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【选修2-1】1.4.3 含有一个量词的命题的否定


1 . 4 . 3 含有一个量词的命题的 否定

这里, 我们要注 探究 写出下列命题的否定: 意"并非所有的 ?1? 所有的矩形都是平行四 边形; 矩 形 都是平行 四边形"与" 所有 的矩 形 都不是 平行四边形 "有 存在一个矩 形

?2?每一个素数都是奇数; ?3??x ? R, x 2 ? 2 x ? 1 ? 0.

这些命题和它们的否定 在形式

上有什么变化 ? 区别, 前者是指 " 上面三个命题都是全称 命题, 即

? ? 具有形式 " ? x ? M , p x " 其中命 不 是平行四边 形 " , 并不 排除 题 ?1 ?的否定是" 并非所有的矩形
有其他的矩形

都是平行四边形 " , 也就是说 , 存

是平行四边形 . 在一个矩形不是平行四 边形;

命题?2?的否定是"并非每一个素数都是奇 数" , 也就是说, 存在一个素数不是奇数 ; 2 命题?3?的否定是"并非所有的x ? R, x ? 2 x ? 1

? 0" , 也就是说, ?x ? R, x ? 2 x ? 1 ? 0. 从命题形式看 , 这三个全称命题的否定 都变成 了特称命题. 一般地, 对于含有一个量词的全称命题的否定, 有下面的结论 :
2

全称命题p : ?x ? M , p? x ?, 它的否定 p : ?x ? M ,
? ?

p? x ?.

全称命题的否定是特称 命题.

例 3 写出下列全称命题的否 定:

?1? p : 所有能被3整除的整数都是奇数 ; ?2? p : 每一个四边形的四个顶 点共圆; ?3? p : 对任意x ? Z , x 2的个位数字不等于 3.


?1? ? p : 存在一个能被3 整除的整数

不是奇数.

?2? ? p : 存 在一个四边形,它的四个顶点
不共圆 .

?3? ? p : ?x ? Z , x2 的个位数字等于3.

探究 写出下列 命题的否定: ?1?有些实 数的 绝对值是正数 ; ?2?某 些平 行四 边形是菱形 ;

这三个命题都是特称命 题 ,即具有形式 " ?x ? M , p? x ?" 其中命题?1?的否定是"不 存在一个实数, 它的绝对值是正数" , 也 就是说, 所有实数的绝对值都不 是正数;

?3? ?x ? R, x 2 ? 1

? 0. 这些命题和它们 ? 0 " , 也就是说, ?x ? R, x 2 ? 1 ? 0. 的否定在形式上 从命题形式看 , 这三个特称命题的否 有什么变化? 定都变成了全称命题 .

命题 ?2?的否定是"没有一个平行四边 形是菱形 " , 也就是说, 每一个平行四边 形都不是菱形 ; 命题 ?3?的否定是"不存在x ? R, x 2 ? 1

一般地, 对于含一个量词的特称 命题的否定, 有下面的结论:

否定 P : ?x ? M , p? x ?.
? ?

特称命题 p : ?x ? M , p? x ?, 它的

特称命题的否定是全称 命题.

例 4 写出下列特称命题的否 定:

?1? p : ?x ? R, x 2 ? 2 x ? 2 ? 0 ; ?2? p : 有的三角形是等边三角 形; ?3? p : 有一个素数含三个正因 数.


?2?

?1?

?

p : ?x ? R, x ? 2x ? 2 ? 0.
2

?

p : 所有的三角形都不是等 边

三角形. ? ?3? p : 每一个素数都不含三个 正 因数.

例 4 写出下列命题的否定 , 并判 断它们的真假:

?1? p : 任意两个等边三角形都是
相似的;

?2? p : ?x ? R, x ? 2 x ? 2 ? 0 . ? 解 ?1? p : 存 在两个等 边三角形,
2

?2?

它们不相似.? p是假命题.
?

p : ?x ? R, x ? 2 x ? 2 ? 0. p 是
2

?

真命题.


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