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标题-2017-2018学年高中数学三维设计苏教版必修5:第三章 3.4 基本不等式

基本不等式

预习课本 P96~102,思考并完成以下问题 (1)基本不等式的形式是什么?需具备哪些条件?

(2)“和定积最大,积定和最小”应怎样理解?

(3)在利用基本不等式求最值时,应注意哪些方面?

(4)一般按照怎样的思路来求解实际问题中的最值问题?

[新知初探]
1.重要不等式 当 a,b 是任意实数时,有 a2+b2≥2ab,当且仅当 a=b 时,等号成立. 2.基本不等式 a+b (1)有关概念:当 a,b 均为正数时,把 称为正数 a,b 的算术平均数,把 ab称为正 2 数 a,b 的几何平均数. (2)基本不等式定义:如果 a,b 是正数,那么 ab≤ a+b ,当且仅当 a=b 时取“=”. 2

2 2 a+b?2 a +b (3)变形:ab≤? ≤ ,a+b≥2 ab(其中 a>0,b>0,当且仅当 a=b 时等号 2 ? 2 ?

成立). [点睛] 基本不等式成立的条件:a>0 且 b>0;其中等号成立的条件:当且仅当 a=b 时取等号,即若 a≠b 时,则 ab≠ a+b a+b ,即只能有 ab< . 2 2

3.设 x,y 为正实数 s2 (1)若 x+y=s(和 s 为定值),则当 x=y 时,积 xy 有最大值,且这个值为 . 4 (2)若 xy=p(积 p 为定值),则当 x=y 时,和 x+y 有最小值,且这个值为 2 p.

[小试身手]
4 1.若 x>0,则 x+x的最小值为________. 4 解析:∵x>0,∴x+ ≥4. x 答案:4 2.若 x,y∈(0,+∞),且 x+4y=1,则 xy 的最大值是________. 解析:∵x,y∈(0,+∞),则 1=x+4y≥4 xy,即 xy≤ 号成立. 答案: 1 16 1 1 1 ,当且仅当 x= ,y= 时等 16 2 8

3.实数 x,y 满足 x+2y=2,则 3x+9y 的最小值是________. 解析:利用基本不等式可得 3x+9y=3x+32y≥2 3x· 32y=2 3x
+2y

.

∵x+2y=2,∴3x+9y≥2 32=6, 1 当且仅当 3x=32y,即 x=1,y= 时取等号. 2 答案:6 4.给出下面结论: ①若 x∈(0,π),则 sin x+ 1 ≥2; sin x

②若 a,b∈(0,+∞),则 lg a+lg b≥2 lg a· lg b; 4? ③若 x∈R,则? ?x+x?≥4. 其中正确结论的序号是________. 解析:①因为 x∈(0,π),所以 sin x∈(0,1],所以①成立;②只有在 lg a>0,lg b>0, 4? ?4? 即 a>1,b>1 时才成立;③? ?x+x?=|x|+?x?≥2 答案:①③

?4?=4 成立. |x|· ?x?

利用基本不等式比较大小 [ 典例 ] ________. a+b 1 (2)若 a>b>1,P= lg a· lg b,Q= (lg a+lg b),R=lg ,则 P,Q,R 的大小关系 2 2 是________. [解析 ] m≥2 m>n. (2)因为 a>b>1,所以 lg a>lg b>0, 1 所以 Q= (lg a+lg b)> lg a· lg b=P; 2 1 Q= (lg a+lg b)=lg 2 所以 P<Q<R. [答案] (1)m>n (2)P<Q<R a+lg b=lg ab<lg a+b =R. 2 (1)因为 a>2,所以 a- 2>0,又因为 m=a+ 1 1 = (a- 2)+ + 2,所以 a-2 a-2 (1) 已知 m = a+ 1 (a>2), n= 22- b2(b≠0),则 m , n 之间的大小关系是 a-2

1 ?a-2?· +2=4,由 b≠0,得 b2≠0,所以 2-b2<2,n=22-b2<4,综上可知 a-2

利用基本不等式比较实数大小的注意事项 (1)利用基本不等式比较大小, 常常要注意观察其形式(和与积), 同时要注意结合函数的 性质(单调性). (2)利用基本不等式时,一定要注意条件是否满足 a>0,b>0.

