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北京市西城区2012年高三第二次模拟试卷数学文科


北京市西城区 2012 年高三第二次模拟试卷 数学文科 2012.5 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,时间 120 分钟,满分 150 分。 第Ⅰ卷(选择题,共 40 分) 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项. 1.已知复数 z 满足 (1 ? i) ? z ? 1 ,则 z ? ( (A) ) (C) ?

1 i ? 2 2

(B)

1 i ? 2 2

1 i ? 2 2

(D) ?

1 i ? 2 2

2.给定函数:① y ? x3 ;② y ? x2 ?1 ;③ y ? sin x ;④ y ? log 2 x ,其中奇函数是( (A)① ② (B)③ ④ (C)① ③ (D)② ④



3.执行如图所示的程序框图,若输入如下四个函数: ① y ? 2x ; ③ f ( x) ? x ? x ?1 ; 则输出函数的序号为( (A)① (C)③ ) (B)② (D)④ ② y ? ?2x ; ④ f ( x) ? x ? x ?1 .

4.设 m , n 是不同的直线,? , ? 是不同的平面,且 m, n ? ? . 则“ ? ∥ ? ”是“ m ∥ ? 且 n ∥ ? ”的( ) (B)必要而不充分条件 (D)既不充分又不必要条件

(A)充分而不必要条件 (C)充要条件

5.已知双曲线 x ? ky ? 1 的一个焦点是 ( 5, 0) ,则其渐近线的方程为(
2 2



(A) y ? ?

1 x 4

(B) y ? ?4 x

(C) y ? ?

1 x 2

(D) y ? ?2 x

6.右图是 1 , 2 两组各 7 名同学体重(单位: kg )

1

数据的茎叶图.设 1 , 2 两组数据的平均数依次 为 x1 和 x2 ,标准差依次为 s1 和 s 2 ,那么( (
s?

) 差









1 [( x1 ? x ) 2 ? ( x2 ? x ) 2 ? ? ? ( xn ? x ) 2 ] ,其中 x 为 x1 , x2 , ?, xn 的平均数) n

(A) x1 ? x2 , s1 ? s2 (C) x1 ? x2 , s1 ? s2

(B) x1 ? x2 , s1 ? s2 (D) x1 ? x2 , s1 ? s2

7. 某大楼共有 12 层, 11 人在第 1 层上了电梯, 有 他们分别要去第 2 至第 12 层, 每层 1 人. 因 特殊原因,电梯只允许停 1 次,只可使 1 人如愿到达,其余 10 人都要步行到达所去的楼 层.假设乘客每向下步行 1 层的“不满意度”增量为 1 ,每向上步行 1 层的“不满意度” 增量为 2 , 10 人的“不满意度”之和记为 S .则 S 最小时,电梯所停的楼层是( (A) 7 层 (B) 8 层 (C) 9 层 (D) 10 层 )

8.已知集合 A ? {a1 , a2 ,?, a20} ,其中 ak ? 0 (k ? 1, 2,?, 20) ,集合 B ? {(a, b) | a ? A,

b ? A, a ? b ? A} ,则集合 B 中的元素至多有(
(A) 210 个 (B) 200 个

) (D) 180 个

(C) 190 个

第Ⅱ卷(非选择题
2

共 110 分)

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.在△ ABC 中, BC ? 3 , AC ? 2 , A ?

π ,则 B ? _____. 3

10.设变量 x , y 满足 ?

??1 ? x ? y ? 1, 则 2 x ? y 的最小值是_____. ??1 ? x ? y ? 1,

11. 已知向量 a ? ( x, ?1) , ? (3, y ) , 其中 x 随机选自集合 {?1,1,3} ,y 随机选自集合 {1,3} , b 那么 a ? b 的概率是_____. 12. 已知函数 f ( x) ? x 2 ? bx ? 1 是 R 上的偶函数, 则实数 b ? _____; 不等式 f ( x ? 1) ? x 的 解集为_____. 13.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图 是腰长为 1 的两个全等的等腰直角三角形,该几何体 的体积是_____;若该几何体的所有顶点在同一球面 上,则球的表面积是_____.

14.已知曲线 C 的方程是 ( x ?

| x| 2 | y| 2 ) ? (y ? ) ? 8 ,给出下列三个结论: x y

① 曲线 C 与两坐标轴有公共点; ② 曲线 C 既是中心对称图形,又是轴对称图形; ③ 若点 P, Q 在曲线 C 上,则 | PQ | 的最大值是 6 2 . 其中,所有正确结论的序号是_____.

