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河北省衡水市冀州中学2016届高三数学上学期第一次月考试题B卷 理


河北冀州中学 2015--2016 学年上学期第一次月考 高三年级应届理科数学试题
考试时间:120 分钟 试题分数:150 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。 1.若全集为实数集 R ,集合 A = {x | log 1 (2 x ? 1) ? 0}, 则CR A =(
2

)

A. ( , ??)

1 2

B. (1, ??)
x+1

C. [0, ] ? [1, ?? )

1 2

D. (??, ] ? [1, ??)

1 2

2.已知命题 p:函数 y=2﹣a 恒过(1,2)点;命题 q:若函数 f(x﹣1)为偶函数,则 f (x)的图象关于直线 x=1 对称,则下列命题为真命题的是( A. p∧q B.p∧¬q C.¬p∧q D.¬p∧¬q ) )

3.若不等式 2kx2 ? kx ? <0 对一切实数 x 都成立,则 k 的取值范围为( A. ( ?3,0) 4.计算定积分 A. 2 B. ?? 3,0? C. ) C.

3 8

(?3,0]

D. ?? 3,0?

?

1

?1

( x2 ? sin x)dx ? (
B.
2

3

7 2

9 2

D.3

x 5.已知 a > 1 , f ? x ? ? a

?2 x

,则使 f ( x) ? 1 成立的一个充分不必要条件是 C. ?2 ? x ? 0 D. 0 ? x ? 1

A. ?2 ? x ? 1

B. ?1 ? x ? 0

6.函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? )(| ? |?

?
2

) 的图像向左平移


? 个单位后关于原点对称,则函数 6

f ( x) 在 [0, ] 上的最小值为( 2
A. 0 B. ?

?

3 2

C.

?

1 2

D.

3 2

7.下列说法正确的个数是(
3 2


3 2

①命题“? x∈R,x ﹣x +1≤0”的否定是“? x0∈R,x0 ﹣x0 +1>0”; ②“b= ”是“三个数 a,b,c 成等比数列”的充要条件;

③“m=﹣1”是“直线 mx+(2m﹣1)y+1=0 和直线 3x+my+2=0 垂直”的充要条件: ④“复数 Z=a+bi(a,b∈R)是纯虚数的充要条件是 a=0”是真命题.
1

A. 4

B.3

C.2

D.1

8.已知函数 f ( x) ? a sin x ? bx3 ? cx ? 1(a, b, c ? R) ,

f (lg(lg 3)) ? 3 ,则 f (lg(log3 10)) ? (
A. ?1 B. 3 C. ?3

) D. 2014

9.若定义在实数集 R 上的偶函数 f ( x) 满足 f ( x) ? 0 , f ( x ? 2) ? 恒成立, 则 f (2015) = ( A.1 B. 2 C. 3
3 2

1 , 对任意 x ? R f ( x)

) D. 4
2 2

10.如图所示的是函数 f(x)=x +bx +cx+d 的大致图象,则 x1 +x2 等于( A. B. C. D.



11.已知函数 f(x)= 则 k 的取值范围是( A. ?- 1,5? 12.定义在 (0, 则( B. ?0,5? )

,若 f(x)≥kx,

C. ?- 1,0?

D. ? ?2,1?

?
2

) 上的函数 f ( x) , f '( x ) 是它的导函数,且恒有 f '( x) ? f ( x) ? tan x 成立。



A. 6 f ( ) ? 2 f ( )

?

?

6

4

B. 3 ? f ( ) ? 2 cos 1 ? f (1)

?

6

C. 3 f ( ) ? f ( )

?

?

6

3

D. 2 f ( ) ? f ( )

?

?