[活学活用]
已知 a , b , c 都是非负实数,试比较 a2+b2 + b2+c2 + c2+a2 与 2(a + b + c) 的 大小. 解:因为 a2+b2≥2ab,所以 2(a2+b2)≥(a+b)2, 所以 同理 所以 a2+b2≥ b2+c2≥ 2 (a+b), 2 2 (b+c), 2 c2+a2≥ 2 (c+a), 2 2 [(a+b)+(b+c)+(c+a)], 2

a2+b2+ b2+c2+ c2+a2≥

即 a2+b2+ b2+c2+ c2+a2≥ 2(a+b+c),当且仅当 a=b=c 时,等号成立.

利用基本不等式证明不等式 2b+3c-a a+3c-2b a+2b-3c [典例] 已知 a,b,c 均为正实数, 求证: + + ≥3. a 2b 3c [证明] ∵a,b,c 均为正实数, 2b a ∴ a + ≥2(当且仅当 a=2b 时等号成立), 2b 3c a a +3c≥2(当且仅当 a=3c 时等号成立), 3c 2b + ≥2(当且仅当 2b=3c 时等号成立), 2b 3c 2b a ? ?3c a ? ?3c 2b? 将上述三式相加得 ? ? a +2b? + ? a +3c? + ?2b+3c? ≥6( 当且仅当 a = 2b = 3c 时等号 成立), 2b a ? ?3c a ? ?3c 2b ? ∴? ? a +2b-1?+? a +3c-1?+?2b+3c-1?≥3(当且仅当 a=2b=3c 时等号成立), 即 2b+3c-a a+3c-2b a+2b-3c + + ≥3(当且仅当 a=2b=3c 时等号成立). a 2b 3c

利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 (1)策略:从已证不等式和问题的已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理,经过 逐步的逻辑推理,最后转化为所求问题,其特征是以“已知”看“可知”,逐步推向 “未 知”. (2)注意事项: ①多次使用基本不等式时,要注意等号能否成立; ②累加法是不等式证明中的一种常用方法,证明不等式时注意使用; ③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合,形成基本不等式模型再使用.

[活学活用]
已知 a,b,c 为正实数, 且 a+b+c=1, 1 ??1 ??1 ? 求证:? ?a-1??b-1??c-1?≥8. 证明:因为 a,b,c 为正实数,且 a+b+c=1, 1-a b+c 2 bc 1 所以 -1= = ≥ . a a a a 2 ac 1 2 ab 1 同理,b-1≥ b ,c -1≥ c . 上述三个不等式两边均为正,

1 ??1 ??1 ? 2 bc 2 ac 2 ab 1 相乘得? ?a-1??b-1??c-1?≥ a · b · c =8,当且仅当 a=b=c=3时,取等号. 利用基本不等式求最值 [典例] (1)已知 lg a+lg b=2,求 a+b 的最小值. (2)已知 x>0,y>0,且 2x+3y=6,求 xy 的最大值. 1 9 (3)已知 x>0,y>0, + =1,求 x+y 的最小值. x y [解] (1)由 lg a+lg b=2 可得 lg ab=2, 即 ab=100,且 a>0,b>0, 因此由基本不等式可得 a+b≥2 ab=2 100 =20, 当且仅当 a=b=10 时,a+b 取到最小值 20. (2)∵x>0,y>0,2x+3y=6, 1 1 ?2x+3y?2 ∴xy= (2x· 3y)≤ · 6 6? 2 ? 1 ?6?2 3 = · = , 6 ?2? 2 当且仅当 2x=3y, 3 3 即 x= ,y=1 时,xy 取到最大值 . 2 2 1 9 ?1+9? (3)∵x+y =1,∴x+y=(x+y)· ?x y ? 9x y y 9x =1+ + +9= + +10, y x x y 又∵x>0,y>0, y 9x ∴x+ y +10≥2 y 9x x·y +10=16,

y 9x 当且仅当x= y ,即 y=3x 时,等号成立. y=3x, ? ? 由?1 9 ? ?x+y=1,
?x=4, ? 得? ? ?y=12,

即当 x=4,y=12 时,x+y 取得最小值 16.

