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初中数学,巧添辅助线 解证几何题

巧添辅助线

解证几何题

[引出问题] 在几何证明或计算问题中,经常需要添加必要的辅助线,它的目的可以归纳为以下三点: 一是通过添加辅助线,使图形的性质由隐蔽得以显现,从而利用有关性质去解题;二是通过添加辅助线, 使分散的条件得以集中,从而利用它们的相互关系解题;三是把新问题转化为已经解决过的旧问题加以解 决。值得注意的是辅助线的添加目的与已知条件和所求结论有关。下面我们分别举例加以说明。 [例题解析] 一、倍角问题 例 1:如图 1,在△ABC 中,AB=AC,BD⊥AC 于 D。 A 1 求证:∠DBC= ∠BAC.
2

分析:∠DBC、∠BAC 所在的两个三角形有公共角∠C,可利用 三角形内角和来沟通∠DBC、∠BAC 和∠C 的关系。 证法一:∵在△ABC 中,AB=AC, ∴∠ABC=∠C=
1 2

D B C

(180 -∠BAC)=90 °

°

°

1 2

∠BAC。

∵BD⊥AC 于 D ∴∠BDC=90
° °

∴∠DBC=90 -∠C=90 -(90 即∠DBC=
1 2

°

1 2

∠BAC)=

1 2

∠BAC

∠BAC

分析二:∠DBC、∠BAC 分别在直角三角形和等腰三角形中,由所证的结论“∠DBC= ?∠BAC”中 含有角的倍、半关系,因此,可以做∠A 的平分线,利用等腰三角形三线合一的性质,把?∠A 放在直 角三角形中求解;也可以把∠DBC 沿 BD 翻折构造 2∠DBC 求解。 ° 证法二:如图 2,作 AE⊥BC 于 E,则∠EAC+∠C=90 A ∵AB=AC ∴∠EAG=
1 2

∠BAC D B E C

∵BD⊥AC 于 D ° ∴∠DBC+∠C=90 ∴∠EAC=∠DBC(同角的余角相等) 即∠DBC=
1 2

∠BAC。

证法三:如图 3,在 AD 上取一点 E,使 DE=CD 连接 BE ∵BD⊥AC ∴BD 是线段 CE 的垂直平分线 ∴BC=BE ∴∠BEC=∠C ° ∴∠EBC=2∠DBC=180 -2∠C ∵AB=AC ∴∠ABC=∠C ° ∴∠BAC=180 -2∠C ∴∠EBC=∠BAC ∴∠DBC=
1 2

A E D B C

∠BAC

说明:例 1 也可以取 BC 中点为 E,连接 DE,利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半和等腰 三角形的性质求解。同学们不妨试一试。
1

例 2、如图 4,在△ABC 中,∠A=2∠B 2 2 求证:BC =AC +AC?AB 2 2 分析:由 BC =AC +AC?AB= AC(AC+AB) ,启发我们构建两个相似 的三角形,且含有边 BC、AC、AC+AB.又由已知∠A=2∠B 知, 构建以 AB 为腰的等腰三角形。 证明:延长 CA 到 D,使 AD=AB,则∠D=∠DBA ∵∠BAC 是△ABD 的一个外角 ∴∠BAC=∠DBA+∠D=2∠D ∵∠BAC=2∠ABC B ∴∠D=∠ABC A 又∵∠C=∠C ∴△ABC∽△BDC ∴
2

A

C B A

AC BC

?

BC CD

∴BC =AC?CD AD=AB 2 2 ∴BC = AC(AC+AB)=AC +AC?AB

二、 中点问题 例 3.已知:如图,△ABC 中,AB=AC,在 AB 上取一点 D,在 AC 的延长线上取一点 E,连接 DE 交 BC 于点 F,若 F 是 DE 的中点。 求证:BD=CE 分析:由于 BD、CE 的形成与 D、E 两点有关, 但它们所在的三角形之间因为不是同类三角形,所以 关系不明显,由于条件 F 是 DE 的中点,如何利用这个 中点条件,把不同类三角形转化为同类三角形式问题的关键。 由已知 AB=AC,联系到当过 D 点或 E 点作平行线,就可以形成新 的图形关系——构成等腰三角形,也就是相当于先把 BD 或 CE 移动一下位置,从而使问题得解。 证明:证法一:过点 D 作 DG∥AC,交 BC 于点 G(如上图) ∴∠DGB=∠ACB, ∠DGF=∠FCE ∵AB=AC ∴∠B=∠ACB ∴∠B=∠DGB ∴BD=DG ∵F 是 DE 的中点 ∴DF=EF 在△DFG 和△DEFC 中,
?? D FG = ? EFC ? ? ? D G F= ? FC E ?D F=EF ?

