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标题-2017-2018学年高中数学三维设计苏教版必修5:第三章 3.2 一元二次不等式

一元二次不等式
第一课时 一元二次不等式的解法

预习课本 P75~80,思考并完成以下问题 (1)什么样的不等式是一元二次不等式?

(2)如何求解一元二次不等式?

(3)怎样理解三个二次之间的关系?

[新知初探]
1.一元二次不等式 我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的不等式叫做一元二次不等式, 即形如 ax2+bx+c>0(≥0)或 ax2+bx+c<0(≤0)(其中 a≠0)的不等式叫做一元二次不等式. 2.一元二次不等式的解与解集 使一元二次不等式成立的 x 的值,叫做这个一元二次不等式的解,其解的集合,称为 这个一元二次不等式的解集. 3.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表 判别式 Δ=b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+ c(a>0)的图象 一元二次方程 ax2+bx+c =0(a>0)的根 ax2+bx+c>0(a>0) 的解集 有两相异实根 x1, x2(x1<x2) 有两相等实根 b x1=x2=- 2a
? b ?x?x≠- 2 a ? ? ? ? ?

Δ>0

Δ=0

Δ<0

没有实数根

{x|x<x1 或 x>x2}

R

ax2+bx+c<0(a>0) 的解集

{x|x1<x<x2}

?

?

[小试身手]
1.不等式 9x2+6x+1≤0 的解集是________. 1 解析:变形为(3x+1)2≤0,∴x=- . 3
? 1? 答案:?-3? ? ?

2.不等式 2x+35-x2>0 的解集是________. 解析:原不等式等价于 x2-2x-35<0,即(x+5)(x-7)<0,即-5<x<7. 答案:{x|-5<x<7} 3.不等式 x2-2x-5>2x 的解集是________. 解析:由 x2-2x-5>2x 得 x2-4x-5>0, 因为方程 x2-4x-5=0 的两根为-1,5. 故不等式 x2-4x-5>0 的解为 x<-1 或 x>5. 答案:{x|x<-1 或 x>5} 4.在 R 上定义运算⊙:a⊙b=ab+2a+b,则满足 x⊙(x-2)<0 的实数 x 的取值范围 是________. 解析:根据定义,x⊙(x-2)=x(x-2)+2x+(x-2)=x2+x-2<0,解得-2<x<1. 答案:(-2,1)

一元二次不等式的解法

[典例] 解下列不等式: (1)x2-x-6>0; (2)25x2-10x+1>0; (3)-2x2+x+1<0. [解] (1)方程 x2-x-6=0 的两根为 x1=-2,x2=3,结合二次函数 y=x2-x-6 的图 象知 x2-x-6>0 的解集为{x|x>3 或 x<-2}. 1 (2)方程 25x2-10x+1=0 有两相等实根,x1=x2= .结合二次函数 y=25x2-10x+1 的 5
? 1 ? ? 图象知 25x2-10x+1>0 的解集为?x? ?x≠5 . ? ?

1 (3)法一:方程-2x2+x+1=0 的解为 x1=- ,x2=1,函数 y=- 2 1 ? 2x2+ x+1 的图象是开口向下的抛物线,与 x 轴的交点为? ?-2,0?和
? ? 1 ? (1,0),如图,观察图象知不等式的解集为?x? ?x<-2或x>1 . ? ?

法二:在不等式两边同乘-1,可得 2x -x-1>0, 1 方程 2x2-x-1=0 的解为 x1=- ,x2=1;画出函数 y=2x2-x-1 的 2 图象如图所示.
? ? 1 ? 观察图象,可得原不等式的解集为?x? ?x<-2或x>1 . ? ?

2

一元二次不等式的 2 种方法 (1)图象法:一般地,当 a>0 时,解形如 ax2+bx+c>0(或≥0)或 ax2+bx+c<0(或≤0) 的一元二次不等式,一般可分为三步: ①确定对应方程 ax2+bx+c=0 的解; ②画出对应函数 y=ax2+bx+c 的图象; ③由图象得出不等式的解集. 对于 a<0 的一元二次不等式,可以直接采取类似 a>0 时的解题步骤求解;也可以先把 它化成二次项系数为正的一元二次不等式,再求解. (2)代数法:将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解,当 p<q 时,若(x- p)(x-q)>0,则 x>q 或 x<p;若(x-p)(x-q)<0,则 p<x<q.有口决如下“大于取两边,小于 取中间”.