(1)应用基本不等式需注意三个条件:即一正、二定、三相等.在具体的题目中,“正 数”条件往往易从题设中获得解决,“相等”条件也易验证确定,而要获得“定值”条件 却常常被设计为一个难点,它需要一定的灵活性和变形技巧.因此, “定值”条件决定着 基本不等式应用的可行性,这是解题成败的关键. (2)常用构造定值条件的技巧变换: ①加项变换;②拆项变换;③统一变元;④平方后利用基本不等式.

(3)对于条件最值要注意“1”的代换技巧的运用.

[活学活用]
1 (1)已知 0<x< ,求函数 y=x(1-3x)的最大值. 3 5 1 (2)已知 x> ,求函数 y=4x-2+ 的最小值. 4 4x-5 1 解:(1)∵0<x< , 3 ∴1-3x>0. 1 ∴y=x(1-3x)= · 3x(1-3x) 3 1 3x+?1-3x??2 1 ≤ ? 3? 2 ? =12, 1 1 当且仅当 x= 时,函数 y=x(1-3x)取得最大值 . 6 12 5 (2)∵x> ,∴4x-5>0. 4 1 ∴y=4x-2+ 4x-5 =4x-5+ ≥2 1 +3 4x-5

1 ?4x-5?· +3=5. 4x-5 1 , 4x-5

当且仅当 4x-5=

3 即 x= 时取等号. 2 3 ∴当 x= 时,y 取最小值为 5. 2 利用基本不等式解应用题

[典例] 某单位决定投资 3 200 元建一仓库(长方体状),高度恒定,它的后墙利用旧墙 不花钱,正面用铁栅,每米长造价 40 元,两侧墙砌砖,每米长造价 45 元,顶部每平方米 造价 20 元,求: (1)仓库面积 S 的最大允许值是多少? (2)为使 S 达到最大,而实际投资又不超过预算,那么正面铁栅应设计为多长? [解] (1)设铁栅长为 x 米,一堵砖墙长为 y 米,而顶部面积为 S=xy,依题意得,40x +2×45y+20xy=3 200,

由基本不等式得 3 200≥2 40x×90y+20xy =120 xy+20xy =120 S+20S. 所以 S+6 S-160≤0,即( S-10)( S+16)≤0, 故 S≤10,从而 S≤100, 所以 S 的最大允许值是 100 平方米, (2)取得最大值的条件是 40x=90y 且 xy=100, 求得 x=15,即铁栅的长是 15 米.

求实际问题中最值的解题策略 (1)先读懂题意,设出变量,理清思路,列出函数关系式. (2)把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题. (3)在定义域内,求函数的最大值或最小值时,一般先考虑基本不等式,当基本不等式 求最值的条件不具备时,再考虑函数的单调性. (4)正确写出答案.

[活学活用] 某公司购买一批机器投入生产, 据市场分析, 每台机器生产的产品可获得的总利润 y(单 位:万元)与机器运转时间 x(单位:年)的关系为 y=-x2+18x-25(x∈N*),则当每台机器 运转________年时,年平均利润最大,最大值是________万元. 25 y y x+ x ?,而 x>0,故 ≤18-2 25 解析:每台机器运转 x 年的年平均利润为 =18-? ? ? x x =8, 当且仅当 x=5 时等号成立,此时年平均利润最大,最大值为 8 万元. 答案:5 8

层级一

学业水平达标

1 1.设 x>0,则 y=3-3x-x的最大值是________. 1? 1 解析:y=3-3x-x=3-? ?3x+x?≤3-2 时取等号. 答案:3-2 3 1 1 3 3x · x=3-2 3,当且仅当 3x=x,即 x= 3

2.若 2x+y=4,则 4x+2y 的最小值为________. 解析:4x+2y=22x+2y≥2 22x· 2y=2 22x y=2 24=8.当且仅当 2x=y=2,即 x=1,y


