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标题-2017-2018学年高中数学三维设计苏教版必修5:复习课(一) 解三角形_图文

复习课(一) 解三角形
利用正、余弦定理解三角形
对于解三角形的考查,命题多利用正、余弦定理,三角 形内角和定理来求边和角,其中以求边或角的取值范围为 主,以解三角形与三角函数的结合为命题热点,试题多以大 题的形式出现,难度中等.

[考点精要]
解三角形的常见类型及方法
(1)已知三边:先由余弦定理求出两个角,再由A+B+C=π, 求第三个角. (2)已知两边及其中一边的对角:先用正弦定理求出另一边的 对角,再由A+B+C=π,求第三个角,最后利用正弦定理或余弦 定理求第三边. (3)已知两边及夹角:先用余弦定理求出第三边,然后再利用 正弦定理或余弦定理求另两角. (4)已知两角及一边:先利用内角和求出第三个角,再利用正 弦定理求另两边.

[典例]

设锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,

c,且有a=2bsin A. (1)求B的大小; (2)若a=3 3,c=5,求b.
[解] (1)由a=2bsin A, 1 根据正弦定理得sin A=2sin Bsin A,所以sin B=2, π 由于△ABC是锐角三角形,所以B=6. (2)根据余弦定理,得 b2=a2+c2-2accos B=27+25-45=7, 所以b= 7.

[类题通法]
利用正、余弦定理来研究三角形问题时,一般要综合应用 三角形的性质及三角函数关系式,正弦定理可以用来将边的比 和对应角正弦值的比互化,而余弦定理多用来将余弦值转化为 边的关系.

[题组训练]
1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a2+c2- b2)tan B= 3ac,则角B的值为________.
解析:∵(a2+c2-b2)tan B= 3ac, a2+c2-b2 3 ∴ 2ac · tan B= 2 . 3 即cos B· tan B=sin B= 2 . π 2π ∵0<B<π,∴角B的值为3或 3 . π 2π 答案:3或 3

3 3 2.在△ABC中,A=60°,AC=3,BC= 2 ,那么AB的长为 ________.

AC BC 解析:由正弦定理得sin B=sin A, ACsin A ∴sin B= BC =1,B=90°, 27 9 ∴AB =AC -BC =9- 4 =4,
2 2 2

3 即AB=2. 3 答案:2

π 3.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知A= 6 ,a =1,b= 3,则B=________.
3 3 解析:由正弦定理知: π=sin B,解得sin B= 2 , sin 6 π 2π 又0<B<π,b>a,可得B=3或 3 . π 2π 答案:3或 3 1

4.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c. (1)若a,b,c成等差数列,证明:sin A+sin C =2sin(A+C); (2)若a,b,c成等比数列,求cos B的最小值.

解:(1)证明:∵a,b,c成等差数列,∴a+c=2b. 由正弦定理得sin A+sin C=2sin B. ∵sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C), ∴sin A+sin C=2sin(A+C).

(2)∵a,b,c成等比数列,∴b2=ac. 由余弦定理得 a2+c2-b2 a2+c2-ac 2ac-ac 1 cos B= 2ac = ≥ 2ac =2, 2ac 当且仅当a=c时等号成立. 1 ∴cos B的最小值为2.

三角形形状的判定
判断三角形的形状是一种常见的题型,其基本原则是化边为 角或化角为边,实现边角的统一,而达到这一目标的工具就是正 弦定理和余弦定理,题型多为填空题,难度中等.

[考点精要]
三角形中的常用结论 A+ B π C (1)A+B=π-C, 2 =2- 2 . (2)在三角形中大边对大角,反之亦然. (3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边. [典例] 在△ABC中,a,b,c分别表示三个内角A,B,C 的对边,如果(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)· sin(A+B),试判断该 三角形的形状.

[解] ∵(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)· sin(A+B), ∴a2[sin(A-B)-sin(A+B)]=b2[-sin(A+B)-sin(A-B)], ∴2a2cos Asin B=2b2sin Acos B. 法一:(化边为角)由正弦定理得2sin2Acos Asin B=2sin2Bsin Acos B, 即sin 2A· sin Asin B=sin 2B· sin Asin B. ∵0<A<π,0<B<π,∴sin 2A=sin 2B,∴2A=2B或2A=π- π 2B,即A=B或A+B=2. ∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.

法二:(化角为边)2a2cos Asin B=2b2cos Bsin A,
2 2 2 2 2 2 b + c - a a + c - b 由正弦、余弦定理得a2b· 2bc =b2a· 2ac ,

∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2),即(a2-b2)(c2-a2-b2)=0. ∴a=b或c2=a2+b2,∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.

[类题通法]
根据所给条件判断三角形的形状,主要有两条途径: (1)化边为角. (2)化角为边,转化的手段主要有:①通过正弦定理实现边 角转化;②通过余弦定理实现边角转化;③通过三角变换找出 角之间的关系;④通过对三角函数值符号的判断以及正、余弦 函数的有界性来确定三角形的形状.