4

3

二:填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 13.设 a ? cos 420 ,函数 f ( x) ? ?
?
3

?a x , x ? 0, ?log a x, x ? 0,

,则 f ( ) ? f (log 2 ) 的值等于

1 4

1 6



14. 已知 a>0, 函数 f(x)=x -ax 在[1, +∞)上是单调递增函数, 则 a 的取值范围是________. 15.若函数 f ( x ) = x ( x - c ) 在 x ? 2 处有极大值,则常数 c 的值为_________. 16.已知定义的 R 上的偶函数 f ? x ? 在 [0,??) 上是增函数,不等式 f (ax ? 1) ? f ( x ? 2) 对任意 x ? ? ,1? 恒成立,则实数 a 的取值范围是
2

?1 ? ?2 ?



2

三:解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 10 分) 已知 a ? (cos x ? sin x,2sin x), b ? (cos x ?sin x , 3cos x ) ,并且 f ? x ? ? a ? b (1)求 f ? x ? 的单调递增区间; (2)若 f ? x ? ?

?

?

? ?

10 ? ? 且 x ? [ ? , ] ,求 sin 2 x 的值。 13 4 6

18. (本题满分 12 分)
2 已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c ,其中 a ? 0 。 (1)若方程 f ( x) ? 2 x ? 0 有两个实根

求 f ( x ) 的解析式; (2) 若 f ( x) x1 ? 1, x2 ? 3 ,且方程 f ( x) ? 6a ? 0 有两个相等的根, 的图象与 x 轴交于 A(-3,0) 数 m 的取值范围. B(m,0)两点, 且当 ?1 ? x ? 0 时, f ( x) ? 0 恒成立.求实

19. (本题满分 12 分) 已知函数 f(x)= 2 cos( x ?

?

)[sin( x ? ) ? 3 cos( x ? )] . 3 3 3

?

?

(1)求 f(x)的值域和最小正周期; (2)方程 m[f(x)+ 3]+2=0 在 x ? [0,

?
6

] 内有解,求实数 m 的取值范围.

20. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? a) ln x , a ? R . (Ⅰ)当 a ? 0 时,求函数 f ( x ) 的极小值; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上为增函数,求 a 的取值范围.

21. (本题满分 12 分)
x ?x 函数 f ( x) ? ka ? a ( a > 0 且 a ? 1 )是定义在实数集 R 上的奇函数. 2 (1) 若 f (1) ? 0 , 试求不等式 f ( x ? 2 x) ? f ( x ? 4) ? 0 的解集;

3

(2) 若 f (1) ? 值.

3 且 g ( x) ? a2 x ? a?2 x ? 2mf ( x) 在 [1, ??) 上的最小值为 - 2 , 求 m 的 2

22. (本题满分 12 分)

2a 2 已知函数 f ( x) ? a ln x ? ? x(a ? 0) 。 x
(1)若函数 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 垂直,求实数 a 的值; (2)讨论函数 f ( x) 的单调性; (3)当 a ? (??,0) 时,记函数 f ( x) 的最小值为 g ( a ) ,求证: g (a ) ? 高三应届理科数学答案 1----- 12.A 卷: BBDDA CABDC CA B 卷: DDCAB BDAAC BC 13.8 14. ?0,3? 15. 6 16.

1 2 e 。 2

??2,0?
?
6

2 2 17.解: (1)由已知得 f ( x) ? a ? b ? cos x ? sin x ? 2 3 sin x cos x

= cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 2sin(2 x ? 令 2k? ? 可得 k? ?

) ,????????????2 分

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

,k ?Z ,

?
3

? x ? k? ?

?
6

( k ? Z ),

则 f ( x ) 的单调递增区间为 [ k? ? (2)由 f ( x ) ? 由 x ? ??

?
3

, k? ?

?
6

] ( k ? Z ).??????? 5 分

10 ? 5 得 sin(2 x ? ) ? , 13 6 13

? ? ? ? ? ?? , ? ,可得 2 x ? ? [ ? , ] , 6 3 2 ? 4 6?

所以 cos(2 x ?

?

? 12 ) ? 1 ? sin 2 (2 x ? ) ? , ?????????? 7 分 6 6 13
?
? ) ? sin(2 x ? ) cos ? cos(2 x ? ) sin 6 6 6 6 6 6

sin 2 x ? sin(2 x ?