[活学活用] 1.不等式 x2+x-12<0 的解集是________. 解析:由 x2+x-12=0,解得 x1=3,x2=-4. ∴不等式 x2+x-12<0 的解集是{x|-4<x<3}. 答案:{x|-4<x<3} 2.解下列不等式: (1)2+3x-2x2>0; (2)x(4-x)≤x(x+3)-3. 解:(1)原不等式可化为 2x2-3x-2<0, ∴(2x+1)(x-2)<0.

? ? 1 ? 故原不等式的解集是?x? ?-2<x<2 . ? ?

(2)原不等式可化为 2x -x-3≥0, ∴(2x-3)(x+1)≥0,
? 3 ? ? 故原不等式的解集是?x? ?x≤-1或x≥2 . ? ?

2

简单分式不等式的解法 2x-1 [典例] 解不等式: >1. x+3 [解] 法一:原不等式化为 即 2x-1 -1>0, x+3

x-4 >0,所以 x-4 与 x+3 同号. x+3

?x-4>0, ?x-4<0, ? ? 故有? 或? ? ? ?x+3>0 ?x+3<0.

解得 x>4 或 x<-3, 所以原不等式的解集为{x|x<-3 或 x>4}. x-4 法二:原不等式化为 >0, x+3 等价于(x-4)(x+3)>0, ∴原不等式解集为{x|x<-3 或 x>4}.

f?x? f?x? 简单的分式不等式在求解时多化为 >0, <0 的形式,在变形的过程中,要注意等 g?x? g?x?
?f?x?≤0, ?f?x?≥0, ? ? f?x? 价性,同时要注意不等式是否含有等号,如 ≥0?? 或? 但不等价于 g?x? ?g?x?>0 ? ? ?g?x?<0,

f(x)g(x)≥0.

[活学活用]
不等式 x-1 ≥2 的解集为____________. x

x-1 x-1 解析: x ≥2 化为 x -2≥0, 即 -x-1 x+1 x ≥0,即 x ≤0.

?x?x+1?≤0, ? 它等价于? ?-1≤x<0. ? ?x≠0

∴原不等式解集为{x|-1≤x<0}. 答案:{x|-1≤x<0} 三个“二次”关系的应用
? 1 1 ? 2 ? [典例] 已知一元二次不等式 x2+px+q<0 的解集为?x? ?-2<x<3 ,求不等式 qx + ? ?

px+1>0 的解集. [解] 因为 x2+px+q<0 的解集为
? ? 1 1 ? ?x - <x< ?, 3 ? ? ? 2

1 1 所以 x1=- 与 x2= 是方程 x2+px+q=0 的两个实数根, 2 3

?3-2=-p, 由根与系数的关系得? 1? 1 ?3×? ?-2?=q,
<3.

1 1

?p=6, 解得? 1 ?q=-6 .

1

1 1 所以不等式 qx2+px+1>0 即为- x2+ x+1>0,整理得 x2-x-6<0,解得-2<x 6 6 即不等式 qx2+px+1>0 的解集为{x|-2<x<3}.

1.一元二次不等式 ax2+bx+c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程 ax2+bx+c =0 的根,也是函数 y=ax2+bx+c 与 x 轴交点的横坐标. 2.二次函数 y=ax2+bx+c 的图象在 x 轴上方的部分,是由不等式 ax2+bx+c>0 的 x 的值构成的;图象在 x 轴下方的部分,是由不等式 ax2+bx+c<0 的 x 的值构成的,三者之 间相互依存、相互转化.

[活学活用]
ax-1 1 - ,+∞?,则 a=____________. 1.已知 x 的不等式 <0 的解集是(-∞,-1)∪? 2 ? ? x+1 解析: ax-1 <0 等价于(ax-1)(x+1)<0. x+1

即 ax2+(a-1)x-1<0. 1 ∴-1,- 是方程 ax2+(a-1)x-1=0 的根. 2

?-1+??-2??=- a , 1? ∴? 1 -1×? ?-2?=-a, ?a<0.
1 a-1

解得 a=-2.

答案:-2 2.已知不等式 ax2+bx+c>0 的解集为{x|2<x<3},求不等式 cx2-bx+a>0 的解集. 2+3=-a, ? ? c 解:由题意知? 2×3= , a ? ?a<0, b b=-5a, ? ? 即?c=6a, ? ?a<0.

1 代入不等式 cx2-bx+a>0,得 6ax2+5ax+a>0(a<0).即 6x2+5x+1<0,解得- <x< 2 1 - , 3
? 1 1 ? - <x<- ?. 所以所求不等式的解集为?x? 3 ? 2 ? ?

