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选修2-1 第三章 空间向量与立体几何(A)


选修 2-1 第三章

空间向量与立体几何(A)
)

一、选择题 1、如图所示,在直二面角 D—AB—E 中,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,△AEB 是等腰直角三角形,
其中∠AEB=90° ,则点 D 到平面 ACE 的距离为( 3 2 3 A. B. 3 3 C. 3 D.2 3

2、直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,若=a,=b,=c,则等于(
A.a+b-c C.-a+b+c B.a-b+c D.-a+b-c

)

3、已知 a=(2,4,5),b=(3,x,y),若 a∥b,则(
A.x=6,y=15 C.x=3,y=15 15 B.x=3,y= 2 15 D.x=6,y= 2

)

4、 已知空间三点 A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).若|a|= 3,且 a 分别与,垂直,则向量 a 为(
A.(1,1,1) B.(-1,-1,-1) C.(1,1,1)或(-1,-1,-1) D.(1,-1,1)或(-1,1,-1)

)

5、已知 A(-1,0,1),B(0,0,1),C(2,2,2),D(0,0,3),则 sin〈, 〉等于(
2 A.- 3 2 B. 3 C. 5 3 D.- 5 3

)

6、在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,若 AB= 2BB1,则 AB1 与 C1B 所成角的大小为( A.60° B.90° C.105° D.75°

)

7、若平面 α 的法向量为 n,直线 l 的方向向量为 a,直线 l 与平面 α 的夹角为 θ,则下列关系式成立
的是( ) |n· a| B.cos θ= |n||a| |n· a| D.sin θ= |n||a| n· a A.cos θ= |n||a| n· a C.sin θ= |n||a|

8、若三点 A(1,-2,1),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC 的形状是(
A.不等边的锐角三角形 C.钝角三角形 B.直角三角形 D.等边三角形

)

9、若两个不同平面 α,β 的法向量分别为 u=(1,2,-1),v=(-3,-6,3),则( A.α∥β B.α⊥β C.α,β 相交但不垂直 D.以上均不正确

)

) ①|a|-|b|=|a+b|是 a,b 共线的充要条件;②若 a∥b,则存在唯一的实数 λ,使 a=λb;③若 a· b=0, b· c=0,则 a=c;④若{a,b,c}为空间的一个基底,则{a+b,b+c,c+a}构成空间的另一个基底; ⑤|(a· b)· c|=|a|· |b|· |c|. A.2 B.3 C.4 D.5

10、以下命题中,不正确的个数为(

11、如图所示,在四面体 P—ABC 中,PC⊥平面 ABC,AB=BC=CA=PC,那么二面角 B—AP—C 的余弦值为( ) 2 3 A. B. 2 3 7 5 C. D. 7 7

12、若两点 A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),当||取最小值时,x 的值等于(
A.19 8 B.- 7 8 C. 7 19 D. 14

)

二、填空题

13、若 a=(2,-3,5),b=(-3,1,-4),则|a-2b|=________.

14、如图所示,已知正四面体 ABCD 中,AE=4AB,CF=4CD,则直线 DE 和 BF 所成角的余弦值为
________.

1

1

15、平面 α 的法向量为(1,0,-1),平面 β 的法向量为(0,-1,1),则平面 α 与平面 β 所成二面角的大小为
________.

? π?? 16、如图所示,已知二面角 α—l—β 的平面角为 θ ? ?θ∈?0,2??,AB⊥BC,BC⊥CD,AB 在平面 β
内,BC 在 l 上,CD 在平面 α 内,若 AB=BC=CD=1,则 AD 的长为______.

三、解答题 17、如图,在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别是棱 BC,CC1 上的点,CF=AB=2CE,AB∶AD∶
AA1=1∶2∶4. (1)求异面直线 EF 与 A1D 所成角的余弦值; (2)证明 AF⊥平面 A1ED; (3)求二面角 A1—ED—F 的正弦值.

18、在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AB1⊥BC1,CA1⊥BC1.求证:AB1=CA1.

19、已知四边形 ABCD 的顶点分别是 A(3,-1,2),B(1,2,-1),C(-1,1,-3),D(3,-5,3).
求证:四边形 ABCD 是一个梯形.