?

?

?

?

?

4



5 3 12 1 5 3 ? 12 . ? ? ? ? 13 2 13 2 26

??????????????10 分

18. 解: (1)据题意,设 f ( x) ? 2 x ? a( x ? 1)( x ? 3),

f ( x) ? a( x ? 1)(x ? 3) ? 2x ? ax2 ? (2 ? 4a) x ? 3a. ① 由方程 f ( x) ? 6a ? 0得ax2 ? (2 ? 4a) x ? 9a ? 0. ② 2 因为方程②有两个相等的根,所以 ? ? [?(2 ? 4a)] ? 4a ? 9a ? 0 , 1 2 解得a ? 1或a ? ? (舍去) 即 5a ? 4a ? 1 ? 0. 5 将 a ? 1. 代入①得 f ( x) 的解析式 f ( x) ? x2 ? 6 x ? 3 ???????6 分 (2) 据题意知, x1 ? ?3, x2 ? m 是方程 f ( x) ? 0 的两个根. 则 f ( x) ? a( x ? 3)(x ? m) 又a ? 0
要使得当 ?1 ? x ? 0 时, f ( x) ? 0 恒成立. 当且仅当 ? ∴m≥0

? f (?1) ? 0 ?2m ? ?2 ?m ? ?1 ?? ?? f (0) ? 0 ? 3 m ? 0 ? ? m?0 ?
???????12 分

π? ? ? 2x + 19.解: (1)f(x)=2sin? 3 ?- 3. ? π? ? 2x + ∵-1≤sin? 3? ? ?≤1. π? 2π ? ?- 3≤2- 3,T= 2 =π , 2x + ∴-2- 3≤2sin? 3 ? ? 即 f(x)的值域为[-2- 3,2- 3],最小正周期为 π . ???????5 分 π ?π 2π ? ? π? ? ? ? (2)当 x∈? ?0, 6 ?时,2x+ 3 ∈? 3 , 3 ?, π? ? 3 ? ? ? ? ? 故 sin? ?2x+ 3 ?∈? 2 ,1?, π? ? ? 2x + 此时 f(x)+ 3=2sin? 3 ?∈[ 3,2]. ? 2 由 m[f(x)+ 3]+2=0 知,m≠0,∴f(x)+ 3=-m, 2 即 3≤-m≤2, 2 ? ?m+ 3≤0, 即?2 ? ?m+2≥0,

2 3 解得- 3 ≤m≤-1.

? 2 3 ? ? 即实数 m 的取值范围是? ?- 3 ,-1?

???12 分

5

20. 解: (Ⅰ)定义域 (0, ??) . 当 a ? 0 时, f ( x) ? x ln x , f ?( x) ? ln x ? 1 . 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ?

1 . e

当 x ? (0, ) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 为减函数; 当 x ? ( , ??) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 为增函数.

1 e

1 e

1 e x?a (Ⅱ)由已知得 f ?( x ) ? ln x ? . x

所以函数 f ( x ) 的极小值是 f ( ) ? ? .

1 e

?????? 4 分

因为函数 f ( x ) 在 (0, ??) 是增函数,所以 f ?( x) ? 0 ,对 x ? (0, ??) 恒成立. 由 f ?( x) ? 0 得 ln x ?

x?a ? 0 ,即 x ln x ? x ? a 对 x ? (0, ??) 恒成立. x

设 g ( x) ? x ln x ? x , 要使 “ x ln x ? x ? a 对 x ? (0, ??) 恒成立” , 只要 a ? g ( x)min . 因为 g ?( x) ? ln x ? 2 ,令 g ?( x) ? 0 得 x ? 当 x ? (0, 当 x?(

1 . e2

1 ) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 为减函数; e2

1 , ?? ) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 为增函数. e2 1 1 所以 g ( x) 在 ? 0, ?? ? 上的最小值是 g ( 2 ) ? ? 2 . e e
故函数 f ( x ) 在 (0, ??) 是增函数时,实数 a 的取值范围是 ( ??, ? 21.解: (1)? f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,