层级一
1.不等式 x2>x 的解集是________.

学业水平达标

解析:由 x2>x,得 x(x-1)>0,所以解集为(-∞,0)∪(1,+∞). 答案:(-∞,0)∪(1,+∞) 2.不等式(x+2) x2-9≤0 的解集为________.
? ? ?x+2≤0, ?x≤-2, 解析:? 2 或 x2-9=0,即? 或 x=± 3,即 x≤-3 或 x=3. ?x -9≥0, ?x≤-3或x≥3, ? ?

答案:(-∞,-3]∪{3}
2 ? ?x -1<0, 3.不等式组? 2 的解集为____________. ?x -3x<0 ?

解析:∵x2-1<0 的解集为{x|-1<x<1}, x2-3x<0 的解集为{x|0<x<3},
?x2-1<0 ? ∴? 2 的解集为{x|0<x<1}. ? ?x -3x<0

答案:{x|0<x<1} 4.关于 x 的不等式(ax-2)(x+1-a)<0 的解集为 A,若 2∈A,则 a 的取值范围为 ________. 解析:因为 2∈A,所以(2a-2)(2+1-a)<0,得 a∈(-∞,1)∪(3,+∞). 答案:(-∞,1)∪(3,+∞) 3x-1 5.不等式 ≤0 的解集为____________. x-2

? ??3x-1??x-2?≤0, 3x-1 解析:不等式 ≤0 等价于? x-2 ?x-2≠0, ?

1 解得 ≤x<2. 3
? 1 ? ≤x<2 ? 答案:?x? ?3 ? ?

6.函数 y= x+3+log2(x2-4x+3)的定义域为________.
?x+3≥0, ? 解析:要使函数有意义,只需? 2 ? ?x -4x+3>0, ? ?x≥-3, 即? 解得-3≤x<1 或 x>3. ?x>3或x<1, ?

答案:[-3,1)∪(3,+∞) 7.若关于 x 的不等式 2x2-8x-4-a>0 在 1<x<4 内有解,则实数 a 的取值范围是 ____________. 解析:令 f(x)=2x2-8x-4-a=2(x-2)2-12-a 数形结合知只需 f(4)>0 即可. 即 2×42-8×4-4-a>0,解得 a<-4. 答案:(-∞,-4) 8.不等式 ax <1 的解集为{x|x<1 或 x>2},那么 a 的值为________. x-1

?a-1?x+1 ax ax 解析: <1 化为 -1<0,即 <0. x-1 x-1 x-1 等价于[(a-1)x+1](x-1)<0. ∴(a-1)x2-(a-2)x-1<0. ∴1,2 是方程(a-1)x2-(a-2)x-1=0 的两个根. a-2 ? ?1+2=a-1, ∴? 1 ?1×2=-a-1, ? 答案: 1 2 1 的定义域. -x +3x+10
2

1 解得 a= . 2

9.求函数 y=lg(x2-2x-3)+

2 ? ?x -2x-3>0, 解:依题意可得? 2 ?-x +3x+10>0, ?

?x<-1或x>3, ? 解得? ?-2<x<5, ?

∴不等式组的解是-2<x<-1 或 3<x<5, ∴函数的定义域为(-2,-1)∪(3,5). 10.若函数 f(x)= 2 016 的定义域是 R,求实数 a 的取值范围. ax +2ax+2
2

解:因为 f(x)的定义域为 R,所以不等式 ax2+2ax+2>0 恒成立. (1)当 a=0 时,不等式为 2>0,显然恒成立;
?a>0, ?a>0, ? ? (2)当 a≠0 时,有? 即? 2 ?Δ=4a -8a<0, ? ? ?0<a<2,

所以 0<a<2. 综上可知,实数 a 的取值范围是[0,2).

层级二
x 1.不等式 <0 的解为________. 2x-1 1? 解析:x(2x-1)<0?x∈? ?0,2?. 1? 答案:? ?0,2?