三、解答题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.

3

15. (本小题满分 13 分) 在等差数列 {an } 中, a2 ? a7 ? ?23 , a3 ? a8 ? ?29 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设数列 {an ? bn } 是首项为 1 ,公比为 c 的等比数列,求 {bn } 的前 n 项和 Sn .

16. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin( x ? ? )? ? 的部分图象如图所示,其中 ? ? 0 , 3 cos( x ? ? ) ?

? ? (? , ) .
(Ⅰ)求 ? 与 ? 的值; (Ⅱ)若 f ( ) ?

π π 2 2

?

4

2 sin ? ? sin 2? 4 5 ,求 的值. 2 sin ? ? sin 2? 5

17. (本小题满分 13 分) 如图,四棱锥 E ? ABCD 中, EA ? EB , AB ∥ CD , AB ? BC , AB ? 2CD . (Ⅰ)求证: AB ? ED ; (Ⅱ) 线段 EA 上是否存在点 F , DF // 平面 BCE ?若存在, 使 求出 说明理由.
E

EF ; 若不存在, EA

B C D

A

18. (本小题满分 13 分)
4

已知函数 f ( x ) ?

2ax ? a 2 ? 1 ,其中 a ? R . x2 ? 1

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在原点处的切线方程; (Ⅱ)求 f (x) 的单调区间.

19. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C :

3 1 x2 y 2 6 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,且经过点 ( , ) . 2 2 2 a b 3

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 P(0, 2) 的直线交椭圆 C 于 A , B 两点,求△ AOB ( O 为原点)面积的最 大值.

20. (本小题满分 14 分) 若正整数 N ? a1 ? a2 ? ?? an (ak ? N* , k ? 1, 2,?, n) ,则称 a1 ? a2 ??? an 为 N 的 一个“分解积” . (Ⅰ)当 N 分别等于 6, 7,8 时,写出 N 的一个分解积,使其值最大; (Ⅱ)当正整数 N ( N ? 2) 的分解积最大时,证明: ak (k ? N* ) 中 2 的个数不超过 2 ; (Ⅲ)对任意给定的正整数 N ( N ? 2) ,求出 ak (k ? 1, 2,?, n) ,使得 N 的分解积最 大.

北京市西城区 2012 年高三二模试卷
5

参考答案 2012.5 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.A; 2.C; 3.D; 4.A; 5.D; 6.B; 7.C; 8.C .

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.

π ; 4

10. ?2 ; 13.

11.

1 ; 6

12. 0 , {x |1 ? x ? 2} ;

1 , 3π ; 3

14.② ③.

注:12、13 题第一问 2 分,第二问 3 分;14 题少选、错选均不给分. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 15. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:设等差数列 {an } 的公差是 d . 依题意 a3 ? a8 ? (a2 ? a7 ) ? 2d ? ?6 ,从而 d ? ?3 . 所以 a2 ? a7 ? 2a1 ? 7d ? ?23 ,解得 a1 ? ?1 . 所以数列 {an } 的通项公式为 an ? ?3n ? 2 . (Ⅱ)解:由数列 {an ? bn } 是首项为 1 ,公比为 c 的等比数列, 得 an ? bn ? cn ?1 ,即 ? 3n ? 2 ? bn ? cn ?1 , 所以 bn ? 3n ? 2 ? cn ?1 . 所以 Sn ? [1 ? 4 ? 7 ? ?? (3n ? 2)] ? (1 ? c ? c2 ? ?? cn?1 ) ??????8 分 ??????2 分 ??????4 分 ??????6 分

?

n(3n ? 1) ? (1 ? c ? c 2 ? ? ? c n ?1 ) . 2

??????10 分

从而当 c ? 1 时,Sn ?

n(3n ? 1) 3n 2 ? n ?n? ; 2 2

??????11 分

n(3n ? 1) 1 ? c n ? 当 c ? 1 时, Sn ? . 2 1? c

??????13 分

16. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解: f ( x) ? 2sin(? x ? ? ?

π ). 3

??????2 分

设 f ( x ) 的最小正周期为 T .

