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山东省2015届高三第二次高考模拟数学(文)试题及答案


高三文科数学试题
本试卷分第Ⅰ 卷(选择题)和第Ⅱ 卷(非选择题)两部分,共 4 页.考试时间 120 分钟.满分 150 分. 答题前, 考生务必用 0.5 毫米的黑色签字笔将自己的姓名、 座号、 考号填写在答题纸规定的位置. 共 50 分) 注意事项:每小题选出答案后,用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.已知复数 z 满足 (2 ? i)2 ? z ? 1 ,则 z 的虚部为 (A)

第Ⅰ 卷(选择题

3 i 25

(B)

3 25

(C)

4 i 25

(D)

4 25

2.已知集合 A ? {x | x2 ? a}, B ? {?1,0,1} ,则 a ? 1 是 A ? B 的 (A)充分不必要条件(B)必要不充分条(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件 3.设单位向量 e1 , e2 的夹角为 120 , a ? 2e1 ? e2 ,则 | a |? (A) 3 (B) 3 (C) 7 (D) 7 4.已知等差数列 ?an ? 满足 a6 ? a10 ? 20 ,则下列选项错误的是 (A) S15 ? 150 (B) a8 ? 10 (C) a16 ? 20 (D) a4 ? a12 ? 20 5.一几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 (A) 4 ?
1 主视图 左视图

?
3

(B)

8 3

(C) 4 ? ?

(D) 12 ? 2 2?

6.双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的顶点到其渐近线的距离为 2 4
3 3
(B)

.
2 俯视图

(A)

2 3 3

(C)

6 3

(D)

2 6 3

第 5 题图

7.周期为 4 的奇函数 f ( x ) 在 [0, 2] 上的解析式为 f ( x) ? ?

? x2 ,

0 ? x ?1

?log 2 x ? 1,1 ? x ? 2

,则

f (2014)+f (2015) ?
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

? x2 ? y 2 ? 4 ? 8.已知 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
(A) 2 (B) 5 (C) 4 (D) 2 5

9. 在 ?ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c ,若 c2 ? (a ? b)2 ? 6 , ?ABC 的面积为

5? 6 3 6 1 10.设 f ?( x ) 为函数 f ( x ) 的导函数,已知 x 2 f ?( x) ? xf ( x) ? ln x, f (1) ? ,则下列结论正确的是 2
(A) (B) (C) (D) (A) xf ( x) 在 (0, ??) 单调递增 (C) xf ( x) 在 (0, ??) 上有极大值 (B) xf ( x) 在 (1, ??) 单调递减

3 3 ,则 C ? 2

?

2? 3

?

1 2

(D) xf ( x) 在 (0, ??) 上有极小值 共 100 分)

1 2

第Ⅱ卷(非选择题

注意事项: 1. 请用 0.5 毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在答题纸的指定位置.书写的答案如需改动, 要先划掉原来的答案,然后再写上新答案. 2. 不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效.在试题卷上答题无效. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 开始 11.右面的程序框图输出的 S 的值为_____________. 12.在区间 [?2, 4] 上随机取一个点 x ,若 x 满足 x 2 ? m 的概率为 则 m ? ____________. 13.若点 ( a,9) 在函数 y ? ( 3) 的图象上,则 log
x

1 , 4

n ? 1, S ? 0

2

a ? _______.

n?4




1 4 14.已知 x ? 0, y ? 0 且 2 x ? y ? 2 ,则 2 ? 2 的最小值为______. x y

S ? S?

1

输出 S 结束

n

1 3 15.函数 f ( x) ?| x ? 2 x ? | ? x ? 1 的零点个数为___________. 2 2
2

n ? n ?1

三、解答题:本大题共6小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知向量 m ? (2 cos?x,?1), n ? (sin ?x ? cos?x,2) (? ? 0) ,函数

f ( x) ? m ? n ? 3 ,若函数 f ( x) 的图象的两个相邻对称中心的距离为
(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调增区间;

? . 2

(Ⅱ)将函数 f ( x) 的图象先向左平移

? 1 个单位,然后纵坐标不变,横坐标缩短为原来的 倍,得 2 4 ? ? 到函数 g ( x) 的图象,当 x ? [ , ] 时,求函数 g ( x) 的值域. 6 2
类别 数量 A 400 B 600 C

