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标题-2017-2018学年高中数学三维设计苏教版必修5:第3章 3.4 基本不等式_图文

预习课本P96~102,思考并完成以下问题
(1)基本不等式的形式是什么?需具备哪些条件?
(2)“和定积最大,积定和最小”应怎样理解?
(3)在利用基本不等式求最值时,应注意哪些方面?

(4)一般按照怎样的思路来求解实际问题中的最值问题?

[新知初探]
1.重要不等式 当a,b是任意实数时,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等 号成立. 2.基本不等式

a+b 2 称为正数a,b的 (1)有关概念:当a,b均为正数时,把______
ab 称为正数a,b的几何平均数. 算术平均数,把____

a+b 2 ,当 (2)基本不等式定义:如果a,b是正数,那么 ab ≤_____
2 2 ?a+b? a + b ?2 (3)变形:ab≤ ? , a+ b ≥ 2 ? 2 ? ≤ 2 ? ?

a=b 时取“=”. 且仅当_____
ab (其中a>0,b>

0,当且仅当a=b时等号成立).

[点睛]

基本不等式成立的条件:a>0且b>0;其中等号成立

a+b 的条件:当且仅当a=b时取等号,即若a≠b时,则 ab ≠ 2 ,即 a+b 只能有 ab< 2 . 3.设 x,y 为正实数

大 值,且 x=y时,积 xy 有最___ (1)若 x+y=s(和 s 为定值),则当____ s2 4 这个值为___.
x=y 时,和 x+y 有最___ 小 值, (2)若 xy=p(积 p 为定值),则当_____
2 p 且这个值为_____.

[小试身手]
4 1.若x>0,则x+x的最小值为________. 4 解析:∵x>0,∴x+x≥4.

答案:4
2.若x,y∈(0,+∞),且x+4y=1,则xy的最大值是________. 1 解析:∵x,y∈(0,+∞),则1=x+4y≥4 xy,即xy≤16,当
1 1 且仅当x=2,y=8时等号成立. 1 答案:16

3.实数x,y满足x+2y=2,则3x+9y的最小值是________.

解析:利用基本不等式可得 3x+9y=3x+32y≥2 3x· 32y=2 3x+2y . ∵x+2y=2,∴3x+9y≥2 32=6, 1 当且仅当3 =3 ,即x=1,y=2时取等号.
x 2y

答案:6

4.给出下面结论: 1 ①若x∈(0,π),则sin x+sin x≥2; ②若a,b∈(0,+∞),则lg a+lg b≥2 lg a· lg b;
? 4? ③若x∈R,则?x+x?≥4. ? ?

其中正确结论的序号是________.
解析:①因为x∈(0,π),所以sin x∈(0,1],所以①成立;② 只有在lg a>0,lg
?4? +?x?≥2 ? ? ? 4? b>0,即a>1,b>1时才成立;③?x+x?=|x| ? ?

?4? ? ?=4成立. |x|· ?x?

答案:①③

利用基本不等式比较大小
[典例] (1)已知m=a+ 1 (a>2),n=22-b2(b≠0),则 a-2

m,n之间的大小关系是________. (2)若a>b>1,P= 1 lg a· lg b ,Q= 2 (lg a+lg b),R=lg

a+b 2 ,则P,Q,R的大小关系是________.

1 [解析] (1)因为a>2,所以a-2>0,又因为m=a+ =(a a-2 1 -2)+ +2,所以m≥2 a-2 1 ?a-2?· +2=4,由b≠0,得 a-2

b2≠0,所以2-b2<2,n=22-b2<4,综上可知m>n. (2)因为a>b>1,所以lg a>lg b>0, 1 所以Q=2(lg a+lg b)> lg a· lg b=P; 1 Q=2(lg a+lg b)=lg 所以P<Q<R. [答案] (1)m>n (2)P<Q<R a+lg b=lg a+b ab<lg 2 =R.

利用基本不等式比较实数大小的注意事项 (1)利用基本不等式比较大小,常常要注意观察其形式(和与 积),同时要注意结合函数的性质(单调性). (2)利用基本不等式时,一定要注意条件是否满足a>0,b>0.

[活学活用]
已知a,b,c都是非负实数,试比较 a2+b2 + b2+c2 + c2+a2 与 2(a+b+c)的大小.
解:因为a2+b2≥2ab,所以2(a2+b2)≥(a+b)2, 所以 同理 所以 2 a +b ≥ 2 (a+b),
2 2

2 b +c ≥ 2 (b+c),
2 2 2 2 2 2

2 c +a ≥ 2 (c+a),
2 2 2 2

2 a +b + b +c + c +a ≥ 2 [(a+b)+(b+c)+(c+a)],

即 a2+b2 + b2+c2 + c2+a2 ≥ 2(a+b+c),当且仅当a=b=c 时,等号成立.

利用基本不等式证明不等式
[典例] 已知a,b,c均为正实数, 求证: 2b+3c-a a +

a+3c-2b a+2b-3c + ≥3. 2b 3c

[证明]

∵a,b,c均为正实数,

2b a ∴ a +2b≥2(当且仅当a=2b时等号成立), 3c a a +3c≥2(当且仅当a=3c时等号成立), 3c 2b 2b+ 3c≥2(当且仅当2b=3c时等号成立),

?2b a ? ?3c a ? ?3c 2b? 将上述三式相加得 ? a +2b? + ? a +3c? + ?2b+ 3c ? ≥6(当且仅 ? ? ? ? ? ?

当a=2b=3c时等号成立),
?2b ? ?3c ? ? 3c 2b ? a a ∴ ? a +2b-1? + ? a +3c-1? + ?2b+ 3c-1? ≥3(当且仅当a= ? ? ? ? ? ?