=2 时等号成立. 答案:8 3.若对于任意 x>0, 解析: x ≤a 恒成立,则 a 的取值范围是________. x2+3x+1

x 1 1 = ,因为 x>0,所以 x+x≥2(当且仅当 x=1 时取等号), 1 x2+3x+1 3+x+x



x 1 1 1 ≤ = ,即 2 的最大值为 , 1 3+2 5 5 x +3x+1 3+x+ x 1

1 故 a≥ . 5 1 答案:a≥ 5 4.某公司租地建仓库,每月土地占用费 y1 与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货 物的运费 y2 与仓库到车站的距离成正比,如果在距离车站 10 千米处建仓库,这两项费用 y1 和 y2 分别为 2 万元和 8 万元, 那么, 要使这两次费用之和最小, 仓库应建在离车站________ 千米处. k1 解析:设仓库与车站的距离为 x 千米,则 y1= ,y2=k2x. x k1 4 ∴2= ,8=k2· 10.∴k1=20,k2= . 10 5 ∴y= ∵ 20 4 + x. x 5 20 4 · x=8, x 5

20 4 + x≥2 x 5

20 4 当且仅当 x = x,即 x=5 时取等号. 5 ∴x=5 千米时,y 取得最小值. 答案:5 5.已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的最小值是________. 解析:依题意得(x+1)(2y+1)=9,(x+1)+(2y+1)≥2 ?x+1??2y+1?=6,x+2y≥4, 当且仅当 x+1=2y+1,即 x=2,y=1 时取等号,故 x+2y 的最小值是 4. 答案:4 6.若 0<a<1,0<b<1,且 a≠b,则 a+b,2 ab,2ab,a2+b2 中最大的一个是________. 解析:因为 0<a<1,0<b<1,a≠b,所以 a+b>2 ab,a2+b2>2ab,所以四个数中最大的 数应从 a+b,a2+b2 中选择.而 a2+b2-(a+b)=a(a-1)+b(b-1).又因为 0<a<1,0<b<1,

所以 a(a-1)<0,b(b-1)<0,所以 a2+b2-(a+b)<0,即 a2+b2<a+b,所以 a+b 最大. 答案:a+b n 2 1 7.已知 a>0,b>0,若不等式a+b≥ 恒成立,则 n 的最大值为________. 2a+b 2 1? 2 1? n 2 1 解析:因为 a>0,b>0,由题知 + ≥ ,即? (2a+b)≥n,又? (2a+b) ?a+b?· ?a+b?· a b 2a+b =4+ 2b 2a? 2b 2a + +1=5+? a + b ?≥5+2 ? a b 2b 2a · =9,当且仅当 a=b 时等号成立,故 n≤9. a b

故 n 的最大值为 9. 答案:9 2 1 8.已知 x>0,y>0,且x+y =1,若 x+2y>m2+2m 恒成立,则实数 m 的取值范围是 ________. 2 1 ?2+1?=4+4y+x≥4+2 解析:∵x>0,y>0 且 + =1,∴x+2y=(x+2y)· ?x y? x y x y 4y x · =8, x y

4y x 当且仅当 = ,即 x=4,y=2 时取等号,∴(x+2y)min=8,要使 x+2y>m2+2m 恒成立, x y 只需(x+2y)min>m2+2m 恒成立,即 8>m2+2m,解得-4<m<2. 答案:(-4,2) 1 1 1+ ??1+ ?≥9. 9.已知 a>0,b>0,a+b=1,求证:? a ? ?? b? 证明:法一:因为 a>0,b>0,a+b=1, a+b b a 1 1 所以 1+a=1+ a =2+a,同理 1+b=2+b, 1?? 1? ? b?? a? 故? ?1+a??1+b?=?2+a??2+b? b a? =5+2? ?a+b?≥5+4=9. 1?? 1? ? 1 ? 所以? ?1+a??1+b?≥9?当且仅当a=b=2时取等号?. a+b 1 1?? 1? 1 1 1 2 法二:? ?1+a??1+b?=1+a+b+ab=1+ ab +ab=1+ab,因为 a,b 为正数,a+b =1, a+b?2 1 1 2 所以 ab≤? ? 2 ? =4,于是ab≥4,ab≥8, 1?? 1? 因此? ?1+a??1+b?≥1+8=9

?当且仅当a=b=1时等号成立?. 2 ? ?
10.桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式,某研