应试能力达标

2.集合 A={x|x2-5x+4≤0},B={x|x2-5x+6>0},则 A∩B=________. 解析:A={x|x2-5x+4≤0}={x|1≤x≤4},B={x|x2-5x+6>0}={x|x<2 或 x>3},所以 A∩B={x|1≤x<2 或 3<x≤4}. 答案:{x|1≤x<2 或 3<x≤4} 3.不等式 ax2+bx+c>0 的解集为(-2,1),则不等式 ax2+(a+b)x+c-a<0 的解集为 ________. b 解析: 由题意, ∵不等式 ax2+bx+c>0 的解集为(-2,1), ∴a<0, -2+1=- , (-2)×1 a c =a, ∴b=a,c=-2a, ∴不等式 ax2+(a+b)x+c-a<0 为 ax2+2ax-3a<0, 即 x2+2x-3>0, (x+3)(x-1)>0, ∴x<-3 或 x>1. 答案:(-∞,-3)∪(1,+∞) ax-2b 1 ? 4.关于 x 的不等式 ax-b>0 的解集是? ?2,+∞?,则关于 x 的不等式-x+5>0 的解集 是________. ax-2b 1 ? 解析:不等式 ax-b>0 的解集是? ?2,+∞??a>0,且 a-2b=0,则不等式-x+5>0 等

x-1 价于 >0?(x-1)(x-5)<0?1<x<5. -x+5 答案:(1,5)
? 1 1 ? - <x< ? ,则 2x2+ bx+ a<0 的解集为 5 .已知不等式 ax2+ bx+ 2>0 的解集为 ?x? 3 ? ? ? 2

________. 1 1 解析:由题意知- , 是方程 ax2+bx+2=0 的两实根,由根与系数的关系得, 2 3

?-2+3=-a, ? 1 1 2 ?-2×3=a,
即 x2-x-6<0.

1

1

b

?a=-12, ? 解得? ?b=-2. ?

∴2x2+bx+a<0 可化为 2x2-2x-12<0.

∴(x-3)(x+2)<0,解得-2<x<3. ∴2x2+bx+a<0 的解集为{x|-2<x<3}. 答案:{x|-2<x<3} 6.若关于 x 的不等式 ax2-6x+a2<0 的解集是(1,m),则 m=________. 解析:根据不等式与方程之间的关系知 1 为方程 ax2-6x+a2=0 的一个根,即 a2+a -6=0, 解得 a=2 或 a=-3, 当 a=2 时, 不等式 ax2-6x+a2<0 的解集是(1,2), 符合要求; 当 a=-3 时, 不等式 ax2-6x+a2<0 的解集是(-∞, -3)∪(1, +∞), 不符合要求, 舍去. 故 m=2. 答案:2 7.已知集合 A={x|x2-2x-3≤0,x∈R},B={x|x2-2mx+m2-4≤0,x∈R,m∈R}. (1)若 A∩B=[0,3],求实数 m 的值; (2)若 A??RB,求实数 m 的取值范围. 解:由已知得 A={x|-1≤x≤3},B={x|m-2≤x≤m+2},
? ? ?m-2=0, ?m=2, (1)∵A∩B=[0,3],∴? ∴? ∴m=2. ?m+2≥3, ? ? ?m≥1.

(2)?RB={x|x<m-2 或 x>m+2}. ∵A??RB,∴m-2>3 或 m+2<-1, ∴m>5 或 m<-3. 故 m 的取值范围为(-∞,-3)∪(5,+∞).

8.已知不等式 ax2+bx+c>0 的解集为(1,t),记函数 f(x)=ax2+(a-b)x-c. (1)求证:函数 y=f(x)必有两个不同的零点; (2)若函数 y=f(x)的两个零点分别为 m,n,求|m-n|的取值范围.

b 解:(1)证明:由题意知 a+b+c=0,且- >1, 2a c ∴a<0 且 >1,∴ac>0,∴对于函数 f(x)=ax2+(a-b)x-c 有 Δ=(a-b)2+4ac>0, a ∴函数 y=f(x)必有两个不同的零点. (2)|m-n|2=(m+n)2-4mn= ?b-a?2+4ac ?-2a-c?2+4ac ?c?2 ?c ? = =?a? +8?a?+4, a2 a2

由不等式 ax2+bx+c>0 的解集为(1,t)可知,方程 ax2+bx+c=0 的两个解分别为 1 和 c t(t>1),由根与系数的关系知a=t,∴|m-n|2=t2+8t+4,t∈(1,+∞). ∴|m-n|> 13, ∴|m-n|的取值范围为( 13,+∞).

第二课时

一元二次不等式的解法及其应用(习题课)

解含参数的一元二次不等式

[典例] 已知 a>0,解关于 x 的不等式(x-2)(ax-2)>0. [解] 当 a>0 时,原不等式可化为 2? (x-2)? ?x-a?>0.
? ? 2 2 x>a或x<2 ?; (1)当 0<a<1 时,两根的大小顺序为 2<a,原不等式的解集为?x? ? ? ?

