,则△ABC 的周长等于________. 2 3

1 3 1 3 3 解析:由题意可得 AB· BC· sin∠ABC= ,即 AB· BC· = ,所以 AB· BC=2.再由 2 2 2 2 2 π 余弦定理可得 3=AB2+BC2-2AB· BC· cos =AB2+BC2-2,所以 AB2+BC2=5,所以(AB 3 +BC)2=AB2+BC2+2AB· BC=5+4=9,所以 AB+BC=3,所以△ABC 的周长等于 AB+ BC+AC=3+ 3. 答案:3+ 3 π ? 11.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 tan? ?4+A?=2. (1)求 sin 2A 的值; sin 2A+cos2A

π (2)若 B= ,a=3,求△ABC 的面积. 4 π 1 ? 解:(1)由 tan? ?4+A?=2,得 tan A=3, 所以 sin 2A 2tan A 2 = . 2 = sin 2A+cos A 2tan A+1 5

1 (2)由 tan A= ,A∈(0,π),得 3 sin A= 10 3 10 ,cos A= . 10 10

a b π 由 a=3,B= 及正弦定理 = ,得 b=3 5. 4 sin A sin B π 2 5 A+ ?,得 sin C= 由 sin C=sin(A+B)=sin? . 4 ? ? 5 1 设△ABC 的面积为 S,则 S= absin C=9. 2 12.如图所示,某人在塔的正东 C 处沿着南偏西 60°的方向前进 40 m 到 D 处以后,望见塔在东北方向.若沿途测得塔的最大仰角为 30°,求塔的高度. 解:在△BDC 中,CD=40 m,∠BCD=90°-60°=30°, ∠DBC=45°+90°=135°. 由正弦定理,得 ∴BD= CD BD = , sin∠DBC sin∠BCD

CD· sin∠BCD 40sin 30° = =20 2(m). sin∠DBC sin 135°

AB 在 Rt△ABE 中,tan∠AEB=BE,AB 为定值,故要使∠AEB 最大,需要 BE 最小.

即 BE⊥CD,这时∠AEB=30°. 在 Rt△BED 中,∠BDE=180°-135°-30°=15°, ∴BE=BD· sin∠BDE=20 2sin 15°=10( 3-1)(m). 10 在 Rt△ABE 中,AB=BEtan∠AEB=10( 3-1)· tan 30°= (3- 3)(m), 3 10 即塔的高度为 (3- 3)m. 3 13.在△ABC 中,已知 AB=2,AC=3,A=60°. (1)求 BC 的长; (2)求 sin 2C 的值. 1 解:(1)由余弦定理知,BC2=AB2+AC2-2AB· AC· cos A=4+9-2×2×3× =7, 2 所以 BC= 7. (2)由正弦定理知, 所以 sin C= AB BC = , sin C sin A

2sin 60° AB 21 · sin A= = . BC 7 7

∵AB<BC,∴C 为锐角, 则 cos C= 1-sin2C= 3 2 7 1- = . 7 7 21 2 7 4 3 × = . 7 7 7

因此,sin 2C=2sin Ccos C=2×

14.已知△ABC 的角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,设向量 m=(a,b),n=(sin B, sin A),p=(b-2,a-2). (1)若 m∥n,求证:△ABC 为等腰三角形; π (2)若 m⊥p,边长 c=2,角 C= ,求△ABC 的面积. 3 a b 解:(1)证明:∵m∥n,∴asin A=bsin B,即 a· =b· ,其中 R 是三角形 ABC 外接 2R 2R 圆半径, ∴a=b.∴△ABC 为等腰三角形. (2)由题意可知 m· p=0,即 a(b-2)+b(a-2)=0. ∴a+b=ab. 由余弦定理可知,4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab, 即(ab)2-3ab-4=0. ∴ab=4(ab=-1 舍去), 1 ∴S= absin C 2 1 π = · 4· sin = 3. 2 3


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