究单位打算开发一个桑基鱼塘项目,该项目准备购置一块 1 800 平方米的矩形地块,中间挖 出三个矩形池塘养鱼,挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树,池塘周 围的基围宽均为 2 米,如图,设池塘所占的总面积为 S 平方米. (1)试用 x 表示 S; (2)当 x 取何值时,才能使得 S 最大?并求出 S 的最大值. 解:(1)由图形知,3a+6=x, x-6 ∴a= . 3 1 800 ? 1 800 ? 则总面积 S=? a+2a? ? x -4?· ? x - 6? 5 400 ? x-6?5 400 ? =a? ? x -16?= 3 ? x -16? 10 800 16x? =1 832-? ? x + 3 ?, 10 800 16x? 即 S=1 832-? ? x + 3 ?(x>0). 10 800 16x? (2)由 S=1 832-? ? x + 3 ?, 得 S≤1 832-2 10 800 16x · =1 832-2×240=1 352. x 3

10 800 16x 当且仅当 = ,此时,x=45. x 3 即当 x 为 45 米时,S 最大,且 S 最大值为 1 352 平方米.

层级二

应试能力达标

a 1.已知函数 f(x)=4x+x(x>0,a>0)在 x=3 时取得最小值,则 a=________. a a a 解析:由基本不等式性质,f(x)=4x+ (x>0,a>0)在 4x= ,即 x2= 时取得最小值, x x 4 a 由于 x>0,a>0,再根据已知可得 =32,故 a=36. 4 答案:36 1 2.已知 a>0,且 b>0,若 2a+b=4,则ab的最小值为________. 1 4 2a+b 1 1 解析:由题中条件知,ab= = = + ≥2 4ab 4ab 2b 4a 1 1 1 1 1 等号成立,故 2 2≥4· · ,即ab≥ . ab 2b 4a 2 答案: 1 2 1 1 · ,当且仅当 a=1,b=2 时 2b 4a

1 1 3.已知 x>0,y>0,lg 2x+lg 8y=lg 2,则 + 的最小值是________. x 3y 1 1? 3y x 1 1 + (x+3y)=2+ + 解析:因为 lg 2x+lg 8y=lg 2,所以 x+3y=1,所以x+ =? x 3y 3y ?x 3y? 3y x 1 1 ≥4,当且仅当 x = ,即 x= ,y= 时,取等号. 3y 2 6 答案:4 9x 4.已知 x>1,则函数 y=x+ 的值域为________. x-1 解析: ∵ x>1,∴ x- 1>0.∴ y= x+ 10≥2 9x-9+9 9x 9 9 = x+ = x+ 9+ = x- 1+ + x-1 x-1 x-1 x-1

9 9 x-1· +10=16,当且仅当 x-1= ,即 x=4 时,y 取最小值 16,∴函数 y x-1 x- 1

9x =x+ 的值域为[16,+∞). x-1 答案:[16,+∞) 5.若正数 x,y 满足 x+3y=5xy,则 3x+4y 的最小值为________. 1 3 1 3 ? 1 + 3 ?= 解析: 由题知,y+x=5, 即 + =1, 所以 3x+4y=(3x+4y)· 1=(3x+4y)· ?5y 5x? 5y 5x 3x 9 4 12y 13 ?3x 12y? 13 3x 12y 13 + + + = + + , 因为 x, y>0, 由基本不等式得 + + ≥ +2 5y 5 5 5x 5 ?5y 5x ? 5 5y 5x 5 3x 12y 1 5,当且仅当 = ,即 x=1,y= 时等号成立. 5y 5x 2 答案:5 6.设 x,y 为实数.若 4x2+y2+xy=1,则 2x+y 的最大值是________. 3 3 ?2x+y?2 5 解析:依题意有(2x+y)2=1+3xy=1+ ×2x×y≤1+ · ,得 (2x+y)2≤1,即 2 2? 2 ? 8 |2x+y|≤ 2 10 . 5 10 2 10 时,2x+y 取最大值 . 5 5 36 = 25