2 (2)当 a=1 时,2=a,原不等式解集为{x|x≠2};
? ? 2 2 ? (3)当 a>1 时,两根的大小顺序为 2>a,原不等式的解集为?x? ?x<a或x>2 . ? ?

综上所述,
? ? 2 ? 当 0<a<1 时,原不等式解集为?x? ?x>a或x<2 ; ? ?

当 a=1 时,原不等式解集为{x|x≠2};
? ? 2 x<a或x>2 ?. 当 a>1 时,原不等式解集为?x? ? ? ?

解含参数的不等式时,若二次项系数为常数,可先考虑分解因式再对参数进行讨论; 若不易分解因式则可对判别式分类讨论;若二次项系数含有参数,则应先考虑二次项系数

为零的情形,然后考虑二次项系数不为零的情形,以便确定解集的形式;其次,对相应的 方程的根进行讨论,比较大小,以便写出解集.另外,注意参数的取值范围,并在此范围 内进行分类讨论.

[活学活用]
解关于 x 的不等式 ax2-2≥2x-ax(a≥0). 解:原不等式可变形为 ax2+(a-2)x-2≥0, (1)当 a=0 时,原不等式的解集为{x|x≤-1}; (2)当 a>0 时,原不等式可变形为(ax-2)(x+1)≥0, 2 方程(ax-2)(x+1)=0 的解为 x1=a,x2=-1.
? ? 2 ? 所以不等式的解集为?x? ?x≥a或x≤-1 . ? ?

综上,a=0 时,原不等式的解集为{x|x≤-1};
? ? 2 ? a>0 时,原不等式的解集为?x? ?x≥a或x≤-1 . ? ?

一元二次不等式的实际应用

[典例] 某摩托车生产企业,上年度生产摩托车的投入成本为 1 万元/辆,出厂价为 1.2 万元/辆,年销售量为 1 000 辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适度增加投 入成本.若每辆车投入成本增加的比例为 x(0<x<1),则出厂价相应提高的比例为 0.75x, 同时预计年销售量增加的比例为 0.6x.设年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量. (1)写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 的关系式; (2)为使本年度的年利润比上年有所增加,问投入成本增加的比例 x 应在什么范围内? [解] (1)依题意,得 y=[1.2(1+0.75x)-(1+x)]×1 000(1+0.6x) =1 000(-0.06x2+0.02x+0.2), 所以本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 的关系式为 y=1 000(-0.06x2+ 0.02x+0.2). (2)依题意,得 1 000(-0.06x2+0.02x+0.2)>(1.2-1)×1 000, 1 化简,得 3x2-x<0,解得 0<x< . 3 1? 所以为使本年度的年利润比上年有所增加,投入成本增加的比例 x 的范围是? ?0,3?. 解不等式应用题的 4 个步骤 (1)认真审题,抓住问题中的关键词,找准不等关系;

(2)引入数学符号,用不等式表示不等关系,使其数学化; (3)求解不等式; (4)还原实际问题.

[活学活用]
某文具店购进一批新型台灯,若按每盏台灯 15 元的价格销售,每天能卖出 30 盏;若 售价每提高 1 元,日销售量将减少 2 盏,为了使这批台灯每天获得 400 元以上(不含 400 元) 的销售收入,应怎样制订这批台灯的销售价格? 解:设这批台灯的销售价定为 x 元,则[30-(x-15)× 2]· x>400,即 x2-30x+200<0, 因方程 x2-30x+200=0 的两根为 x1=10,x2=20,所以 x2-30x+200<0 的解为 10<x<20, 又因为 x≥15, 所以 15≤x<20.故应将这批台灯的销售价格制订在 15 元到 20 元之间(包括 15 元但不包括 20 元),才能使这批台灯每天获得 400 元以上(不含 400 元)的销售收入. 不等式的恒成立问题

[典例] 对任意 x∈R,函数 f(x)=x2+(m-4)x+4-2m 的值总为非负,则 m 的取值范 围为________. [解析] 由题意知 Δ=(m-4)2-4(4-2m)≤0,得 m=0. [答案] {0}

[一题多变]
1.[变条件]对任意 x∈R,函数 f(x)=mx2+(m-4)x+4-2m 的值恒大于零,求 m 的取 值范围. 解:①当 m=0 时,f(x)的值不恒大于零,舍去;
?m>0, ? ②当 m≠0 时,? 此不等式组无解,故 m∈?. 2 ??m-4? -4m?4-2m?<0, ?

综上知,不存在这样的实数 m,使函数 f(x)的值恒大于零. 2.[变条件]对任意 x∈[-1,1],函数 f(x)=x2+(m-4)x+4-2m 的值恒大于零,求 m 的取值范围. 解:由题意知(x-2)m+x2-4x+4>0,(x-2)m>-x2+4x-4,因为 x∈[-1,1],所以 x -x2+4x-4 -2<0,所以 m< =-(x-2),所以 m<1.即 m 的取值范围为(-∞,1). x- 2 3.[变条件、变设问]对任意 m∈[-1,1],函数 f(x)=x2+(m-4)x+4-2m 的值恒大于 零,求 x 的取值范围. 解:由 f(x)=x2+ (m- 4)x+ 4-2m= (x- 2)m+ x2-4x+ 4,令 g(m)= (x- 2)m+ x2- 4x+4. 由题意知在[-1,1]上,g(m)的值恒大于零,

2 ? ?g?-1?=?x-2?×?-1?+x -4x+4>0, 所以? 解得 x<1 或 x>3. 2 ?g?1?=?x-2?×1+x -4x+4>0, ?

故当 x<1 或 x>3 时,对任意的 m∈[-1,1],函数 f(x)的值恒大于零.

解决不等式恒成立问题的 2 种思路 (1)转化成含有参数的不等式,借助对应函数图象,找到满足题目要求的条件,构造含 参数的不等式(组),求得参数范围; (2)分离参数,通过求函数的最值,进而确定参数的范围.

层级一

学业水平达标

1.若 a<0,则关于 x 的不等式 x2-4ax-5a2>0 的解集是____________. 解析:x2-4ax-5a2>0 化为(x-5a)(x+a)>0, ∵a<0,∴5a<-a. ∴x>-a 或 x<5a. 答案:{x|x<5a 或 x>-a} 2.已知 a<0,则关于 x 的不等式 ax >1 的解集是________. x-2

?a-1?x+2 ax 解析:不等式 >1 可化为 >0, x-2 x-2 2 不等式等价于(a-1)?x-1-a?(x-2)>0.

?

?

∵a<0, 2 ∴不等式等价于?x-1-a?(x-2)<0.

?

?



2 <2. 1-a
? ?

? ? 2 ? ? ∴原不等式的解集为?x?1-a<x<2 ?.

?

? ?

? ? 2 ? ? 答案:?x?1-a<x<2 ? ? ?

?

? ?

3.如果 A={x|ax -ax+1<0}=?,则实数 a 的取值范围为________.
? ?a>0, 解析: 当 a=0 时, 有 1<0, 故 A=?成立; 当 a≠0 时, 要使 A=?, 须满足? 2 ?Δ=a -4a≤0, ?

2

∴0<a≤4,综上 a∈[0,4]. 答案:[0,4]

2 ? ?x-1≥a , 4.关于 x 的不等式组? 有解,则实数 a 的取值范围是________. ?x-4<2a ? 2 ? ?x≥a +1, 解析:由已知得? 若不等式组有解, ?x<2a+4 ?

∴2a+4>a2+1,即 a2-2a-3<0.∴-1<a<3. 答案:(-1,3) 5. 已知关于 x 的不等式 x2-ax+2a>0 在 R 上恒成立,则实数 a 的取值范围是________. 解析:x2-ax+2a>0 恒成立?Δ<0,即 a2-4×2a<0,解得 0<a<8. 答案:(0,8) 6.若不等式 x2-(a+1)x+a≤0 的解集是[-4,3]的子集,则 a 的取值范围是________. 解析:原不等式即(x-a)(x-1)≤0,当 a<1 时,不等式的解集为[a,1],此时只要 a≥- 4 即可,即-4≤a<1;当 a=1 时,不等式的解为 x=1,此时符合要求;当 a>1 时,不等式 的解集为[1,a],此时只要 a≤3 即可,1<a≤3.综上可得-4≤a≤3. 答案:[-4,3] 7.不等式 x2-2x+5≥a2-3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为________. 解析:x2-2x+5=(x-1)2+4 的最小值为 4,所以 x2-2x+5≥a2-3a 对任意实数 x 恒 成立,只需 a2-3a≤4,解得-1≤a≤4. 答案:[-1,4] 2x2+2mx+m 8. 如果不等式 <1 对一切实数 x 均成立, 则实数 m 的取值范围是________. 4x2+6x+3 3?2 3 2 解析:由 4x2+6x+3=? ?2x+2? +4>0 对一切 x∈R 恒成立,从而原不等式等价于 2x +2mx+m<4x2+6x+3?2x2+(6-2m)x+(3-m)>0 对一切实数 x 恒成立?Δ=(6-2m)2- 8(3-m)=4(m-1)(m-3)<0,解得 1<m<3. 答案:(1,3) 9.已知对任意 x∈(0,+∞)不等式 x2-ax+2>0 恒成立,求实数 a 的取值范围. a a2 x- ?2+2- , 解:令 f(x)=x2-ax+2=? ? 2? 4 (1)当 a≤0 时 f(x)在(0,+∞)为单调递增的. f(0)=2>0,故 a≤0 时,x2-ax+2>0 恒成立. a (2)当 a>0 时 f(x)=x2-ax+2 的对称轴为 x= . 2 ∴当 x∈(0,+∞)时, a2 f(x)min=2- . 4 若 x2-ax+2>0 在 x∈(0,+∞)恒成立,

a2 只要 2- >0 即可,∴0<a<2 2. 4 综上,若 x2-ax+2>0 在(0,+∞)恒成立,则实数 a 的取值范围为(-∞,2 2). 10.已知不等式 ax2-3x+6>4 的解集为{x|x<1 或 x>b}. (1)求 a,b; (2)解不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0. 解:(1)∵不等式 ax2-3x+6>4 的解集为{x|x<1 或 x>b}, ∴x=1 与 x=b 是方程 ax2-3x+2=0 的两个实数根,且 b>1.由根与系数的关系,

?1+b=a, 得? 2 ?1×b=a,

3

?a=1, ? 解得? ?b=2. ?

(2)原不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0,可化为 x2-(2+c)x+2c<0,即(x-2)(x-c)<0. ①当 c>2 时,不等式(x-2)(x-c)<0 的解集为{x|2<x<c}; ②当 c<2 时,不等式(x-2)(x-c)<0 的解集为{x|c<x<2}; ③当 c=2 时,不等式(x-2)(x-c)<0 的解集为?. 综上所述,当 c>2 时,不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0 的解集为{x|2<x<c}; 当 c<2 时,不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0 的解集为{x|c<x<2}; 当 c=2 时,不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0 的解集为?.

层级二

应试能力达标

1. 不等式 x2-2x+3≤a2-3a-2 在 R 上的解集为?, 则实数 a 的取值范围是________. 解析:∵x2-2x-(a2-3a-5)≤0 的解集为?, ∴Δ=4+4(a2-3a-5)<0,∴a2-3a-4<0, ∴-1<a<4,即实数 a 的取值范围为(-1,4). 答案:(-1,4) 2.对任意 a∈ [-2,3],不等式 x2+ (a- 6)x+ 9-3a>0 恒成立,则 x 的取值范围为 ____________. 解析:设 f(a)=x2+(a-6)x+9-3a =(x-3)a+x2-6x+9, 由已知条件得
?f?-2?=-2x+6+x2-6x+9>0, ? ? 2 ?f?3?=3x-9+x -6x+9>0, ?
2 ? ? ?x -8x+15>0, ?x<3或x>5, ? 即 2 ∴? ? ? ?x -3x>0. ?x<0或x>3.

∴x<0 或 x>5.即 x 的取值范围为(-∞,0)∪(5,+∞).

答案:(-∞,0)∪(5,+∞) 3.关于 x 的不等式 ax2+2x+a>0 的解集为 R,则实数 a 的取值范围是________. 解析:当 a=0 时,易知条件不成立; 当 a≠0 时,要使不等式 ax2+2x+a>0 的解集为 R,
?a>0, ? 必须满足? 解得 a>1. 2 ? ?Δ=4-4a <0,