6

T π π π ? ? (? ) ? ,所以 T ? π , ? ? 2 . 2 4 4 2 π 由 f (0) ? 2 ,得 sin(? ? ) ? 1 , 3 π π π 因为 ? ? ( ? , ) ,所以 ? ? . 2 2 6 π (Ⅱ)解: f ( x) ? 2sin(2 x ? ) ? 2 cos 2 x . 2
由图可得 由 f ( ) ? 2 cos

??????4 分

??????6 分 ??????8 分

?

?
2
2

4

?

4 5 ? 2 5 ,得 cos ? , 5 2 5
?1 ? 3 . 5

??????9 分

所以 cos ? ? 2 cos 所以

?
2

??????11 分

2sin ? ? sin 2? 2sin ? (1 ? cos ? ) 1 ? cos ? 1 ? ? ? . 2sin ? ? sin 2? 2sin ? (1 ? cos ? ) 1 ? cos ? 4

??????13 分

17. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)证明:取 AB 中点 O ,连结 EO , DO . 因为 EA ? EB ,所以 EO ? AB . ?????2 分 因为 AB ∥ CD , AB ? 2CD , 所以 BO ∥ CD , BO ? CD . 又因为 AB ? BC ,所以四边形 OBCD 为矩形, 所以 AB ? DO . 因为 EO ? DO ? O ,所以 AB ? 平面 EOD . 所以
C B D G F E

O

A

??????4 分 ??????5 分 ??????6 分

AB ? ED .

(Ⅱ)解:点 F 满足

EF 1 ? ,即 F 为 EA 中点时,有 DF // 平面 BCE .?????7 分 EA 2
??????8 分

证明如下:取 EB 中点 G ,连接 CG , FG . 因为 F 为 EA 中点,所以 FG ∥ AB , FG ? 因为 AB ∥ CD , CD ?

1 AB . 2

1 AB ,所以 FG ∥ CD , FG ? CD . 2
??????11 分 ??????12 分 ??????13 分

所以四边形 CDFG 是平行四边形,所以 DF ∥ CG . 因为 DF ? 平面 BCE , CG ? 平面 BCE , 所以 DF // 平面 BCE . 18. (本小题满分 13 分)

7

(Ⅰ)解:当 a ? 1 时, f ( x ) ?

( x ? 1)( x ? 1) 2x , f ?( x) ? ?2 . x ?1 ( x 2 ? 1)2
2

??????2 分

由 f ?(0) ? 2 , 得曲线 y ? f ( x) 在原点处的切线方程是 2 x ? y ? 0 .????4 分 (Ⅱ)解: f ?( x) ? ?2

( x ? a)(ax ?1) . x2 ? 1 2x ① 当 a ? 0 时, f ?( x ) ? 2 . x ?1

??????6 分

所以 f ( x ) 在 (0, ??) 单调递增,在 (??,0) 单调递减.

??????7 分

1 ( x ? a)( x ? ) a . 当 a ? 0 , f ?( x) ? ?2a x2 ? 1
② 当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? ?a , x2 ?

1 , f ( x ) 与 f ?( x ) 的情况如下: a
x2
0

x
f ?( x)

( ??, x1 )
?

x1
0

( x1 , x2 )

( x2 , ? ?)
?

?


f ( x)



f ( x1 )

f ( x2 )



故 f (x) 的单调减区间是 ( ??, ?a ) , ( , ?? ) ;单调增区间是 ( ?a, ) .???10 分 ③ 当 a ? 0 时, f ( x ) 与 f ?( x ) 的情况如下:

1 a

1 a

x
f ?( x)

( ??, x2 )

x2
0

( x2 , x1 )
?

x1
0

( x1 , ? ?)

?


?


f ( x)

f ( x2 )



f ( x1 )

所以 f ( x ) 的单调增区间是 ( ??, ) ;单调减区间是 ( ?

1 a

1 , ?a ) , ( ?a, ??) . a
??????13 分

综上, a ? 0 时, f ( x ) 在 ( ??, ?a ) , ( , ?? ) 单调递减;在 ( ?a, ) 单调递增.

