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高一数学(用二分法求方程的近似解)_图文

问题提出
1. 函数 有零点吗?你 怎样求其零点?
f (x) ? x 2 ? 4x ? 3

2.对于高次多项式方程,在十六世纪已找到 了三次和四次方程的求根公式,但对于高于 4次的方程,类似的努力却一直没有成功. 到了十九世纪,根据阿贝尔(Abel)和伽罗 瓦(Galois)的研究,人们认识到高于4次 的代数方程不存在求根公式,即不存在用四 则运算及根号表示的一般的公式解.同时, 即使对于3次和4次的代数方程,其公式解的 表示也相当复杂,一般来讲并不适宜作具体 计算.因此对于高次多项式函数及其它的一 些函数,有必要寻求其零点的近似解的方法.

知识探究(一):二分法的概念

思考1:有12个大小相同的小球,其中有 11个小球质量相等,另有一个小球稍重, 用天平称几次就可以找出这个稍重的球?

思考2:已知函数 在区间(2,3) 内有零点,你有 什么方法求出这

f ( x ) ? lnx ? 2x ? 6

思考3:怎样计算函数 f ( x ) ? lnx ? 2x ? 6在区 间(2,3)内精确到0.01的零点近似值?
区间(a,b) 中点值m f(m)的近 精确度|a-b| 似值

(2,3) (2.5,3) (2.5,2.75)

2.5 2.75 2.625

-0.084 0.512 0.215

1 0.5 0.25

(2.5,2.625)
(2.5,2.562 5) (2.531 25,2.562 5) (2.531 25,2.546 875)

2.562 5
2.531 25 2.546 875 2.539 062 5

0.066
-0.009 0.029 0.01

0.125
0.0625 0.03125 0.015625

(2.531 25,2.539 062 5)

2.535 156 25

0.001

0.007813

思考4:上述求函数零点近似值的方法叫 做二分法,那么二分法的基本思想是什 么?

对于在区间[a,b]上连续不断且 f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断 地把函数f(x)的零点所在的区间一分为 二,使区间的两个端点逐步逼近零点, 进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

知识探究(二):

用二分法求函数零点近似值的步骤

思考1:求函数f(x)的零点近似值第一步 应做什么?
y ?3 2x

确定区间[a,b],使 f(a)f(b)<0 思考2:为了缩小零点所在区间的范围, 接下来应做什么?
求区间的中点c,并计算f(c)的值

思考3:若f(c)=0说明什么? 若f(a)·f(c)<0或f(c)·f(b)<0 ,则 分别说明什么?
若f(c)=0 ,则c就是函数的零点;

若f(a)·f(c)<0 ,则零点x0∈(a,c);
若f(c)·f(b)<0 ,则零点x0∈(c,b).

思考4:若给定精确度ε,如何选取近似 值? 当|m—n|<ε 时,区间[m,n]内的任意 一个值都是函数零点的近似值.
思考5:对下列图象中的函数,能否用 二分法求函数零点的近似值?为什么?
y y o x o x

理论迁移

例1 用二分法求方程 2 ? 3x ? 7 的近似 解(精确到0.1).
x

例2 求方程 log 3 x ? x ? 3的实根个数及 其大致所在区间.

用二分法求函数零点近似值的基本步骤: 1.确定区间[a,b],使f(a)·f(b)<0 ,给 定精度ε ; 2. 求区间(a,b)的中点c; 3. 计算f(c): (1)若f(c)=0,则c就是函数的零点; (2)若f(a)·f(c)<0 ,则令b=c,此时零点 x0∈(a,c); (3)若f(c)·f(b)<0 ,则令a=c,此时零点

x0∈(c,b).

4. 判断是否达到精确度ε :若 a ? b ? ? ,则 得到零点近似值a(或b);否则重复步骤 2~4 .

作业 P92习题3.1A组: 3, 4,5 题


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