1 ] e2

??12 分

? f (0) ? 0, ? k ? 1 ? 0, ? k ? 1 ???????.2 分 1 ? f (1) ? 0,? a ? ? 0 ,又 a ? 0 且 a ? 1,? a ? 1. ????4 分 a 2 易知 f ( x) 在 R 上单调递增,原不等式化为: f ( x ? 2 x) ? f (4 ? x) ? x2 ? 2 x ? 4 ? x ,即 x2 ? 3x ? 4 ? 0 ? x ? 1或x ? ?4 ???????..6 分 ?不等式的解集为 {x | x ? 1或x ? ?4} . 3 1 3 1 2 (2)? f (1) ? ,? a ? ? ,即 2a ? 3a ? 2 ? 0, ? a ? 2或a ? ? (舍去) 2 a 2 2 2x ?2 x x ?x x ?x 2 x ?x ? g ( x) ? 2 ? 2 ? 2m(2 ? 2 ) ? (2 ? 2 ) ? 2m(2 ? 2 ) ? 2
令 t ? f ( x) ? 2 ? 2
x ?x

6

? x ? 1,? t ? f (1) ?
当m ?

3 ,? g (t ) ? t 2 ? 2mt ? 2 ? (t ? m) 2 ? 2 ? m 2 2

??8 分

3 时,当 t ? m 时, g (t )min ? 2 ? m2 ? ?2,? m ? 2 2 3 3 17 ? 3m ? ?2 , 当 m ? 时,当 t ? 时, g (t ) min ? 2 2 4 25 3 ? ,舍去. 解得 m ? 12 2 综上可知 m ? 2 . ???????.12 分
22.⑴解: f ( x) ?
/

a 2a 2 x 2 ? ax ? 2a 2 ( x ? 2a )( x ? a ) ? 2 ?1 ? ? ( x ? 0) x x x2 x2

f /(1) ? a ? 2a 2 ? 1 ? ?2 ? 2a 2 ? a ? 3 ? 0
3 ? a ? ?1或a ? ? 。 2 3 所以实数 a 的值为 ? 1或 。 2
⑵解: f ( x) ?
/

----------------4 分

a 2a 2 x 2 ? ax ? 2a 2 ( x ? 2a )( x ? a ) ? 2 ?1 ? ? x x x2 x2
/ /

当 a ? 0 时, x ? (0, a ), f ( x) ? 0; x ? (a,??), f ( x) ? 0.

f ( x) 的单调递减区间为 (0, a ) ,单调递增区间为 (a,??) ;---------6 分
当 a ? 0 时, x ? (0,?2a ), f ( x) ? 0; x ? (?2a,??), f ( x) ? 0.
/ /

f ( x) 的单调递减区间为 (0,?2a ) ,单调递增区间为 (?2a,??) 。-----8 分
(3)证明: a ? (??,0) , f ( x) 的单调递减区间为 (0,?2a ) ,单调递增区间为 (?2a,??) 所以 f min ( x) ? f (?2a ) ? a ln(?2a ) ? 即 g (a ) ? a ln(?2a ) ? 3a (a ? 0)

2a 2 ? 2a ? a ln(?2a ) ? 3a ? 2a

g / (a ) ? ln(?2a ) ? a ?
/

1 ? (?2) ? 3 ? ln(?2a ) ? 2 ? 2a

令 g (a ) ? ln(?2a ) ? 2 ? 0 , ? a ? ?

e2 2

a ? (??,?

e2 e2 ), g / (a ) ? 0; a ? (? ,0), g / (a ) ? 0 。 2 2

7

g max (a ) ? g (?
即 g (a) ?

e2 e2 e2 e2 1 ) ? ? ln e 2 ? 3(? ) ? ? e 2 。 2 2 2 2 2
???????..12 分

1 2 e 。 2

8



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