当且仅当 2x=y= 答案: 2 10 5

x1+x2? 1 7.已知函数 f(x)=lg x(x∈R+),若 x1>0,x2>0,比较 [f(x1)+f(x2)]与 f? 2 ? 2 ?的大小, 并加以证明. x1+x2 x1+x2? 证明:∵f(x1)+f(x2)=lg x1+lg x2=lg(x1x2),f? ? 2 ?=lg 2 ,

x1+x2?2 又∵x1>0,x2>0,∴x1x2≤? ? 2 ?, x1+x2?2 ∴lg(x1x2)≤lg? ? 2 ?, x1+x2 1 ∴ lg(x1x2)≤lg , 2 2 x1+x2 1 即 (lg x1+lg x2)≤lg . 2 2 x1+x2? 1 ∴ [f(x1)+f(x2)]≤f? 2 ? 2 ?. 当且仅当 x1=x2 时,等号成立.

1?? 1? 8.已知两正数 x,y 满足 x+y=1,求 z=? ?x+x??y+y ? 的最小值.
2 1 1 1 y x 1 ?x+y? -2xy 2 x+ ??y+ ?=xy+ + + =xy+ + 解:z=? = +xy-2,令 t=xy, ? x?? y? xy x y xy xy xy

x+y?2 1 2 ? 1? 1 2 0, 则 0<t=xy≤? ? 2 ? =4.由 f(t)=t+ t 在? 4?上单调递减,故当 t=4时 f(t)=t+ t 有最小值 33 1 25 ,所以当 x=y= 时,z 有最小值 . 4 2 4

(时间 120 分钟

满分 160 分)

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.将答案填在题中的横线上) 1.不等式 x2<1 的解集为________. 解析:x2<1,则-1<x<1,所以不等式的解集为{x|-1<x<1}. 答案:{x|-1<x<1} 2.若关于 x 的不等式 mx2+2x+4>0 的解集为{x|-1<x<2},则 m 的值为________. 解析:由已知得-1,2 是方程 mx2+2x+4=0 的两个根, 2 ∴-1+2=- . m ∴m=-2. 答案:-2
? 1 ? x<-1或x> ?, 3. 已知一元二次不等式 f(x)<0 的解集为?x? 则 f(10x)>0 的解集为_____. 2 ? ? ? ? 1 ? x<-1或x> ?,所以可设 f(x)=a(x+ 解析:因为一元二次不等式 f(x)<0 的解集为?x? 2 ? ? ?

?x-1?(a<0),由 f(10x)>0 可得(10x+1)· ?10x-1?<0,即 10x<1,x<-lg 2. 1)· 2? ? 2? ? 2
答案:{x|x<-lg 2} 4.原点与点(1,1)有且仅有一个点在不等式 2x-y+a>0 表示的平面区域内,则 a 的取 值范围为________. 解析:根据题意,分以下两种情况:①原点(0,0)在该区域内,点(1,1)不在该区域内.则
?a>0, ?a≤0, ? ? ? 无解. ②原点(0,0)不在该区域内, 点(1,1)在该区域内, 则? 所以-1<a≤0. ? ? ?a+1≤0 ?a+1>0,

综上所述,-1<a≤0. 答案:(-1,0] 1 4 5.已知 x>0,y>0,n>0,nx+y=1, + 的最小值为 16,则 n 的值为________. x y 解析:因为 x>0,y>0,n>0,nx+y=1, 1 4? y 4nx 1 4 所以x+y =(nx+y)? ?x+ y?=n+4+x+ y =n+4+2 y=2 nx 时取等号.所以 n+4+4 n=16,解得 n=4. 答案:4 0≤x≤2, ? ? 6.在条件?0≤y≤2, ? ?x-y≥1. y 4nx x· y =n+4+4 n,当且仅当

下,z=(x-1)2+(y-1)2 的取值范围是________.

