当前位置:首页 >> >>

标题-2017-2018学年高中数学三维设计苏教版必修5:复习课(三) 不等式_图文

复习课(三) 不等式
一元二次不等式
一元二次不等式和一元二次方程、一元二次函数三者构成 一个统一的整体.贯穿于高中数学的始终,更是高考的重点内 容,在考题中有时单独对某类不等式的解法进行考查,一般以 小题形式出现,难度不大,但有时在解答题中与其它知识联系 在一起,难度较大.

[考点精要]
解一元二次不等式需熟悉一元二次方程、二次函数和一元二 次不等式三者之间的关系,其中二次函数的零点是联系这三个 “二次”的枢纽. (1)确定ax2+bx+c>0(a>0)或ax2+bx+c<0(a>0)在判别式Δ>0 时解集的结构是关键.在未确定a的取值情况下,应先分a=0和 a≠0两种情况进行讨论.

(2)若给出了一元二次不等式的解集,则可知二次项系数a的符 号和方程ax2+bx+c=0的两个根,再由根与系数的关系就可知a, b,c之间的关系. (3)解含有参数的一元二次不等式,要注意对参数的取值进行 讨论:①对二次项系数与0的大小进行讨论;②在转化为标准形式 的一元二次不等式后,对判别式与0的大小进行讨论;③当判别式 大于0,但两根的大小不确定时,对两根的大小进行讨论.

[典例] 已知不等式ax2+5x-2>0的解集是M. (1)若2∈M,求a的取值范围;
? ? ?1 (2)若M=?x?2 ? ? ? ? ? <x<2?,求不等式ax2-5x+a2-1>0的解集. ? ?

[解] (1)∵2∈M,∴a· 22+5· 2-2>0,∴a>-2, 即a的取值范围为(-2,+∞).
? ? ?1 (2)∵M=?x?2 ? ? ? ? ? <x<2?, ? ?

1 ∴2,2是方程ax2+5x-2=0的两个根,

5 ?1 ?2+2=-a, ∴由根与系数的关系得? 2 ?1· 2=-a, ?2

解得a=-2,

∴不等式ax2-5x+a2-1>0即为-2x2-5x+3>0, 1 ∴2x +5x-3<0,解得-3<x<2,
2

∴不等式ax2-5x+a2-1>0的解集为
? ? ? 1 ?x?-3<x< 2 ? ? ? ? ? ?. ? ?

[类题通法]
求解不等式的方法:(1)对于一元二次不等式,应先化为一般 形式ax2+bx+c>0(a≠0),再求相应一元二次方程ax2+bx+c= 0(a≠0)的根,最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系,确 定一元二次不等式的解集.(2)解简单的分式、指数、对数不等式 的基本思想是把它们等价转化为整式不等式(一般为一元二次不 等式)求解.(3)解决含参数不等式的难点在于对参数的恰当分 类,关键是找到对参数进行讨论的原因,确定好分类标准,有理 有据、层次清晰地求解.

[题组训练]
? ?2x+1,x≥1, 1.设函数f(x)= ? 2 ? ?x -2x-2,x<1,

若f(x0)>1,则x0的取值范围是

____________.
? ?x0≥1, 解析:f(x0)>1?? ? ?2x0+1>1 ? ?x0<1, 或? 2 ? ?x0-2x0-2>1

?x0≥1或x0<-1.

答案:(-∞,-1)∪[1,+∞)

2.已知函数f(x)=x2-2x-8,g(x)=2x2-4x-16. (1)求不等式g(x)<0的解集; (2)若对一切x>2,均有f(x)≥(m+2)x-m-15成立,求实数m的 取值范围.