17.(本小题满分 12 分)一汽车厂生产 A,B,C 三类轿车,某月的产量如下表(单位:辆):

a

按分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 50 辆,其中有 A 类轿车 10 辆. (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)用分层抽样的方法在 A,B 类轿车中抽取一个容量为 5 的样本.将该样本看成一个总体,从 中任取 2 辆,求至少有 1 辆 A 类轿车的概率; (Ⅲ)用随机抽样的方法从 A,B 两类轿车中各抽 取 4 辆,进行综合指标评分,经检测它们 的得分如图,比较哪类轿车综合评分比较 稳定. 18.(本小题满分 12 分)已知 { an } 是各项都为正数的数列,其前 n 项和为 Sn ,且 Sn 为 an 与 等差中项. (Ⅰ )求证:数列 {Sn 2 } 为等差数列; (Ⅱ )求数列 {an } 的通项公式; (Ⅲ)设 bn ? A 类轿车得分 B 类轿车得分

6 3 8 5 1 2 9 4 2 3

1 的 an

(?1)n , 求 {bn } 的前 100 项和. an

19.(本小题满分 12 分)如图: BCD 是直径为 2 2 的半圆, O 为圆心, C 是 BD 上一点, 且 BC ? 2CD . DF ? CD ,且 DF ? 2 , BF ? 2 3 , E 为 FD 的中点, Q 为 BE 的中点, R 为

FC 上一点,且 FR ? 3RC . (Ⅰ) 求证: 面 BCE ⊥面 CDF ;
(Ⅱ )求证: QR ∥平面 BCD ; (Ⅲ)求三棱锥 F ? BCE 的体积. B Q O C R

F

E D

20.(本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ?

x ? ax, x ? 1 . ln x

(Ⅰ)若 f ( x ) 在 ?1, ?? ? 上单调递减,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若 a ? 2 ,求函数 f ( x ) 的极小值; (Ⅲ)若方程 (2 x ? m) ln x ? x ? 0 在 (1, e] 上有两个不等实根,求实数 m 的取值范围.

21.(本小题满分 14 分)已知椭圆 C :

x2 y 2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,它的一 2 a b 3

个顶点在抛物线 x2 ? 4 2 y 的准线上. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 是椭圆 C 上两点,已知 m ? ( 且 m?n ? 0. (ⅰ)求 OA ? OB 的取值范围; (ⅱ)判断 ?OAB 的面积是否为定值?若是,求出该定值,不是请说明理由.

x1 y1 x y , ), n ? ( 2 , 2 ) , a b a b

高三文科数学试题参考答案
一、选择题 二、填空题 11.

D A D C A, B B D A D
13. 4 ; 14. 8 ; 15. 2 ;

25 9 ; 12. ; 16 12

三、解答题 16. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f ( x) ? m ? n ? 3 ? 2 cos?x(sin?x ? cos?x) ? 2 ? 3

? sin 2? x ? 2 cos 2 ? x ? 1 ? sin 2? x ? cos 2? x ? 2 sin(2? x ? ) 4
由题意知, T ?

?



----------------------2 分

2? ? ? ,? ? ? 1 , 2?

----------------------3 分 ----------------------4 分

? f ( x) ? 2 sin( 2 x ?
由 2k? ?

?

?
2

? 2x ?

?
4

4

).

? 2k? ?

?
2

,k ? Z ,
----------------------5 分? f ( x) 的单调 ----------------------6 分

解得: k? ?

?
8

? x ? k? ?

增区间为 [k? ?

?
8

, k? ?

(Ⅱ)由题意,若 f ( x) 的图像向左平移

? ? 个单位,得到 y ? 2 sin(2 x ? ) , 4 4 1 ? 再纵坐标不变,横坐标缩短为原来的 倍,得到 g ( x) ? 2 sin( 4 x ? ) ,------8 分 2 4 ? ? ? 11? 9? , ], ----------------------10 分 ? x ? [ , ] ,? 4 x ? ? [ 6 2 4 12 4

3? ], k ? Z . 8

3? ,k ? Z , 8

? 2 , ? ? 1 ? sin(4 x ? ) ? 4 2
? 函数 g ( x) 的值域为 [? 2,1] .
17. (本小题满分 12 分)

----------------------11 分

---------------------12 分

50 ? 400 ? 10 ,所以 a ? 1000 400 ? 600 ? a 400 m ? ,解得 m ? 2 (Ⅱ)根据分层抽样可得, 1000 5
解: (Ⅰ)由题意得,