A

D B G F C E

∴△DFG≌EFC ∴DG=CE ∴BD=CE

2

A 证法二:如图,在 AC 上取一点 H,使 CH=CE,连接 DH ∵F 是 DE 的中点 ∴CF 是△EDH 的中位线 ∴DH∥BC D H ∴∠ADH=∠B, ∠AHD=∠BCA ∵AB=AC ∴∠B=∠BCA B C ∴∠ADH=∠AHD ∴AD=AH F ∴AB-AD=AC-AH ∴BD=HC E ∴BD=CE 说明:本题信息特征是“线段中点” 。也可以过 E 作 EM∥BC,交 AB 延长线于点 G,仿照证法二求解。 例 4.如图,已知 AB∥CD,AE 平分∠BAD,且 E 是 BC 的中点 求证:AD=AB+CD 证法一:延长 AE 交 DC 延长线于 F ∵AB∥CD ∴∠BAE=∠F, ∠B=∠ECF ∵E 是 BC 的中点 ∴BE=CE 在△ABE 和△CEF 中
? ? BAE= ?F ? ? ? B=? ECF ?BE=CE ?

A

B

E

∴△ABE≌△CEF ∴AB=CF ∵AE 平分∠ABD ∴∠BAE=∠DAE ∴∠DAE=∠F ∴AD=DF ∵DF=DC+CF CF=AB ∴AD=AB+DC 证法二:取 AD 中点 F,连接 EF ∵AB∥CD,E 是 BC 的中点 ∴EF 是梯形 ABCD 的中位线 ∴EF∥AB , EF=
1 2

F C

A

B

F (AB+CD)

E

∴∠BAE=∠AEF ∵AE 平分∠BAD ∴∠BAE=∠FAE ∴∠AEF=∠FAE ∴AF=EF ∵AF=DF ∴EF=AF=FD= ∴
1 2 1 2

D C

AD
1 2

(AB+CD)=

AD

∴AD=AB+CD
3

三.角平分线问题 例 5.如图(1) ,OP 是∠MON 的平分线,请你利用图形画一对以 OP 所在直线为对称轴的全等三角形。 请你参考这个全等三角形的方法,解答下列问题。 (1) 如图(2) ,在△ABC 中,∠ACB 是直角,∠B=60°,AD、CE 分别是∠BAC、∠BCA 的平分线, AD、CE 相交于点 F,请你判断并写出 EF 与 FD 之间的数量关系。 (2) 如图(3) ,在△ABC 中,如果∠ACB 不是直角,而(1)中的其他条件不变,请问,你在(1) 中所得的结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由。 M O

E O

O A O P O

E B A A (2)

B A F B A D C B C A B A

F O (1)

N O

B A

A

E D C B A

F E D C B (3) A

D C B A C B A

分析:本题属于学习性题型。这类题型的特点是描述一种方法,要求学生按照指定的方法解题。指定 方法是角平分问题的“翻折法”得全等形。 解: (1)EF=FD (2)答: (1)结论 EF=FD 仍然成立 理由:如图(3) ,在 AC 上截取 AG=AE,连接 FG 在△AEF 和△AGF 中,
?AE=AG ? ? ? EAF=? FAG ?AF=AF ?

∴△AEF≌△AGF ∴EF=GF, ∠EFA=∠GFA 由∠B=60°,AD、CE 分别是∠BAC∠BCA 的平分线
4

可得∠FAG+∠FCA=60° ∴∠EFA=∠GFA=∠DFC=60° ∴∠GFC=60° 在△CFG 和△CFD 中
? ? G FC = ? D FC ? ? C F=C F ?? DCE= ? ACE ?

∴△CFG≌△CFD ∴FG=FD 又因为 EF=GF ∴EF=FD 说明:学习性问题是新课程下的新型题,意在考查学生现场学习能力和自学能力。 抛开本题要求从角平分线的角度想,本题也可以利用角平分线的性质“角平分线上的点到角的两边 的距离相等”达到求解的目的。 解法二: (2)答(1)中的结论 EF=FD 仍然成立。 理由:作 FG⊥AB 于 G,FH⊥AC 于 H,FM⊥BC 于 M ∵∠EAD=∠DAC ∴FG=FH ∵∠ACE=∠BCE ∴FH=FG ∵∠B=60° ∴∠DAC+∠ACE=60° ∴∠EFD=∠AFC=180°- 60°=120° 在四边形 BEFD 中 ∠BEF+∠BDF=180° ∵∠BDF+∠FDC=180° ∴∠FDC =∠BEF 在△EFG 和△DFM 中
? ? FD C = ? BEF ? 0 ?? EG F= ? D M F=90 ?FG =FM ?