1 a

1 a

1 a ? 0 时, f ( x ) 在 (0, ??) 单调递增,在 (??,0) 单调递减; a ? 0 时, f ( x ) 在 ( ??, ) , a 1 ( ?a, ??) 单调递增;在 ( , ?a ) 单调递减. a
19. (本小题满分 14 分)

8

(Ⅰ)解: 由 e ?
2

a 2 ? b2 b2 2 b 1 ? 1? 2 ? , 得 ? . 2 a a 3 a 3
3 1 2 2 9 1 ? 2 ? 1. 2 4a 4b




??????2 分

由椭圆 C 经过点 ( , ) ,得

??????3 分

联立① ②,解得 b ? 1 , a ? 3 . ????4 分

所以椭圆 C 的方程是

x2 ? y 2 ? 1 . ????5 分 3

(Ⅱ) 易知直线 AB 的斜率存在, 解: 设其方程为 y ? kx ? 2 . 将直线 AB 的方程与椭圆 C 的方程联立,消去 y 得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 12kx ? 9 ? 0 . ??????7 分 令 ? ? 144k 2 ? 36(1 ? 3k 2 ) ? 0 ,得 k ? 1 .
2

设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ? 所以 S ?AOB ? S ?POB ? S ?POA ?

12k 9 , x1 x2 ? . ?????9 分 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2
??????10 分

1 ? 2 ? x1 ? x2 ? x1 ? x2 . 2

因为 ( x1 ? x2 )2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? (? 设 k ? 1 ? t (t ? 0) ,
2

12k 2 36 36(k 2 ? 1) , ) ? ? 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 (1 ? 3k 2 )2

则 ( x1 ? x2 ) ?
2

36t 36 36 3 ? ? ? . ?????13 分 2 16 (3t ? 4) 9t ? ? 24 2 9t ? 16 ? 24 4 t t

当且仅当 9t ?

16 4 3 ,即 t ? 时等号成立,此时△ AOB 面积取得最大值 . t 3 2
??????14 分

20. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)解: 6 ? 3 ? 3 ,分解积的最大值为 3 ? 3 ? 9 ;

??????1 分

7 ? 3 ? 2 ? 2 ? 3 ? 4 ,分解积的最大值为 3 ? 2 ? 2 ? 3 ? 4 ? 12 ; ??????2 分 8 ? 3 ? 3 ? 2 ,分解积的最大值为 3 ? 3 ? 2 ? 18 .
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)可知, ak (k ? 1, 2,?, n) 中可以有 2 个 2 . 当 ak (k ? 1, 2,?, n) 有 3 个或 3 个以上的 2 时, ??????3 分 ??????4 分

9

因为 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ,且 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 , 所以,此时分解积不是最大的. 因此,ak (k ? N* ) 中至多有 2 个 2 . (Ⅲ)解:① 当 ak (k ? 1, 2,?, n) 中有 1 时, 因为 1 ? ai ? (ai ?1) ,且 1? ai ? ai ? 1 , 所以,此时分解积不是最大,可以将 1 加到其他加数中,使得分解积变大. ??????8 分 ② 由(Ⅱ)可知, ak (k ? 1, 2,?, n) 中至多有 2 个 2 . ③ 当 ak (k ? 1, 2,?, n) 中有 4 时, 若将 4 分解为 1 ? 3 ,由 ① 可知分解积不会最大; 若将 4 分解为 2 ? 2 ,则分解积相同; 若有两个 4 , 因为 4 ? 4 ? 3 ? 3 ? 2 , 4 ? ? ? ? 且 4 332 使得分解积更大. 因此, ak (k ? 1, 2,?, n) 中至多有 1 个 4 ,而且可以写成 2 ? 2 . ??????10 分 ④ 当 ak (k ? 1, 2,?, n) 中有大于 4 的数时,不妨设 ai ? 4 , 因为 ai ? 2(ai ? 2) , 所以将 ai 分解为 2 ? (ai ? 2) 会使得分解积更大. ??????11 分 , 所以将 4 ? 4 改写为 3 ? 3 ? 2 , ??????7 分

综上所述, ak (k ? 1, 2,?, n) 中只能出现 2 或 3 或 4 ,且 2 不能超过 2 个, 4 不能超 过 1 个. 于是,当 N ? 3m (m ?N* ) 时, N ? 3 ? 3 ? ? ? 3 使得分解积最大; ????12 分 ?????
m个

当 N ? 3m ? 1(m ?N ) 时,N ? 3 ? 3 ? ?? 3 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? ?? 3 ? 4 使得分解积 ????? ?????
*

( m?1) 个

( m?1) 个

最大;

??????13 分

当 N ? 3m ? 2 (m ? N) 时, N ? 3 ? 3 ? ? ? 3 ? 2 使得分解积最大. ?????
m个

??????14 分

10


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