--------------------3 分 -------------------4 分

∴ 样本中有 A 类 2 辆 B 类 3 辆, 分别记作 A1,A2,B1,B2,B3,则从中任取 2 辆的所有基本事件为(A1, A2) (A1, B1), (A1, B2) , (A1, B3) (A2 ,B1), (A2 ,B2), (A2 ,B3),(B1 ,B2), (B1 ,B3) , (B2 ,B3)共 10 个,其中至少有 1 辆 A 类 轿车的基本事件有 7 个: (A1, A2) ,(A1, B1), (A1, B2) , (A1, B3) (A2 ,B1), (A2 ,B2), (A2 ,B3), ,所以从中任取 2 辆,至少有 1 辆 A 类轿车的概率为

7 . 10
----------------------6 分 ( Ⅲ )

86 ? 83 ? 92 ? 91 352 85 ? 94 ? 92 ? 93 364 ? ? 88 , xB ? ? ? 91 --------8 分 4 4 4 4 4 ? 25 ? 16 ? 9 36 ? 9 ? 1 ? 4 2 2 ? 13.5 , sB ? ? 12.5 ∴ sA ? ----------------------10 分 4 4 ∵12.5 ? 13.5 ,∴ B 类轿车成绩较稳定. ----------------------12 分 xA ?
18.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由题意知 2Sn ? an ?

1 ,即 2Sn an ? an 2 ? 1 ,① an

----------------------1 分 ----------------------2 分

当 n ? 1 时,由①式可得 S1 ? 1 ;

又 n ? 2 时,有 an ? Sn ? Sn?1 ,代入①式得 2Sn (Sn ? Sn?1 ) ? (Sn ? Sn?1 )2 ? 1
2 整理得 Sn 2 ? Sn? 1 ? 1,(n ? 2) .

----------------------3 分 ----------------------4 分 ----------------------5 分 ----------------------6 分 ----------------------7 分 ----------------------8 分

∴ {Sn 2 } 是首项为 1,公差为 1 的等差数列. (Ⅱ) 由(Ⅰ)可得 Sn2 ? 1 ? n ?1 ? n , ∵ { an } 是各项都为正数,∴ Sn ? n , ∴ an ? Sn ? Sn?1 ? n ? n ?1 ( n ? 2 ) , 又 a1 ? S1 ? 1,∴ an ? n ? n ?1 . (Ⅲ) bn ?

(?1)n (?1)n ? ? (?1)n an n ? n ?1

?

n ? n ?1 ,

?

----------------------10 分

T100 ? ?1? ( 2 ?1) ? ( 3 ? 2) ?
∴ {bn } 的前 100 项和 T100 ? 10 . 19. (本小题满分 12 分)

? ( 99 ? 98) ? ( 100 ? 99) ? 10
----------------------12 分

2 2 2 证明:(Ⅰ)∵ DF ? 2 , BF ? 2 3 , BD ? 2 2 ,∴ BF ? BD ? DF ,

F

∴ BD ? DF

----------------------1 分 Q B R D E

又 DF ? CD ,∴ DF ⊥平面 BCD ----------------------2 分 ∴ DF ⊥ BC , 又 BC ⊥ CD ,∴ BC ⊥平面 CFD , ----------------------3 分 ∵ BC ? 面 BCE ∴面 BCE ⊥面 CDF . ----------------------4 分 (Ⅱ)连接 OQ,在面 CFD 内过 R 点做 RM⊥CD, ∵O,Q 为中点,∴OQ∥DF,且 OQ ? ∵ DF ? CD ∴RM∥FD,

1 DE 2

-----------------5 分 ----------------------6 分

RM CR 1 1 ? ? ,∴ RM ? DF , DF CF 4 4 1 ∵E 为 FD 的中点,∴ RM ? DE . 2
又 FR ? 3RC ,∴ ∴ OQ ∥ RM ,且 OQ ? RM ∴ OQRM 为平行四边形,∵ RQ ∥ OM 又 RQ ? 平面 BCD , OM ? 平面 BCD , ∴ QR ∥平面 BCD .

----------------------7 分

----------------------8 分 ---------------------9 分

(Ⅲ)∵ BC ? 2CD ,∴ ?DBC ? 30 ,∴在直角三角形 BCD 中有 CD ? 2 , BC ? 6 , ∴ vF ? BCE ? vF ? BCD ? vE ? BCD ? 20.(本小题满分13分)

1 1 1 1 3 ? ? 6 ? 2 ? 2 ? ? ? 6 ? 2 ?1 ? --------12 分 3 2 3 2 3

ln x ? 1 ? a ,由题意可得 f ?( x) ? 0 在 x ? ?1, ?? ? 上恒成立;---1 分 ln 2 x 1 1 1 1 1 ?( ? )2 ? , ∴a ? 2 ? ----------------------2 分 ln x ln x ln x 2 4
解: (Ⅰ) f ?( x) ? ∵ x ? ?1, ?? ? ,∴ ln x ? ? 0, ??? , ----------------------3 分