B A

A

E D C B A

G D C B A

F E D C H B D A C (3) B A

M C B A

D C B A C B A

∴EFG≌△DFM ∴EF=DF 四、线段的和差问题 例 6 如图,在△ABC 中,AB=AC,点 P 是边 BC 上一点,PD⊥AB 于 D,PE⊥AC 于 E,CM⊥AB 于 M,试探究线 段 PD、PE、CM 的数量关系,并说明理由。 分析:判断三条线断的关系,一般是指两较短线段的和与较长线段的大小关系,通过测量猜想 PD+PE=CM. 分析:在 CM 上截取 MQ=PD,得□PQMD,再证明 CQ=PE A 答:PD+PE=CM 证法一:在 CM 上截取 MQ=PD,连接 PQ. ∵CM⊥AB 于 M, PD⊥AB 于 D M ∴∠CMB=∠PDB=90° Q A E ∴CM∥DP A A ∴四边形 PQMD 为平行四边形 D ∴PQ∥AB A 5 C B P A A A

∴∠CQP=∠CMB=90°∠QPC=∠B ∵AB=AC ∴∠B=∠ECP ∴∠QPC=∠ECP ∵PE⊥AC 于 E ∴∠PEC=90° 在△PQC 和△PEC 中
? ?PQC= ?PEC ? ?? QPC= ? ECP ?PC=PC ?

A

∴△PQC≌△PEC ∴QC=PE ∵MQ=PD ∴MQ+QC=PD+PE ∴PD+PE=CM 分析 2:延长 DF 到 N 使 DN=CM,连接 CN,得平行四边形 DNCM, 再证明 PN=PE 证法 2:延长 DF 到 N,使 DN=CM,连接 CN 同证法一得平行四边形 DNCM,及△PNC≌△PEC ∴PN=PE ∴PD+PE=CM 分析 3:本题中含有 AB=AC 及三条垂线段 PD、DE、CM, 且S
? PAB

M A D A B A

E A

P A N Q A

C A

? S ? P A C ? S ? A B C ,所以可以用面积法求解。

A

证法三:连接 AP,∵PD⊥AB 于 D,PE⊥AC 于 E,CM⊥AB 于 M ∠PQC=∠PEC ∠QPC=∠ECP PC=PC ∴

S ? ABP ? S ? ACP ? S ? ABC ?

1 2 1 2 1 2

AB ? PD AC ? PE AB ? CM
D A B A

M A

E A

P A

C A

∵AB=AC 且 S ? S ? PAC ? S ? ABC ? PAB

1
∴2

AB ? PD ?

1 2

AB ? PE ?

1 2

AB ? CM

? AB ? 0 ? PD ? PE ? CM
说明:当题目中含有两条以上垂线段时,可以考虑面积法求解。

6

五、垂线段问题 例 7 在平行四边形 ABCD 中,P 是对角线 BD 上一点,且 P E ? A B , P F ? B C , 垂足分别是 E、F 求证: A B

?

PF PE

BC

F A B E A C B A A 分析:将比例式 A B , P F 转化为等积式 A B ? P E ? B C ? P F ,联想到 1 1 ? AB ? PE ? BC ? PF 2 2 BC PE 即△PAB 与△PBC 的面积相等,从而用面积法达到证明的目的。 证明:连接 AC 与 BD 交于点 O,连接 PA、PC 在平行四边形 ABCD 中,AO=CO

D C B A P E CE BC AB

C B A

? S ? AOB ? S ? BOC
同理,

S ? AOP ? S ? COP S ? PAB ? S ? PBC

? S ? AOB ? S ? AOP ? S ? BOC ? S ? COP

∵P E ? A B , P F ? B C ,
? S ? PAB ? ? 1 2 1 2 A B ? P E , S ? PBC ? 1 2 BC ? PF 1 2 BC ? PF

AB ? PE ?

? AB ? PE ? BC ? PF ? AB BC ? PF PE

A E B D F C

例 8 求证:三角形三条边上的中线相交于一点。 分析:这是一个文字叙述的命题。要证明文字命题,需要根据 题意画出图形,再根据题意、结合图形写出已知、求证。 已知:△ABC 中,AF、BD、CE 是其中线。 求证:AF、BD、CG 相交于一点。 分析:要证三线交于一点,只要证明第三条线经过另两条线的 交点即可。 , 证明:设 BD、CE 相交于点 G,连接 AG,并延长交 BC 于点 F .