2b=3c时等号成立), 2b+3c-a a+3c-2b a+2b-3c 即 + + ≥3(当且仅当a=2b= a 2b 3c 3c时等号成立).

利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 (1)策略:从已证不等式和问题的已知条件出发,借助不等式 的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理,最后转化为所求问 题,其特征是以“已知”看“可知”,逐步推向“未知”. (2)注意事项: ①多次使用基本不等式时,要注意等号能否成立; ②累加法是不等式证明中的一种常用方法,证明不等式时注 意使用; ③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合,形成基本 不等式模型再使用.

[活学活用] 已知a,b,c为正实数, 且a+b+c=1,
?1 ??1 ??1 ? 求证:?a-1??b-1??c-1?≥8. ? ?? ?? ?

证明:因为a,b,c为正实数,且a+b+c=1, 1-a b+c 2 bc 1 1 2 ac 1 2 ab 所以a-1= a = a ≥ a .同理,b-1≥ b ,c-1≥ c . 上述三个不等式两边均为正,
?1 ? ?1 ? ?1 ? 2 相乘得 ?a-1? ?b-1? ?c-1? ≥ ? ?? ?? ?

bc 2 ac 2 ab a · b · c =8,当且仅当a=b=c

1 =3时,取等号.

利用基本不等式求最值

[典例] (1)已知lg a+lg b=2,求a+b的最小值. (2)已知x>0,y>0,且2x+3y=6,求xy的最大值. 1 9 (3)已知x>0,y>0,x+ y=1,求x+y的最小值.
[解] (1)由lg a+lg b=2可得lg ab=2, 即ab=100,且a>0,b>0, 因此由基本不等式可得a+b≥2 ab=2 100 =20, 当且仅当a=b=10时,a+b取到最小值20.

(2)∵x>0,y>0,2x+3y=6,
? 1 1? ?2x+3y?2 ∴xy=6(2x· 3y)≤6· ? 2 ? ? ?

1 ?6?2 3 ? ? = , =6· 2 ?2? 当且仅当2x=3y, 3 3 即x=2,y=1时,xy取到最大值2.

?1 9? 1 9 ? + ? (3)∵x+ y=1,∴x+y=(x+y)· ?x y ?

9x y y 9x =1+ y +x+9=x+ y +10, 又∵x>0,y>0, y 9x ∴x+ y +10≥2 y 9x x· y +10=16,

y 9x 当且仅当x= y ,即y=3x时,等号成立. ? ? ?y=3x, ?x=4, 由 ?1 9 得? ? + y=1, ?y=12, ? x ? 即当x=4,y=12时,x+y取得最小值16.

(1)应用基本不等式需注意三个条件:即一正、二定、三相 等.在具体的题目中,“正数”条件往往易从题设中获得解决, “相等”条件也易验证确定,而要获得“定值”条件却常常被设计 为一个难点,它需要一定的灵活性和变形技巧.因此,“定值”条 件决定着基本不等式应用的可行性,这是解题成败的关键. (2)常用构造定值条件的技巧变换: ①加项变换;②拆项变换;③统一变元;④平方后利用基本不 等式. (3)对于条件最值要注意“1”的代换技巧的运用.

[活学活用]
1 (1)已知0<x<3,求函数y=x(1-3x)的最大值. 5 1 (2)已知x>4,求函数y=4x-2+ 的最小值. 4x-5 1 解:(1)∵0<x<3,

1 ∴1-3x>0. ∴y=x(1-3x)=3· 3x(1-3x)
? 1? 1 ?3x+?1-3x??2 ≤ 3? ? =12, 2 ? ?

1 1 当且仅当x=6时,函数y=x(1-3x)取得最大值12.

5 (2)∵x>4,∴4x-5>0. 1 ∴y=4x-2+ 4x - 5 1 =4x-5+ +3 4x-5 ≥2 1 ?4x-5?· +3=5. 4x-5

1 当且仅当4x-5= , 4x-5 3 3 即x=2时取等号.∴当x=2时,y取最小值为5.

利用基本不等式解应用题
[典例] 某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状),高度恒

定,它的后墙利用旧墙不花钱,正面用铁栅,每米长造价40元,两 侧墙砌砖,每米长造价45元,顶部每平方米造价20元,求: (1)仓库面积S的最大允许值是多少? (2)为使S达到最大,而实际投资又不超过预算,那么正面铁栅 应设计为多长?

[解] (1)设铁栅长为x米,一堵砖墙长为y米,而顶部面积为S =xy,依题意得,40x+2×45y+20xy=3 200, 由基本不等式得 3 200≥2 40x×90y+20xy =120 xy+20xy=120 S+20S. 所以S+6 S-160≤0,即( S-10)( S+16)≤0, 故 S≤10,从而S≤100, 所以S的最大允许值是100平方米, (2)取得最大值的条件是40x=90y且xy=100, 求得x=15,即铁栅的长是15米.

求实际问题中最值的解题策略 (1)先读懂题意,设出变量,理清思路,列出函数关系式. (2)把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题. (3)在定义域内,求函数的最大值或最小值时,一般先考虑 基本不等式,当基本不等式求最值的条件不具备时,再考虑函 数的单调性. (4)正确写出答案.

[活学活用]
某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产 品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关 系为y=-x2+18x-25(x∈N*),则当每台机器运转________年 时,年平均利润最大,最大值是________万元. ? 25? y 解析:每台机器运转x年的年平均利润为x=18-?x+ x ?,而x>0,故 ? ?
y x≤18-2 25=8, 当且仅当x=5时等号成立,此时年平均利润最大,最大值为8万元. 答案:5 8

“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(十九)” (单击进入电子文档)


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