解:(1)g(x)=2x2-4x-16<0,∴(2x+4)(x-4)<0,∴- 2<x<4,∴不等式g(x)<0的解集为{x|-2<x<4}. (2)∵f(x)=x2-2x-8. 当x>2时,f(x)≥(m+2)x-m-15恒成立, ∴x2-2x-8≥(m+2)x-m-15, 即x2-4x+7≥m(x-1).

x2-4x+7 ∴对一切x>2均有不等式 ≥m成立, x-1 x2-4x+7 4 而 =(x-1)+ -2≥2 x-1 x-1 4 ?x-1?× - 2= 2 , x- 1

4 当且仅当x-1= ,即x=3时等号成立, x-1 ∴实数m的取值范围是(-∞,2].

简单的线性规划问题
线性规划问题一般有三种题型:一是求最值;二是求区域面 积;三是由最优解确定目标函数中参数的取值范围.“线性规 划”是必考内容,主要以填空题的形式考查,题目难度大多数为 低、中档.

[考点精要]
平面区域的确定方法是“直线定界、特殊点定域”,二元一 次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的半平面的交 集.线性目标函数z=ax+by中的z不是直线ax+by=z在y轴上的 a z z 截距,把目标函数化为y=- b x+ b ,可知 b 是直线ax+by=z在y 轴上的截距,要根据b的符号确定目标函数在什么情况下取得最 大值、什么情况下取得最小值.

[典例] 已知D是以点A(4,1),B(-1,-6),C(-3,2)为顶点的 三角形区域(包括边界与内部).如图所示. (1)写出表示区域D的不等式组. (2)设点B(-1,-6),C(-3,2)在直线4x-3y-a =0的异侧,求a的取值范围. [解] (1)直线AB,AC,BC的方程分别为7x-5y-23 =0,x+7y-11=0,4x+y+10=0. 又原点(0,0)在区域D内,
?7x-5y-23≤0, ? 故表示区域D的不等式组为?x+7y-11≤0, ?4x+y+10≥0. ? (2)根据题意有[4× (-1)-3× (-6)-a][4× (-3)-3× 2-a]<0,即 (14-a)(-18-a)<0,得a的取值范围是-18<a<14. 故a的取值范围是(-18,14).

[类题通法]
解决线性规划问题应关注三方面:(1)首先要找到可行域, 再注意目标函数所表示的几何意义,找到目标函数达到最值时 可行域的顶点(或边界上的点),但要注意作图一定要准确,整 点问题要验证解决.(2)画可行域时应注意区域是否包含边 界.(3)对目标函数z=Ax+By中B的符号,一定要注意B的正负 与z的最值的对应,要结合图形分析.

[题组训练]
?x≥0, ? 1.设不等式组 ?y≥0, ?y≤-kx+4k ? 在平面直角坐标系中所表示的区域

kS 面积为S,则当k>1时, 的最小值为________. k-1 1 解析:由图可知S=S△OAB= 2 ×OA×OB=
1 2×4×4k=8k, kS k×8k 8k2 所以 = = . k-1 k-1 k-1

8?t+1?2 ? 1? ?t+ ? 令t=k-1>0,则k=t+1,代入上式得 t =8? t ?+16,
? 1? 1 因为t+ t ≥2,所以8?t+ t ?+16≥8×2+16=32. ? ?

当且仅当t=1时,即k=2时取等号. kS 故当k=2时, 取得最小值32. k- 1 答案:32

?x+y-2≤0, ? 2.x,y满足约束条件 ?x-2y-2≤0, ?2x-y+2≥0. ? 最优解不唯一,则实数a=________.

若z=y-ax取得最大值的

解析:作出可行域(如图),为△ABC内部 (含边界).由题设z=y-ax取得最大值的最 优解不唯一可知:线性目标函数对应直线 与可行域某一边界重合.由kAB=-1,kAC 1 1 =2,kBC= 2 可得a=-1或a=2或a= 2 ,验 1 证:a=-1或a=2时,成立;a=2时,不成立. 答案:2或-1

基本不等式的应用
基本不等式是解决函数值域、最值、不等式证明、参数范 围问题的有效工具,考试中经常出现,有时也会对其单独考 查.题目难度为中等偏上.应用时,要注意“拆、拼、凑”等 技巧,特别要注意应用条件,只有具备公式应用的三个条件 时,才可应用,否则可能会导致结果错误.