答案:(1,+∞) a2 4.关于 x 的不等式 x2+ax+ -c<0 的解集为(m,m+6),则实数 c=________. 4 a? 2 a? ? a? a2 a a 解析: 由 x2+ax+ -c<0, 得? 即- c- <x< c- , ∴? ?x+2? <c, ? c-2?-?- c-2? 4 2 2 =6.解得 c=9. 答案:9 5.在 R 上定义运算?:x?y=x(1-y).若不等式(x-a)?(x+a)<1 对任意实数 x 都成立, 则 a 的取值范围为________. 解析:(x-a)?(x+a)<1 对任意实数 x 成立, 即(x-a)(1-x-a)<1 对任意实数 x 成立. ∴x2-x-a2+a+1>0 恒成立, 1 3 ∴Δ=1-4(-a2+a+1)<0,∴- <a< . 2 2 1 3? 答案:? ?-2,2? m2x-1 6.若 <0(m≠0)对一切 x≥4 恒成立,则实数 m 的取值范围是________. mx+1 解析:因为 m≠0,所以分两种情况讨论: 1 1 -m, 2?,显然不适合题意; (1)m>0,不等式的解集是? m? ? (2)m<0, (ⅰ)当 m=-1 时,不等式化为-(x-1)2<0,对于 x≠1 均成立; m2x-1 1 1 -∞,- ?∪? 2,+∞? ,要使不等式 (ⅱ)当- 1<m<0 时,不等式的解集是 ? m? ?m ? ? mx+1 1 1 <0(m≠0)对一切 x≥4 恒成立,必须 2<4,结合-1<m<0,解得-1<m<- ; m 2 1 1 1 -∞, 2?∪?-m,+∞?,所以- ≤4 恒成立. (ⅲ)当 m<-1 时,不等式的解集是? m ? ? ? ? m 1 -∞,- ?. 综上,实数 m 的取值范围是? 2? ?

1? 答案:? ?-∞,-2? 7.某公司按现有能力,每月收入为 70 万元,公司分析部门测算,若不进行改革,因 竞争加剧收入将逐月减少,分析测算得从 2015 年开始第一个月收入将减少 3 万元,以后逐 月多减少 2 万元,如果进行改革,即投入技术改造 300 万元,且 2015 年后每月再投入 1 万 元进行员工培训,且测算得自 2015 年后第一个月起累计收入 Tn 与时间 n(以月为单位)的关 系为 Tn=an+b, 且 2015 年第一个月时收入将为 90 万元, 第二个月时累计收入为 170 万元, 问 2015 年后经过几个月,该公司改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入. 解:2015 年改革后经过 n 个月的纯收入为(Tn-300-n)万元,公司若不进行改革,由 题设知 2015 年后因竞争加剧收入将逐月减少. 分析测算得 2015 年第一个月收入将减少 3 万元, 以后逐月多减少 2 万元. 所以不改革, 第一个月:70-3-2×(1-1), 第二个月:70-3-2(2-1), 第三个月:70-3-2(3-1), … 第 n 个月:70-3-2(n-1), 所以不改革时的纯收入为:70n-?3n+

?

n?n-1? ? · 2 万元, 2 ?

? ? ?90=a+b, ?a=80, 由题设知? 所以? ?170=2a+b, ? ? ?b=10,

由题意建立不等式:80n+10-300-n>70n-3n-(n-1)n, 整理,得 n2+11n-290>0,得 n>12.4, 因为 n∈N,故取 n=13. 答:经过 13 个月改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入.

8.已知不等式 mx2-2x-m+1<0, (1)若对任意实数 x 不等式恒成立,求 m 的取值范围. (2)若对一切 m∈[-2,2]不等式恒成立,求 x 的取值范围. 解:(1)不等式 mx2-2x-m+1<0 恒成立, 即函数 f(x)=mx2-2x-m+1 的图象全部在 x 轴下方. 当 m=0 时,不等式变为 1-2x<0,对任意实数 x 不恒成立,故 m=0 不满足; 当 m≠0 时,函数 f(x)=mx2-2x-m+1 为二次函数,需满足图象开口向下且方程 mx2 -2x-m+1=0 无解,

? ?m<0, 即? 则 m 无解. ?Δ=4-4m?1-m?<0, ?

综上可知不存在这样的 m,使不等式恒成立. (2)设 g(m)=(x2-1)m+(1-2x), 当 x2-1=0 时,即 x=± 1,检验得 x=1 时符合题意, 当 x2≠1 时,则其为一个以 m 为自变量的一次函数,其图象是直线, 由题意知该直线当-2≤m≤2 时在 x 轴下方,
2 ? ? ?g?-2?<0, ?-2x -2x+3<0, ① ? ? ∴ 即 2 ?g?2?<0, ? ? ?2x -2x-1<0. ②

-1- 7 -1+ 7 解①,得 x< 或 x> , 2 2 1- 3 1+ 3 解②,得 <x< . 2 2 -1+ 7 1+ 3 由①②,得 <x< ,且 x≠1, 2 2

?-1+ 7 1+ 3?. 综上得 x 的取值范围为? ? ? 2 , 2 ?


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