7

? A D ? D C ? S ? ABD ? S ? CBD , S ? AGD ? S ? CGD ? S ? AGB ? S ? CGB 同 理 , S ? CGB ? S ? AGC ? S ? AGB ? S ? AGC
作 BM⊥AF 于 M,CN⊥AF 于 N 则S ? AG B ?
? 1 2 ? BM ? CN 1 2 A G ? B M , S ? AGC ? 1 2
, , , ,

1 2

AG ? CN

AG ? BM ?

AG ? CN

在△BMF 和△CNF 中

? ? B F ?M ? ? C F ?N ? ?? BM F ? ? ? CNF ? ? BM ? CN ?
∴△BMF≌△CNF ∴ BF ? CF
' '

∴AF 是 BC 边上的中线 又∵AF 时 BC 边上的中线 , ∴AF 与 AF 重合 即 AF 经过点 D ∴AF、BD、CE 三线相交于点 G 因此三角形三边上的中线相交于一点。 六、梯形问题 例 9.以线段 a=16,b=13 为梯形的两底,以 c=10 为一腰,则另一腰长 d 的取值范围是_ ? 分析:如图,梯形 ABCD 中,上底 b=13,下底 a=16,腰 AD= c=10,过 B 作 BE∥AD,得到平行四边 形 ABED,从而得 AD=BE=10,AB=DE=13 A B 所以 EC=DC-DE=16-13=3. A 所以另一腰 d 的取值范围是 10-3<d<10+3 答案:7<d<13 E C D B B B A A A 例 10.如图,已知梯形 ABCD 中,AB∥DC,高 AE=12,BD=15,AC=20,求梯形 ABCD 的面积。 分析:已知条件中给出两条对角线的长,但对角线位置交错,条件一时用不上。另外,求梯形面积 只要求出上、下底的和即可,不一定求出上、下底的长,所以考虑平移腰。 解:解法一:如图,过 A 作 AF∥BD,交 CD 延长线于 F

,

8

? A B // F C ? 四 形 ABDF是 平 行 四 形 ? FD ? AB , AF ? BD ? 15 ? FC ? AB ? DC ? AE ? FC ? ? AEF ? ? AEC ? 90
在直角三角形 AEF 中,AE=12,AF=15


A

B A

? EF ?

AF

2

? AE

2

?

15 ? 12

2

2

F E B A ? 9

D B A

E B A

C B A

在直角三角形 AEC 中,AE=12,AF=15

? EC ?

AC

2

? AE

2

?

20 ? 12

2

2

? 16

? AB ? D C ? FC ? EF ? EC ? 9 ? 16 ? 25 ? S 梯 形 ABCD ? 1 2 ( AB ? DC ) ? AE ? 1 2 ? 25 ? 12 ? 150

解法二:如图,过 B 作 BF⊥DC 于 F ∴∠BFC=90°∵AE⊥DC 于 E

A

B A

? ? A E D = ? A E C =90 ? ? A E C =? B F C =90 ? A E // B F ? A B // D C ? ABFE是 平 行 四 形





D B A

E B A

F E B A

C B A

? B F ? A C ? 12, A B ? E F
在直角三角形 ABC 中, A E

? 12, A C ? 20 AC ? AE
2 2

? EC ?
在直角三角形 BDF 中,

? 16

B F ? 12, B D ? 15 BD ? BF
2 2

? DF ?

? 9

? AB ? D C ? D F ? C E ? 9 ? 16 ? 25 ? S 梯 形 ABCD ? 1 2 ( AB ? DC ) ? AE ? 1 2 ? 25 ? 12 ? 150

9

例 11.如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠B+∠C=90°,M、N 分别是 AD、BC 的中点, 试说明:

MN ?

1 2

(BC ? AD )

G

分析 1:∠B+∠C=90°,考虑延长两腰,使它们相交于 一点, 构成直角三角形。 解法 1:延长 BA、CD 交于点 G,连接 GM、GN

A

M

D

? ? B ? ? C ? 90 ? ? BG C ? 90 ? AM ? M D ? GM ? AM ? ?GAM ? ?AGM 又 ? BN ? CN ? GN ? BN ? ?B ? ?BGN





B N

C

? AD ? BC ? ?GAM ? ?B ? ?AGM ? ?BGN
∵B、A、G 共线 ∴G、M、N 共线

? GM ?