[考点精要]
1.基本不等式的常用变形 (1)a+b≥2 ab(a>0,b>0),当且仅当a=b时,等号成立; (2)a +b 成立;
2 2

?a+b? ?2 ≥2ab,ab≤? ? 2 ? (a,b∈R),当且仅当a=b时,等号 ? ?

b a (3)a+b≥2(a,b同号且均不为零),当且仅当a=b时,等号成立; 1 1 (4)a+a≥2(a>0),当且仅当a=1时,等号成立;a+a≤-2 (a<0),当且仅当a=-1时,等号成立.

2.利用基本不等式求最值 已知x,y∈(0,+∞), S2 (1)若x+y=S(和为定值),则当x=y时,积xy取得最大值 4
2? ? ?x+y? ? ? ?2 S ? ?xy≤? 2 ? = 4 ?; ? ? ? ?

(2)若xy=P(积为定值),则当x=y时,和x+y取得最小值 2 P(x+y≥2 xy=2 P).

[典例]

已知正数x,y满足x+2 2xy ≤λ(x+y)恒成立,则实数

λ的最小值为________.

[解析]

∵x>0,y>0,∴x+2y≥2 2xy (当且仅当x=2y时取

x+2 2xy x+2 2xy 等号).又由x+2 2xy ≤λ(x+y)可得λ≥ ,而 x+y x+ y
?x+2 2xy? x+?x+2y? ? ≤ =2,∴当且仅当x=2y时, ? max=2.∴λ的 ? ? x+y ? x+y ?

最小值为2. [答案] 2

[类题通法]

利用基本不等式解题应关注三方面:(1)利用基本不等式求最值 的注意点,①在运用基本不等式求最值时,必须保证“一正,二 定,三相等”,凑出定值是关键.②若两次连用基本不等式,要注 意等号的取得条件的一致性,否则就会出错. (2)求条件最值问题的两种方法:一是借助条件转化为所学过的 函数(如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数),借助于函数 单调性求最值;二是可考虑通过变形直接利用基本不等式解决.

(3)结构调整与应用基本不等式:基本不等式在解题时一般不 能直接应用,而是需要根据已知条件和基本不等式的“需求”寻 找“结合点”,即把研究对象化成适用基本不等式的形式,常见 的转化方法有: b b ①x+ =x-a+ +a(x>a). x-a x-a
?a b? a b ? + ? ②若 x + y =1,则mx+ny=(mx+ny)×1=(mx+ny)· ?x y ?

≥ma+nb+2 abmn(字母均为正数).

[题组训练]
x2-y2 1.定义运算“*”:x*y= xy (x,y∈R,xy≠0),当x>0,y>0时, x*y+(2y)*x的最小值为________.
x2-y2 ?2y?2-x2 x2+2y2 解析:由题意,得x*y+(2y)*x= xy + 2yx = 2xy 2 x2· 2y2 ≥ 2xy = 2,当且仅当x= 2y时取等号. 答案: 2

x-1 2.函数y= 的最大值为________. x+3+ x-1

解析:令t= t t2+t+4

t x-1 ≥0,则x=t +1,所以y= 2 = t +1+3+t
2

.当t=0,即x=1时,y=0;当t>0,即x>1时,y=

1 4 ,因为t+ t ≥2 4=4(当且仅当t=2时取等号), 4 t+ t +1 1 1 1 所以y= 4 ≤ 5 ,即y的最大值为 5 (当t=2,即x=5时y取得 t+ t +1 最大值). 1 答案:5

“回扣验收特训”见“回扣验收特训(三)” (单击进入电子文档)


更多相关标签: