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初中数学,巧添辅助线 解证几何题

巧添辅助线 解证几何题

[引出问题] 在几何证明或计算问题中,经常需要添加必要的辅助线,它的目的可以归纳为以下三点:

一是通过添加辅助线,使图形的性质由隐蔽得以显现,从而利用有关性质去解题;二是通过添加辅助线,

使分散的条件得以集中,从而利用它们的相互关系解题;三是把新问题转化为已经解决过的旧问题加以解

决。值得注意的是辅助线的添加目的与已知条件和所求结论有关。下面我们分别举例加以说明。

[例题解析]

一、倍角问题

例 1:如图 1,在△ABC 中,AB=AC,BD⊥AC 于 D。
求证:∠DBC= 1 ∠BAC. 2
分析:∠DBC、∠BAC 所在的两个三角形有公共角∠C,可利用 三角形内角和来沟通∠DBC、∠BAC 和∠C 的关系。

A D

证法一:∵在△ABC 中,AB=AC,

B

C

∴∠ABC=∠C= 1 (180°-∠BAC)=90°- 1 ∠BAC。

2

2

∵BD⊥AC 于 D ∴∠BDC=90°

∴∠DBC=90°-∠C=90°-(90°- 1 ∠BAC)= 1 ∠BAC

2

2

即∠DBC= 1 ∠BAC 2

分析二:∠DBC、∠BAC 分别在直角三角形和等腰三角形中,由所证的结论“∠DBC= ?∠BAC”中

含有角的倍、半关系,因此,可以做∠A 的平分线,利用等腰三角形三线合一的性质,把?∠A 放在直

角三角形中求解;也可以把∠DBC 沿 BD 翻折构造 2∠DBC 求解。 证法二:如图 2,作 AE⊥BC 于 E,则∠EAC+∠C=90°
∵AB=AC ∴∠EAG= 1 ∠BAC 2
∵BD⊥AC 于 D

A D

∴∠DBC+∠C=90° ∴∠EAC=∠DBC(同角的余角相等)
即∠DBC= 1 ∠BAC。 2
证法三:如图 3,在 AD 上取一点 E,使 DE=CD

B

C

E

连接 BE ∵BD⊥AC ∴BD 是线段 CE 的垂直平分线

A E

∴BC=BE ∴∠BEC=∠C

D

∴∠EBC=2∠DBC=180°-2∠C

∵AB=AC ∴∠ABC=∠C ∴∠BAC=180°-2∠C

B

C

∴∠EBC=∠BAC

∴∠DBC= 1 ∠BAC 2
说明:例 1 也可以取 BC 中点为 E,连接 DE,利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半和等腰

三角形的性质求解。同学们不妨试一试。

1

例 2、如图 4,在△ABC 中,∠A=2∠B

求证:BC2=AC2+AC?AB

分析:由 BC2=AC2+AC?AB= AC(AC+AB),启发我们构建两个相似

的三角形,且含有边 BC、AC、AC+AB.又由已知∠A=2∠B 知,

构建以 AB 为腰的等腰三角形。

证明:延长 CA 到 D,使 AD=AB,则∠D=∠DBA

∵∠BAC 是△ABD 的一个外角

A

∴∠BAC=∠DBA+∠D=2∠D

∵∠BAC=2∠ABC ∴∠D=∠ABC 又∵∠C=∠C
∴△ABC∽△BDC
∴BC2=AC?CD

∴ AC ? BC BC CD
AD=AB

B

C

A

B

A

∴BC2= AC(AC+AB)=AC2+AC?AB

二、 中点问题

例 3.已知:如图,△ABC 中,AB=AC,在 AB 上取一点 D,在

AC 的延长线上取一点 E,连接 DE 交 BC 于点 F,若 F 是 DE 的中点。

求证:BD=CE

分析:由于 BD、CE 的形成与 D、E 两点有关,

但它们所在的三角形之间因为不是同类三角形,所以

关系不明显,由于条件 F 是 DE 的中点,如何利用这个

中点条件,把不同类三角形转化为同类三角形式问题的关键。

D

由已知 AB=AC,联系到当过 D 点或 E 点作平行线,就可以形成新

的图形关系——构成等腰三角形,也就是相当于先把 BD 或 CE

B

移动一下位置,从而使问题得解。

证明:证法一:过点 D 作 DG∥AC,交 BC 于点 G(如上图)

∴∠DGB=∠ACB, ∠DGF=∠FCE

∵AB=AC

∴∠B=∠ACB

∴∠B=∠DGB

∴BD=DG

∵F 是 DE 的中点

∴DF=EF

在△DFG 和△DEFC 中,

?? DFG= ?EFC

? ?

?DGF=

?FCE

?? DF=EF

∴△DFG≌EFC ∴DG=CE ∴BD=CE

A GF

C E

2

A

证法二:如图,在 AC 上取一点 H,使 CH=CE,连接 DH

∵F 是 DE 的中点

∴CF 是△EDH 的中位线 ∴∠ADH=∠B, ∠AHD=∠BCA

∴DH∥BC

D

H

∵AB=AC ∴∠ADH=∠AHD ∴AB-AD=AC-AH ∴BD=CE

∴∠B=∠BCA ∴AD=AH
∴BD=HC

B

C

F

E

说明:本题信息特征是“线段中点”。也可以过 E 作 EM∥BC,交 AB 延长线于点 G,仿照证法二求解。

例 4.如图,已知 AB∥CD,AE 平分∠BAD,且 E 是 BC 的中点 求证:AD=AB+CD 证法一:延长 AE 交 DC 延长线于 F ∵AB∥CD ∴∠BAE=∠F, ∠B=∠ECF ∵E 是 BC 的中点 ∴BE=CE 在△ABE 和△CEF 中

? ? BAE= ?F

? ?

?B= ?

ECF

?? BE=CE

∴△ABE≌△CEF

∴AB=CF ∵AE 平分∠ABD

∴∠BAE=∠DAE ∴∠DAE=∠F

∴AD=DF ∵DF=DC+CF

CF=AB

∴AD=AB+DC 证法二:取 AD 中点 F,连接 EF

∵AB∥CD,E 是 BC 的中点 ∴EF 是梯形 ABCD 的中位线

∴EF∥AB , EF= 1 (AB+CD) 2
∴∠BAE=∠AEF
∵AE 平分∠BAD

∴∠BAE=∠FAE

∴∠AEF=∠FAE ∴AF=EF

∵AF=DF

∴EF=AF=FD= 1 AD 2

∴ 1 (AB+CD)= 1 AD

2

2

∴AD=AB+CD

3

A

B

E
F C

A

B

F E

D C

三.角平分线问题 例 5.如图(1),OP 是∠MON 的平分线,请你利用图形画一对以 OP 所在直线为对称轴的全等三角形。 请你参考这个全等三角形的方法,解答下列问题。 (1) 如图(2),在△ABC 中,∠ACB 是直角,∠B=60°,AD、CE 分别是∠BAC、∠BCA 的平分线,
AD、CE 相交于点 F,请你判断并写出 EF 与 FD 之间的数量关系。 (2) 如图(3),在△ABC 中,如果∠ACB 不是直角,而(1)中的其他条件不变,请问,你在(1)
中所得的结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由。
M E
O O

B

O

A

P

E

A

O

O

BF D AB C

F

O

N

(1)

O

AB

A

CA

B

(2)

A

B A

E

D

F

C

E

B

D

AA

C

B

( 3A)

D C B A
C B A

分析:本题属于学习性题型。这类题型的特点是描述一种方法,要求学生按照指定的方法解题。指定 方法是角平分问题的“翻折法”得全等形。
解:(1)EF=FD (2)答:(1)结论 EF=FD 仍然成立 理由:如图(3),在 AC 上截取 AG=AE,连接 FG 在△AEF 和△AGF 中,

?AE=AG

? ?

?EAF= ?

FAG

?? AF=AF

∴△AEF≌△AGF

∴EF=GF, ∠EFA=∠GFA 由∠B=60°,AD、CE 分别是∠BAC∠BCA 的平分线

4

可得∠FAG+∠FCA=60° ∴∠EFA=∠GFA=∠DFC=60° ∴∠GFC=60° 在△CFG 和△CFD 中

? ?GFC= ?DFC

? ?

CF=CF

??? DCE= ?ACE

∴△CFG≌△CFD

∴FG=FD 又因为 EF=GF

∴EF=FD 说明:学习性问题是新课程下的新型题,意在考查学生现场学习能力和自学能力。

抛开本题要求从角平分线的角度想,本题也可以利用角平分线的性质“角平分线上的点到角的两边 的距离相等”达到求解的目的。

解法二:(2)答(1)中的结论 EF=FD 仍然成立。

理由:作 FG⊥AB 于 G,FH⊥AC 于 H,FM⊥BC 于 M

∵∠EAD=∠DAC ∴FG=FH

∵∠ACE=∠BCE ∴FH=FG

∵∠B=60° ∴∠DAC+∠ACE=60°

∴∠EFD=∠AFC=180°- 60°=120°

在四边形 BEFD 中

∠BEF+∠BDF=180°

∵∠BDF+∠FDC=180°

∴∠FDC =∠BEF

在△EFG 和△DFM 中

? ?FDC = ?BEF ??? EGF= ?DMF=900 ?? FG=FM
∴EFG≌△DFM
∴EF=DF

B A

EG

MD

DD F C C

CC E B B

BB D A A

A

AA

C H

C

B

D

B

A

( 3C)

A

B

A

四、线段的和差问题

例 6 如图,在△ABC 中,AB=AC,点 P 是边 BC 上一点,PD⊥AB 于 D,PE⊥AC 于 E,CM⊥AB 于 M,试探究线

段 PD、PE、CM 的数量关系,并说明理由。

分析:判断三条线断的关系,一般是指两较短线段的和与较长线段的大小关系,通过测量猜想

PD+PE=CM.

分析:在 CM 上截取 MQ=PD,得□PQMD,再证明 CQ=PE

A

答:PD+PE=CM

证法一:在 CM 上截取 MQ=PD,连接 PQ.

∵CM⊥AB 于 M, PD⊥AB 于 D ∴∠CMB=∠PDB=90° ∴CM∥DP ∴四边形 PQMD 为平行四边形

M

A

Q

E

A

A

∴PQ∥AB

D

A

5

B

P

C

A

A

A

∴∠CQP=∠CMB=90°∠QPC=∠B

∵AB=AC

∴∠B=∠ECP

∴∠QPC=∠ECP

∵PE⊥AC 于 E

∴∠PEC=90°

在△PQC 和△PEC 中

A

? ?PQC= ?PEC

???QPC= ?ECP

?? PC=PC

M

∴△PQC≌△PEC ∴QC=PE

A

∵MQ=PD ∴MQ+QC=PD+PE

∴PD+PE=CM

D

分析 2:延长 DF 到 N 使 DN=CM,连接 CN,得平行四边形 DNCM, A

再证明 PN=PE

B

P

证法 2:延长 DF 到 N,使 DN=CM,连接 CN

A

A

同证法一得平行四边形 DNCM,及△PNC≌△PEC

∴PN=PE

∴PD+PE=CM

E A
C A
N Q A

分析 3:本题中含有 AB=AC 及三条垂线段 PD、DE、CM,

且S

PAB

?S

PAC

?S

,所以可以用面积法求解。
ABC

证法三:连接 AP,∵PD⊥AB 于 D,PE⊥AC 于 E,CM⊥AB 于 M

∠PQC=∠PEC ∠QPC=∠ECP PC=PC

∴S

ABP

?

1 2

AB ? PD

S

ACP

?

1 2

AC ? PE

S

ABC

?

1 2

AB ? CM

∵AB=AC 且S PAB ? S PAC ? S ABC

1 ∴2

AB

?

PD

?

1 2

AB

?

PE

?

1 2

AB

?

CM

AB ? 0

? PD ? PE ? CM
说明:当题目中含有两条以上垂线段时,可以考虑面积法求解。

A

M A

D

A

B

P

A

A

E A
C A

6

五、垂线段问题 例 7 在平行四边形 ABCD 中,P 是对角线 BD 上一点,且PE ? AB, PF ? BC,垂足分别是 E、F

求证: AB ? PF BC PE

D

C

C

B

B

A

AP

E

F

A

CE

BE

BC

AC

AB

B

A

A

分析:将比例式 AB ? PF 转化为等积式 AB ? PE ? BC ? PF ,联想到 1 AB ? PE ? 1 BC ? PF ,

BC PE

2

2

即△PAB 与△PBC 的面积相等,从而用面积法达到证明的目的。 证明:连接 AC 与 BD 交于点 O,连接 PA、PC
在平行四边形 ABCD 中,AO=CO

? S AOB ? S BOC

S
同理,

AOP

?S

COP

? S AOB ? S AOP ? S BOC ? S COP

S PAB ? S PBC

∵PE ? AB, PF ? BC,

?S

PAB

?

1 2

AB ? PE, S

PBC

?

1 BC ? PF 2

? 1 AB ? PE ? 1 BC ? PF

2

2

? AB ? PE ? BC ? PF

? AB ? PF BC PE

B 例 8 求证:三角形三条边上的中线相交于一点。
分析:这是一个文字叙述的命题。要证明文字命题,需要根据 题意画出图形,再根据题意、结合图形写出已知、求证。
已知:△ABC 中,AF、BD、CE 是其中线。 求证:AF、BD、CG 相交于一点。 分析:要证三线交于一点,只要证明第三条线经过另两条线的 交点即可。 证明:设 BD、CE 相交于点 G,连接 AG,并延长交 BC 于点 F,.

A

E

D

F

C

7

AD ? DC ? S ABD ? S CBD , S AGD ? S CGD
? S AGB ? S CGB 同理,S CGB ? S AGC
? S AGB ? S AGC
作 BM⊥AF,于 M,CN⊥AF,于 N

则S

AGB

?

1 2

AG ? BM , S

AGC

?

1 2

AG ? CN

? 1 AG ? BM ? 1 AG ? CN

2

2

? BM ? CN

在△BMF,和△CNF,中

??BF?M ? ?CF?N ???BMF? ? ?CNF? ??BM ? CN
∴△BMF≌△CNF

∴ BF ' ? CF '
∴AF,是 BC 边上的中线 又∵AF 时 BC 边上的中线 ∴AF 与 AF,重合 即 AF 经过点 D ∴AF、BD、CE 三线相交于点 G 因此三角形三边上的中线相交于一点。

六、梯形问题

例 9.以线段 a=16,b=13 为梯形的两底,以 c=10 为一腰,则另一腰长 d 的取值范围是_

分析:如图,梯形 ABCD 中,上底 b=13,下底 a=16,腰 AD= c=10,过 B 作 BE∥AD,得到平行四边

形 ABED,从而得 AD=BE=10,AB=DE=13 所以 EC=DC-DE=16-13=3. 所以另一腰 d 的取值范围是

A

B

A

10-3<d<10+3

答案:7<d<13

D

E

C

B

B

B

例 10.如图,已知梯形 ABCD 中,AB∥DC,高 AE=12,BD=A15,AC=20,求梯形 ABACD 的面积。 A

分析:已知条件中给出两条对角线的长,但对角线位置交错,条件一时用不上。另外,求梯形面积

只要求出上、下底的和即可,不一定求出上、下底的长,所以考虑平移腰。

解:解法一:如图,过 A 作 AF∥BD,交 CD 延长线于 F

8

AB // FC

A

?四形ABDF是平行四形

? FD ? AB, AF ? BD ? 15

? FC ? AB ? DC

AE ? FC ??AEF ? ?AEC ? 90。 F

E

在直角三角形 AEF 中,AE=12,AF=15

B

? EF ? AF 2 ? AE2 ? 152 ? 122 ?A9

在直角三角形 AEC 中,AE=12,AF=15

DE BB AA

? EC ? AC2 ? AE2 ? 202 ? 122 ? 16

? AB ? DC ? FC ? EF ? EC ? 9 ? 16 ? 25

? S梯形ABCD

?

1 ( AB 2

?

DC) ?

AE

?

1 2

? 25 ?12

?

150

B A
C B A

解法二:如图,过 B 作 BF⊥DC 于 F ∴∠BFC=90°∵AE⊥DC 于 E
??AED= ?AEC=90。 ? ?AEC=?BFC=90。 ? AE // BF
AB // DC ? ABFE是平行四形 ? BF ? AC ? 12, AB ? EF

A
DE BB AA

在直角三角形 ABC 中, AE ? 12, AC ? 20

? EC ? AC2 ? AE2 ? 16

B A
FC EB BA A

在直角三角形 BDF 中,
BF ? 12, BD ? 15

? DF ? BD2 ? BF 2 ? 9

? AB ? DC ? DF ? CE ? 9 ? 16 ? 25

? S梯形ABCD

?

1 2

( AB

?

DC )

?

AE

?

1 2

?

25 ? 12

?

150

9

例 11.如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠B+∠C=90°,M、N 分别是 AD、BC 的中点,

试说明:
MN

?

1

(BC

?

AD)

2

分析 1:∠B+∠C=90°,考虑延长两腰,使它们相交于

一点,

A

构成直角三角形。

解法 1:延长 BA、CD 交于点 G,连接 GM、GN

G D
M

?B ? ?C ? 90。??BGC ? 90。

B

C

N

? AM ? MD ?GM ? AM

??GAM ? ?AGM 又 ? BN ? CN ?GN ? BN

??B ? ?BGN

AD BC ??GAM ? ?B ??AGM ? ?BGN

∵B、A、G 共线 ∴G、M、N 共线

GM ? 1 AD,GN ? 1 BC

2

2

? MN ? GN ? GM ? 1 (BC ? AD) 2

分析 2:考虑 M、N 分别为 AD、BC 中点,可以过 M 分别作 AB、DC 的平行线,梯形 ABCD 内部构成直

角三角形,把梯形转化为平行四边形和三角形。

解法 2:作 ME∥AB 交 BC 于 E,作 MF∥DC 交 BC 于 F

∵AD∥BC ∴四边形 ABEM、DCFM 都是平行四边形

∴BE=AM,FC=DM

A

D

M

AM ? MD? BE ? FC

BN ? CN ? EN ? FN

由ME AB, MF DC ??MEF ? ?B,?MFE ? ?C B

?B ? ?C ? 90。??MEF ? ?MFE ? 90。

E

N

C F

∴∠EMF=90°,又∵EN=FN

?MN ?1 EF ?1 (BC? AD) 22

10

[模式归纳]
通过上面各例的分析、解证,发现添加适当的辅助线能使解题思路畅通,解答过程简捷。但辅助线 的添加灵活多变,好像比较难以把握。其实添什么样的辅助线?怎么添辅助线?与已知条件的特征和 所求问题的形成关系密切。下面分类归纳几种常用的辅助线的添加方法。 一、倍角问题
研究∠α =2∠β 或∠β = 1 ∠α 问题通称为倍角问题。倍角问题分两种情形: 2
1. ∠α 与∠β 在两个三角形中,常作∠α 的平分线,得∠1= 1 ∠α ,然后证明∠1=∠β ;或把∠β 2
翻折,得∠2=2∠β ,然后证明∠2=∠α (如图一) 2. ∠α 与∠β 在同一个三角形中,这样的三角形常称为倍角三角形。倍角三角形问题常用构造等腰
三角形的方法添加辅助线(如图二)

α

1

β 2

α

α

图一

α β
图二

二 中点问题 已知条件中含有线段的中点信息称为中点问题。这类问题常用三种方法添加辅助线
(1) 延长中线至倍(或者倍长中线),如图一。若图形中没有明显的三角形的中线,也可以构造 中线后,再倍长中线,如图二。
(2) 构造中位线,如图三 (3) 构造直角三角形斜边上的中线,如图四。

图一

图二

图三

图四

11

三、角平分线问题 已知条件中含有角平分线信息称为角平分线问题。常用的辅助线有两种: 1. 以角平分线所在直线为对称轴,构造全等三角形,如图一、二所示。 2. 由角平分线上的点向角的两边做垂线,构造全等三角形,如图二所示。

图一

图二

图三

四、线段的和差问题 已知条件或所求问题中含有 a+b=c 或 a=c-b,称为线段的和差问题,常用的辅助线有两种: 1. 短延长:若 AB=a,则延长 AB 到 M,使 BM=b,然后证明 AM=c; 2. 长截短:若 AB=c,则在线段 AB 上截取 AM=a,然后证明 MB=b。
五、垂线段问题 已知条件或所求问题中含有两条或者两条以上的垂线段时,而所研究的问题关系又不明显时,可 以借助于可求图形的面积转化。常用的面积关系有: 1. 同(等)底的两个三角形的面积与其高的关系; 2. 同(等)高的两个三角形的面积与其底的关系。

六、梯形问题 梯形可以看作是一个组合图形,组成它的基本图形是三角形、平行四边形、矩形等。因此,可以
通过添加适当的辅助线,把梯形问题转化为三角形、平行四边形、矩形等问题求解,其基本思想为:

梯形问题

转化 分割、拼接

三角形或者平行四边形问题

在转化、分割、拼接时常用的辅助线: 1. 平移一腰。即从梯形一个顶点作另一个腰的平行线,把梯形分成一个平行四边形和一个三
角形(如图一)。研究有关腰的问题时常用平移一腰。 2. 过顶点作高。即从同一底的两端作另一底所在直线的垂线,把梯形转化成一个矩形和两个
直角三角形(如图二)。研究有关底或高的问题时常过顶点作高。 3. 平移一条对角线。即从梯形的一个顶点作一条对角线的平行线,把梯形转化成平行四边形
和三角形(如图三)。研究有关对角线问题时常用平移对角线。这种添加辅助线的方法, 可以将梯形两条对角线及两底的和集中在一个三角形内,使梯形的问题转化为三角形的问 题。此三角形的面积等于梯形的面积。 4. 延长两腰交于一点。把梯形问题转化为两个相似的三角形问题(图四); 5. 过底的中点作两腰的平行线。当已知中有底的中点时,常过中点做两腰的平行线,把梯形 转化成两个平行四边形和一个三角形(图五); 6. 过一腰中点作直线与两底相交。当已知中有一腰的中点时,常连接梯形一顶点和此中点, 并延长交另一底于一点,将梯形问题转化为一对全等三角形和一个含有梯形两底之和的三
12

角形。此三角形的面积等于梯形的面积(图六); 7. 作梯形中位线。当已知中有一腰的中点时,常取另一腰的中点,作梯形的中位线,(图七),
利用梯形中位线性质解题。

图一

图二

图三

图四

图五

图六

图七

[拓展延伸] 1. 已知:如图,△ABC 中,D 是 BC 的中点,F 是 CA 延长线上一点, 连接 FD 交 AB 于 E,若 AE=AF 求证:BE=CF 证法一:延长 ED 到 G 使 DG=DE,连接 CG. 在△BDE 和△CDG 中,

?BD ? CD

???BDE ? ?CDG

B

??DE ? DG

? BDE ? CDG

??BED ? ?G, BE ? CG

AE ? AF ??F ? ?FEA

?FEA ? ?BED,?BED ? ?G

??F ? ?G

?CG ? CF

? BE ? CF

F A
E
C D
G

13

证法二:延长 FD 到 G,使 DG=DF,连接 BG。 △DCF 和△BDG 中
DC ? BD,?FDC ? ?BDG, FD ? DG
? FDC ? BDG
??F ? ?G,CF ? BG
AE ? AF ??F ? ?FEA 又 ?FEA ? ?BED
??BED ? ?G
? BE ? BG
? BE ? CF
2、如图,△ABC 中,BC=2AB,D 是 BC 中点,E 是 BD 中点 求证:AD 平分∠EAC。 证明一:延长 AE 到 F,使 EF=AE 在三角形 ADE 和 BEF 中
?DE ? BE ???AED ? ?BEF ?? AE ? EF ? AED ? BEF
??ADE ? ?EBF,?EAD ? ?F, AD ? BF
??ADE ? ?BAD
BC ? 2AB, BD ? CD
? AB ? BD ? DC ?ADC是?ADB的外角
??ADC ? ?ABD ? ?BAD
??ADC ? ?ABF
在三角形 ADC 和 ABF 中

F
A E

B

C

D

G A

B

C

ED

F

14

?DC ? AB ???ADC ? ?ABF ?? AD ? BF ? ADC ? ABF
??DAC ? ?F 又 ?F ? ?EAD
??EAD ? ?DAC ? AD平分?EAC

证明 2:取 AC 中点 F,连接 DF ∵D 是 BC 的中点∴DF 是△ABC 的中位线
? DF AB, DF ? 1 AB 2
??ADF ? ?BAD BC ? 2AB, BE ? DE
? AB ? BD ? DC且DE ? 1 AB 2
??BAD ? ?ADB, DE ? DF ??ADF ? ?ADB

A

F

B

C

E

D

在三角形 ADE 和 ADF 中
?DE ? DF ???ADF ? ?ADB ?? AD ? AD ? ADE ? ADF
??EAD ? ?CAD ? AD平分?EAF

3.已知:如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90°, ∠C=45°,BE⊥CD 于 E,AD=1,CD ? 2 2 ,求 BE 的值。 解:过 D 作 DF∥AB,交 BC 于点 F

15

AD BC ?四形ABFD是 ? BF ? AD ? 1
DF AB ??DFC ? ?ABC ? 90? 在直角 DFC中,C=45?, CD=2 2 ?cosC ? CF
CD ?CF ? CD ? cosC ? 2 ? BC ? BF ? FC ? 3 在直角 BEC中,?BEC ? 90? ?sin C ? BE
BC ? BE ? BC ? sin C ? 3 2
2

A

D

E

B

C

F

说明 2:延长两腰交于一点,也可求解。同学们不妨一试。

16


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