??? ? 20、如图所示,四边形 ABCD,ABEF 都是平行四边形且不共面,M、N 分别是 AC、BF 的中点,判断 CE ???? ? 与 MN 是否共线?

21、如图所示,已知平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 的底面 ABCD 是菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD.
求证:C1C⊥BD.

22、如图,在空间四边形 OABC 中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,∠OAC=45° ,∠OAB=60° , 求 OA 与 BC 所成角的余弦值.

以下是答案 一、选择题 1、B [

建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(0,-1,0),E(1,0,0),D(0,-1,2),C(0,1,2). =(0,0,2),=(1,1,0),=(0,2,2),设平面 ACE 的法向量 n=(x,y,z),



即?

? ?x+y=0; ?2y+2z=0. ?

令 y=1,∴n=(-1,1,-1). 故点 D 到平面 ACE 的距离

d=

=?

?-2? 2 3 .] ?= ? 3? 3

2、

D

[如图,=-=--=--=b-a-c.]

3、D [∵a∥b,∴存在实数 λ,
3=2λ ? ? 使?x=4λ ? ?y=5λ

? ?x=6 ,∴? 15 .] ? ?y= 2

4、C [设 a=(x,y,z),∵=(-2,-1,3),
=(1,-3,2), 又|a|= 3,a⊥,a⊥, x +y +z =3, ? ? ∴?-2x-y+3z=0, ? ?x-3y+2z=0.
2 2 2

x=1, ? ? ∴?y=1, ? ?z=1

x=-1, ? ? 或?y=-1, ? ?z=-1.

∴a=(1,1,1)或 a=(-1,-1,-1).]

5、C [∵=(1,0,0),=(-2,-2,1), ??? ? ??? ? AB ? CD 2 ∴cos〈, 〉= ??? ? ??? ? =-3, AB ? CD
∴sin〈, 〉= 5 .] 3

6、B [

建立如图所示的空间直角坐标系,设 BB1=1,则 A(0,0,1),B1? B? 6 2 ? . ? 2 , 2 ,1?

6 2 ?,C (0, 2,0), ? 2 , 2 ,0? 1

∴=?

6 2 ? ? 6,- 2,1?, , ,-1 ,= 2 2 ?2 ? ?2 ? 6 2 ∴· = - -1=0, 4 4 即 AB1 与 C1B 所成角的大小为 90° .]

7、D [若直线与平面所成的角为 θ,直线的方向向量与该平面的法向量所成的角为 β,则 θ=β-90°
|n· a| n· a 或 θ=90° -β,cos β= ,∴sin θ=|cos β|= .] |n||a| |n||a|

8、A [=(3,4,2),=(5,1,3),=(2,-3,1),· >0,得∠A 为锐角;· >0,得∠C 为锐角;· >0,得∠B 为
锐角,所以△ABC 是锐角三角形且||= 29,||= 35,||= 14.]

9、A [∵v=-3u,∴v∥u.故 α∥β.] 10、C [只有命题④正确.] 11、C [如图所示,

作 BD⊥AP 于 D,作 CE⊥AP 于 E,设 AB=1,则易得 CE= 可以求得 BD= ED= 14 , 4

2 2 ,EP= ,PA=PB= 2, 2 2

2 .∵=++, 4

∴2=2+2+2+2· +2· +2· . 1 7 ∴· =- ,∴cos〈, 〉=- , 4 7 即二面角 B—AP—C 的余弦值为 7 .] 7

12、C [=(1-x,2x-3,-3x+3),
则||= = ?1-x?2+?2x-3?2+?-3x+3?2 8 5 x- ?2+ . 14? ? 7? 7 14x2-32x+19=

8 故当 x= 时,||取最小值.] 7

二、填空题 13、 258
解析 ∵a-2b=(8,-5,13),

∴|a-2b|=

82+?-5?2+132= 258.