解析: 由约束条件作出可行域如图. 目标函数表示点(x, y)与点 M(1,1)的距离的开方. 由 图可知,z 的最小值为点 M 与直线 x-y=1 的距离的平方.即 zmin=

?|1-1-1|?2 1 ? ?= . 2 ? 2 ?
z 的最大值为点 M(1,1)与点 B(2,0)的距离的平方: 即 zmax=(1-2)2+(1-0)2=2. 1 ? ∴z 的取值范围为? ?2,2?. 1 ? 答案:? ?2,2? 1 1 7.已知 a>0,b>0,a,b 的等比中项是 1,且 m=b+a,n=a+b,则 m+n 的最小值 是________. 解析:∵a,b 的等比中项是 1,∴ab=1. 1 1 ∴a=b,b=a,又 a>0,b>0, ∴m+n=2(a+b)≥4 ab=4,

当且仅且 a=b=1 时取等号. ∴m+n 的最小值是 4. 答案:4 1 1 8.已知 a>0,b>0,则a+b+2 ab的最小值是________. 1 1 解析:∵a>0,b>0,∴ + +2 ab≥2 a b (当且仅当 a=b 时取等号) 答案:4 2x-y≥5, ? ? 9.某校计划招聘男教师 x 名,女教师 y 名,x 和 y 满足约束条件?x-y≤2, 则该校 ? ?x<6. 招聘的教师最多是________名. 解析:在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直 线 x+y=0,平移该直线,因为 x∈N,y∈N,所以当平移到经过该 平面区域内的整点(5,5)时,相应直线在 y 轴上的截距最大,此时 x +y 取得最大值,x+y 的最大值是 10. 答案:10 10.若实数 x,y 满足 x2+y2+xy=1,则 x+y 的最大值是________. 解析: 由 x2+y2+xy=1, 得(x+y)2-xy=1, 即 xy=(x+y)2-1≤ ?x+y?2 3 .所以 (x+y)2≤1, 4 4 1 2 +2 ab= +2 ab≥2 ab ab 2 · 2 ab=4. ab

2 3 2 3 2 3 故- ≤x+y≤ .当 x=y 时“=”成立,所以 x+y 的最大值为 . 3 3 3 答案: 2 3 3 2x+1 (x>0)的最大值为________. 4x2+1

11.函数 f(x)=

解析:令 t=2x+1(t>1), t 1 原式= 2 = ①, 2 t -2t+2 t+ t -2 2 因为 t+ t ≥2 2(当且仅当 t= 2取等号), 2+1 2+1 1 所以①式≤ = ,故函数 f(x)的最大值为 . 2 2 2 2- 2 答案: 2+1 2

12.在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接矩

形花园(阴影部分), 则其边长 x 为______(m). x 40-y 解析:设矩形宽为 y,由三角形相似得: = ,且 x>0,y>0,x<40,y<40?40= 40 40 x+y≥2 xy,当且仅当 x=y=20 时,矩形的面积 S=xy 取最大值 400. 答案:20 13.已知 a,b 为正数,且直线 2x-(b-3)y+6=0 与直线 bx+ay-5=0 互相垂直,则 2a+3b 的最小值为________. 2 3? 2 3 ?b a? 解析:依题意得 2b-a(b-3)=0,即 + =1,2a+3b= (2a+3b)? ?a+b?=13+6?a+b? a b ≥13+6×2 25. 答案:25 b a b a × =25,当且仅当 = ,即 a=b=5 时取等号,因此 2a+3b 的最小值为 a b a b

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 3x-2 ? ? ≤1, 15.(本小题满分 14 分)解不等式组? x-6 ? ?2x2-x-1>0. 解: 3x-2 2x+4 ≤1? ≤0?x∈[-2,6), x-6 x -6

2x2-x-1>0?(2x+1)(x-1)>0 1? ?x∈? ?-∞,-2?∪(1,+∞), 1? 所以,原不等式组的解为 x∈? ?-2,-2?∪(1,6). 16.(本小题满分 14 分)已知函数 f(x)=x2+ax+6, (1)当 a=5 时,解不等式 f(x)<0; (2)若不等式 f(x)>0 的解集为 R,求实数 a 的取值范围. 解:当 a=5 时,f(x)=x2+5x+6, 由 f(x)<0,得 x2+5x+6<0.