[题组训练]
1.在△ABC中,内角A,B,C所对的边长分别是a,b,c.若c-acos B=(2a-b)cos A,则△ABC的形状为________.
解析:∵c-acos B=(2a-b)cos A,C=π-(A+B), ∴由正弦定理得sin C-sin Acos B=2sin Acos A-sin Bcos A, ∴sin Acos B+cos Asin B-sin Acos B=2sin Acos A-sin Bcos A, ∴cos A(sin B-sin A)=0,∴cos A=0或sin B=sin A, π ∴A=2或B=A或B=π-A(舍去). 故△ABC为直角三角形或等腰三角形. 答案:等腰或直角三角形

2.在△ABC中,已知3b=2 3asin B,且A,B,C成等差数列,则 △ABC的形状为________________.
解析:∵A,B,C成等差数列,∴A+C=2B,即3B=π,解得 π B=3.∵3b=2 3asin B,∴根据正弦定理得3sin B=2 3sin Asin 3 π 2π B.∵sin B≠0,∴3=2 3sin A,即sin A= 2 ,即A=3或 3 , 2π π π 当A= 3 时,A+B=π不满足条件.∴A= 3 ,C= 3 .故A=B= C,即△ABC的形状为等边三角形. 答案:等边三角形

3.已知方程x2-(bcos A)x+acos B=0的两根之积等于两根之 和,且a,b为△ABC的两边,A,B为两内角,试判定这个三 角形的形状. 解:设方程的两根为x1,x2,
? ?x1+x2=bcos A, 由根与系数的关系,得? ? ?x1x2=acos B.

∴bcos A=acos B. 由正弦定理得:sin Bcos A=sin Acos B, ∴sin Acos B-cos Asin B=0,sin(A-B)=0. ∵A,B为△ABC的内角,∴0<A<π,0<B<π,-π<A-B<π. ∴A-B=0,即A=B. 故△ABC为等腰三角形.

正、余弦定理的实际应用
正、余弦定理在实际中的应用是高考中的热点,主要考查 距离、高度、角度等问题,试题以解答题为主,难度中等.

[考点精要]
1.仰角与俯角是相对水平线而言的,而方位角是相对于 正北方向而言的. 2.利用方位角或方向角和目标与观测点的距离即可唯一 确定一点的位置.

[典例] 某城市有一块不规则的绿地如图 所示,城建部门欲在该地上建造一个底座为三 角形的环境标志,小李、小王设计的底座形状 分别为△ABC、△ABD,经测量AD=BD= 14,BC=10,AC=16,∠C=∠D. (1)求AB的长度; (2)若建造环境标志的费用与用地面积成正比,不考虑其他因 素,小李、小王谁的设计使建造费用最低,请说明理由.

[解]

(1)在△ABC中,由余弦定理得

AB2=AC2+BC2-2AC· BCcos C=162+102-2×16×10cos C, ① 在△ABD中,由余弦定理及∠C=∠D整理得 AB2=AD2+BD2-2AD· BDcos D=142+142-2×142×cos C, 由①②得: 142+142-2×142cos C=162+102-2×16×10cos C, 1 解得cos C=2. 又因为∠C为三角形的内角,所以C=60°, 又∠C=∠D,AD=BD,所以△ABD是等边三角形, 故AB=14,即AB的长度为14. ②

(2)小李的设计符合要求,理由如下: 1 1 S△ABD=2AD· BDsin D,S△ABC=2AC· BCsin C, 因为AD· BD>AC· BC,sin D=sin C,所以S△ABD>S△ABC, 由已知建造费用与用地面积成正比,故选择△ABC建造环境 标志费用较低,即小李的设计符合要求.

[类题通法]
利用正余弦定理解决实际应用的四个步骤 第一步:分析:理解题意,分清已知与未知,画出示意图. 第二步:建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽 量集中在有关的三角形中,建立一个解斜三角形的数学模型. 第三步:求解:利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求 得数学模型的解. 第四步:检验:检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出 实际问题的解.

[题组训练]
1.一艘轮船按照北偏西50°的方向,以15海 里每小时的速度航行,一个灯塔原来在轮 船的北偏东10°方向上,经过40分钟,轮 船与灯塔的距离是5 3 海里,则灯塔和轮 船原来的距离为________海里.
解析:画出示意图如图.△ABC中,AB=10,BC=5 ∠BAC=60°.由余弦定理BC2=AB2+AC2-2AB· AC· cos 60°,得AC2-10AC+25=0,∴AC=5. 答案:5 3 ,

2.如图,经过村庄A有两条夹角为60°的公路 AB,AC,根据规划拟在两条公路之间的区域 内建一工厂P,分别在两条公路边上建两个仓 库M,N(异于村庄A),要求PM=PN=MN= 2(单位:km).如何设计,使得工厂产生的噪声对居民的影响最 小(即工厂与村庄的距离最远)?
MN AM 解:设∠AMN=θ,在△AMN中, = . sin 60° sin?120°-θ? 4 3 因为MN=2,所以AM= 3 sin(120°-θ). 在△APM中,cos∠AMP=cos(60°+θ).

AP2=AM2+MP2-2AM· MP· cos∠AMP 16 2 4 3 = sin (120°-θ)+4-2×2× sin(120°-θ)cos(60°+θ) 3 3 16 2 16 3 = sin (θ+60°)- sin(θ+60°)cos(θ+60°)+4 3 3 8 8 3 = [1-cos(2θ+120°)]- sin(2θ+120°)+4 3 3 8 20 =- [ 3sin(2θ+120°)+cos(2θ+120°)]+ 3 3 20 16 = - sin(2θ+150°),0°<θ<120°. 3 3 AP 取得最大值 2 3. 答:设计∠AMN 为 60°时,工厂产生的噪声对居民的影响最小.

当且仅当 2θ+150°=270°,即 θ=60°时,AP2 取得最大值 12,即

“回扣验收特训”见“回扣验收特训(一)” (单击进入电子文档)


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