1 1 1 1 1 1 ? ? 0 时函数 t ? ( ? ) 2 ? 的最小值为 ? , ln x 2 ln x 2 4 4 1 ∴a ? ? 4


----------------------4 分

x ln x ? 1 ? 2ln 2 x ? 2 x f ?( x) ? (Ⅱ) 当 a ? 2 时, f ( x) ? ------------------5 分 ln x ln 2 x
令 f ?( x) ? 0 得 2ln x ? ln x ? 1 ? 0 ,
2

解得 ln x ?

1 1 或 ln x ? ?1 (舍) ,即 x ? e 2 2

----------------------7 分

当 1 ? x ? e 2 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? e 2 时, f ?( x) ? 0
1 1 1 e2 ? 2e 2 ? 4e 2 ∴ f ( x ) 的极小值为 f (e ) ? 1 2 1 2

1

1

----------------------8 分

(Ⅲ)将方程 (2 x ? m) ln x ? x ? 0 两边同除 ln x 得 (2 x ? m) ? 整理得

x ?0 ln x
----------------------9 分 ----------------------10 分

x ? 2x ? m ln x

即函数 f ( x ) 与函数 y ? m 在 (1, e] 上有两个不同的交点;
1 1

由(Ⅱ)可知, f ( x ) 在 (1, e 2 ) 上单调递减,在 (e 2 , e] 上单调递增

x ? ?? f (e ) ? 4e , f (e) ? 3e ,当 x ? 1 时, ln x
1

1 2

1 2

∴ 4e ? m ? 3e

1 2

实数 m 的取值范围为 (4e 2 ,3e] 21. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)因为抛物线 x2 ? 4 2 y 的准线 y ? ? 2 ,? b ? 由e ?

----------------------13 分

2

--------------------1 分

6 a 2 ? b2 2 ? ? ?a? 6 3 a2 3

----------------------2 分

x2 y 2 ? ? 1. ∴椭圆 C 的方程为 6 2
(Ⅱ)由 m ? n ? 0 得 x1 x2 ? ?3 y1 y2 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 所在直线为 l ,当 l 斜率不存在时,
2 则 A( x1 , y1 ), B( x1, ? y1 ), ? x12 ? 3 y1 ,又

----------------------3 分

----------------------4 分

x12 y12 ? ? 1 ,? y12 ? 1 6 2
----------------------5 分

?OA ? OB ? x1x2 ? y1 y2 ? 2 y12 ? 2
当 l 斜率存在时,设 l 方程 y ? kx ? m ,

联立 ?

? y ? kx ? m ?x ? 3y ? 6
2 2

得 (1 ? 3k 2 ) x2 ? 6kmx ? 3m2 ? 6 ? 0

?? ? 36k 2m2 ?12(3k 2 ? 1)(m2 ? 2) ? 12(6k 2 ? m2 ? 2) ? 0.........(a)
?6km 3m2 ? 6 , x1 x2 ? 2 . 且 x1 ? x2 ? 2 3k ? 1 3k ? 1
----------------------7 分



x1 x2 ? ?3 y1 y2 ? ?3(kx1 ? m)(kx2 ? m) ? (1 ? 3k ) x1 x2 ? 3km( x1 ? x2 ) ? 3m ? 0
2 2

整理得 1 ? 3k 2 ? m2 ....(b) -----------8 分

? OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ?
2 2

2 2m 2 ? 4 2 m 2 ? 4 4 x1 x2 ? ? ? 2? 2 2 2 3 1 ? 3k m m
4 ? 4 ,??2 ? OA ? OB ? 2 m2
----------------------10 分

由 (a ), (b) 得 m ? 1 ? 3k ? 1, ? 0 ? 综上:??2 ? OA ? OB ? 2 .

2 (ⅱ)由(ⅰ)知, l 斜率不存在时, S?OAB ?| x1 y1 |? 3 y1 ? 3 ,----------------11 分

l 斜率存在时,

S?OAB ?
2

1 1 | m| 2 ? 6k 2 ? m 2 | AB | d ? 1 ? k 2 | x1 ? x2 | ? 3|m| 2 2 1 ? 3k 2 1? k 2
2

将 m ? 1 ? 3k 带入整理得 S?OAB ? 3 所以 ?OAB 的面积为定值 3 .

----------------------13 分 ----------------------14 分



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