14、13
解析 因四面体 ABCD 是正四面体,顶点 A 在底面 BCD 内的射影为△BCD 的垂心,所以有 BC⊥DA, AB⊥CD.设正四面体的棱长为 4, 则· =(+)· (+) =0+· +· +0 =4×1×cos 120° +1×4×cos 120° =-4, BF=DE= 42+12-2×4×1×cos 60° = 13, 所以异面直线 DE 与 BF 的夹角 θ 的余弦值为:

4

cos θ=



4 . 13

15、3或 3

π 2π

解析 设 n1=(1,0,-1),n2=(0,-1,1), 1×0+0×?-1?+?-1?×1 1 则 cos〈n1,n2〉= =- , 2 2· 2 2π π 2π ∴〈n1,n2〉= .因平面 α 与平面 β 所成的角与〈n1,n2〉相等或互补,所以 α 与 β 所成的角为 或 . 3 3 3

16、 3-2cos θ
解析 因为=++, 所以 2=2+2+2+2· +2· +2· =1+1+1+2cos(π-θ)=3-2cos θ. 所以||= 3-2cos θ, 3-2cos θ. 即 AD 的长为

三、解答题 17、(1)解

如图所示,建立空间直角坐标系,点 A 为坐标原点.设 AB=1,依题意得 D(0,2,0),F(1,2,1), 3 ? A1(0,0,4),E? ?1,2,0?. 1 ? 易得=? ?0,2,1?,

=(0,2,-4),

于是 cos〈, 〉=

3 =- . 5

3 所以异面直线 EF 与 A1D 所成角的余弦值为 . 5 (2)证明 易知=(1,2,1), 3 ? 1 ? ? =? ?-1,-2,4?,=?-1,2,0?, 于是· =0,· =0. 因此,AF⊥EA1,AF⊥ED. 又 EA1∩ED=E,所以 AF⊥平面 A1ED. (3)设平面 EFD 的法向量 u=(x,y,z),



?2y+z=0, 即? 1 ?-x+2y=0.

1

不妨令 x=1,可得 u=(1,2,-1), 由(2)可知,为平面 A1ED 的一个法向量,

于是 cos〈u, 〉= 从而 sin〈u, 〉= 5 . 3

2 = , 3

所以二面角 A1—ED—F 的正弦值为

5 . 3

18、证明 以 A 为原点,AC 为 x 轴,AA1 为 z 轴建立空间直角坐标系.
设 B(a,b,0),C(c,0,0),A1(0,0,d), 则 B1(a,b,d),C1(c,0,d),=(a,b,d), =(c-a,-b,d),=(-c,0,d), 由已知· =ca-a2-b2+d2=0, · =-c(c-a)+d2=0,可得 c2=a2+b2. 再由两点间距离公式可得: |AB1|2=a2+b2+d2,|CA1|2=c2+d2=a2+b2+d2, ∴AB1=CA1.

19、证明 因为=(1,2,-1)-(3,-1,2)=(-2,3,-3),=(3,-5,3)-(-1,1,-3)=(4,-6,6),

-2 3 -3 因为 = = , 4 -6 6 所以和共线,即 AB∥CD. 又因为=(3,-5,3)-(3,-1,2)=(0,-4,1), =(-1,1,-3)-(1,2,-1)=(-2,-1,-2), 0 -4 1 因为 ≠ ≠ ,所以与不平行,所以四边形 ABCD 为梯形. -2 -1 -2

20、解 ∵M、N 分别是 AC、BF 的中点,四边形 ABCD、ABEF 都是平行四边形, ? 1 1 ??? ∴=++= ++ FB . 2 2
又∵=+++ ? 1 1 ??? =- +-- FB , 2 2 ? 1 1 ??? ∴ ++ FB 2 2 ? 1 1 ??? =- +-- FB , 2 2 ∴=+2+ FB =2(++)=2. ∴∥,即与共线.

??? ?

21、证明 设=a,=b,=c,
依题意,|a|=|b|, 又设, ,中两两所成夹角为 θ, 于是=-=a-b, · =c· (a-b)=c· a-c· b =|c||a|cos θ-|c||b|cos θ=0, 所以 C1C⊥BD.

22、解 因为=-,
所以· =· -· =||||cos〈, 〉-||||cos〈, 〉 =8×4×cos 135° -8×6×cos 120° =-16 2+24.

所以 cos〈, 〉= = 24-16 2 3-2 2 = . 5 8×5

3-2 2 即 OA 与 BC 所成角的余弦值为 . 5


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