即(x+2)(x+3)<0. ∴-3<x<-2. (2)若不等式 f(x)>0 的解集为 R, 则有 Δ=a2-4×6<0, 解得-2 6<a<2 6. 所以实数 a 的取值范围是(-2 6,2 6). x+y≥1, ? ? 17.(本小题满分 14 分)若 x,y 满足约束条件?x-y≥-1, ? ?2x-y≤2. 1 1 (1)求目标函数 z= x-y+ 的最值; 2 2 (2)若目标函数 z=ax+2y 仅在点(1,0)处取得最小值,求 a 的取值范围. 解:(1)作出可行域如图,可求得 A(3,4),B(0,1),C(1,0).平 1 1 移初始直线 x-y+ =0,过 A(3,4)取最小值-2,过 C(1,0)取最大 2 2 值 1. 所以 z 的最大值为 1,最小值为-2. (2)直线 ax+2y=z 仅在点(1,0)处取得最小值, 由图象可知-1< a - <2,解得-4<a<2. 2 故所求 a 的取值范围为(-4,2). 18.(本小题满分 16 分)某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形 薄板,其周长为 4 米,这种薄板须沿其对角线折叠后使用.如图所示, ABCD(AB>AD)为长方形薄板, 沿 AC 折叠后, AB′交 DC 于点 P.当△ADP 的面积最大时最节能. (1)设 AB=x 米,用 x 表示图中 DP 的长度,并写出 x 的取值范围; (2)若要求最节能,应怎样设计薄板的长和宽? 解:(1)由题意,AB=x,BC=2-x. 因 x>2-x,故 1<x<2. 设 DP=y,则 PC=x-y. 因△ADP≌△CB′P,故 PA=PC=x-y. 由 PA2=AD2+DP2,得(x-y)2=(2-x)2+y2, 1? 化简得 y=2? ?1-x?,1<x<2. 1? ? 2? (2)记△ADP 的面积为 S1,则 S1=? ?1-x?(2-x)=3-?x+x?≤3-2 2,

当且仅当 x= 2∈(1,2)时,S1 取得最大值. 答:当薄板长为 2米,宽为 2- 2米时,节能效果最好. 19.(本小题满分 16 分)某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广 告,广告总费用不超过 9 万元.甲、乙电视台的广告收费标准分别为 500 元/分钟和 200 元/ 分钟.假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司带来的收益分别为 0.3 万元和 0.2 万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间,才能使公司的收益最 大,最大收益是多少万元? 解:设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为 x 分钟和 y 分钟,总收益为 z 元, 则由题意得 x+y≤300, ? ? ?500x+200y≤90 000, ? ?x≥0,y≥0. 目标函数为 z=3 000x+2 000y. 二元一次不等式组等价于 x+y≤300, ? ? ?5x+2y≤900, ? ?x≥0,y≥0. 作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域, 如图:作直线 l:3 000x+2 000y=0,即 3x+2y=0. 平移直线 l,从图中可知,当直线 l 过 M 点时,目标函数取得最大值.
? ?x+y=300, 联立? 解得 x=100,y=200.即点 M 的坐标为(100,200), ?5x+2y=900. ?

所以 zmax=3 000x+2 000y=700 000(元). 答:该公司在甲电视台做 100 分钟广告,在乙电视台做 200 分钟广告,公司的收益最 大,最大收益是 70 万元. 20.(本小题满分 16 分)已知不等式 x2-4x+3<0 的解集是 A, (1)求集合 A. (2)函数 f(x)=log2(a-x)(a∈R)的定义域为集合 B,若 A?B 求 a 的取值范围. (3)不等式 ax2-2x-2a>0(a∈R 且 a≠0)的解集为 C,若 A∩C≠?,求 a 的取值范围. 解:(1)由 x2-4x+3<0 得, (x-1)(x-3)<0. ∴1<x<3. ∴A={x|1<x<3}.

(2)由 f(x)=log2(a-x)得,a-x>0, ∴x<a.∴B={x|x<a} 若 A?B,则 a≥3,即 a 的取值范围为[3,+∞). (3)设 g(x)=ax2-2x-2a, ①当 a>0 时,若 A∩C≠?,则 g(3)>0, 6 ∴9a-6-2a>0.∴a> . 7 ②当 a<0 时,若 A∩C≠?,则 g(1)>0. ∴a-2-2a>0.∴a<-2. 6 ? 综上:a 的取值范围是(-∞,-2)∪? ?7,+∞?.


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