1 2

AD ,GN ?

1 2 1 2

BC (BC ? AD )

? MN ? GN ? GM ?

分析 2:考虑 M、N 分别为 AD、BC 中点,可以过 M 分别作 AB、DC 的平行线,梯形 ABCD 内部构成直 角三角形,把梯形转化为平行四边形和三角形。 解法 2:作 ME∥AB 交 BC 于 E,作 MF∥DC 交 BC 于 F ∵AD∥BC ∴四边形 ABEM、DCFM 都是平行四边形 ∴BE=AM,FC=DM A D M
? AM ? M D ? BE ? FC ? BN ? CN ? EN ? FN 由 M E ? AB, M F ? DC ? ?M EF ? ?B,?M FE ? ?C ? ? B ? ? C ? 90 ? ? M EF ? ? M FE ? 90
。 。

B E N F

C

∴∠EMF=90°,又∵EN=FN
1 2 1 2

?M N ?

EF ?

( BC ? AD )

10

[模式归纳]
通过上面各例的分析、解证,发现添加适当的辅助线能使解题思路畅通,解答过程简捷。但辅助线 的添加灵活多变,好像比较难以把握。其实添什么样的辅助线?怎么添辅助线?与已知条件的特征和 所求问题的形成关系密切。下面分类归纳几种常用的辅助线的添加方法。 一、倍角问题 研究∠α =2∠β 或∠β =
1 2

∠α 问题通称为倍角问题。倍角问题分两种情形:
1 2

1. ∠α 与∠β 在两个三角形中,常作∠α 的平分线,得∠1=

∠α ,然后证明∠1=∠β ;或把∠β

翻折,得∠2=2∠β ,然后证明∠2=∠α (如图一) 2. ∠α 与∠β 在同一个三角形中,这样的三角形常称为倍角三角形。倍角三角形问题常用构造等腰 三角形的方法添加辅助线(如图二)

α

1

α
图一

2 α

β

β
图二

α

二 中点问题 已知条件中含有线段的中点信息称为中点问题。这类问题常用三种方法添加辅助线 (1) 延长中线至倍(或者倍长中线) ,如图一。若图形中没有明显的三角形的中线,也可以构造 中线后,再倍长中线,如图二。 (2) 构造中位线,如图三 (3) 构造直角三角形斜边上的中线,如图四。

图一

图二

图三

图四

11

三、角平分线问题 已知条件中含有角平分线信息称为角平分线问题。常用的辅助线有两种: 1. 以角平分线所在直线为对称轴,构造全等三角形,如图一、二所示。 2. 由角平分线上的点向角的两边做垂线,构造全等三角形,如图二所示。

图一

图二

图三

四、线段的和差问题 已知条件或所求问题中含有 a+b=c 或 a=c-b,称为线段的和差问题,常用的辅助线有两种: 1. 短延长:若 AB=a,则延长 AB 到 M,使 BM=b,然后证明 AM=c; 2. 长截短:若 AB=c,则在线段 AB 上截取 AM=a,然后证明 MB=b。 五、垂线段问题 已知条件或所求问题中含有两条或者两条以上的垂线段时,而所研究的问题关系又不明显时,可 以借助于可求图形的面积转化。常用的面积关系有: 1. 同(等)底的两个三角形的面积与其高的关系; 2. 同(等)高的两个三角形的面积与其底的关系。

六、梯形问题 梯形可以看作是一个组合图形,组成它的基本图形是三角形、平行四边形、矩形等。因此,可以 通过添加适当的辅助线,把梯形问题转化为三角形、平行四边形、矩形等问题求解,其基本思想为: 转化 梯形问题 分割、拼接 在转化、分割、拼接时常用的辅助线: 1. 平移一腰。即从梯形一个顶点作另一个腰的平行线,把梯形分成一个平行四边形和一个三 角形(如图一) 。研究有关腰的问题时常用平移一腰。 2. 过顶点作高。即从同一底的两端作另一底所在直线的垂线,把梯形转化成一个矩形和两个 直角三角形(如图二) 。研究有关底或高的问题时常过顶点作高。 3. 平移一条对角线。即从梯形的一个顶点作一条对角线的平行线,把梯形转化成平行四边形 和三角形(如图三) 。研究有关对角线问题时常用平移对角线。这种添加辅助线的方法, 可以将梯形两条对角线及两底的和集中在一个三角形内,使梯形的问题转化为三角形的问 题。此三角形的面积等于梯形的面积。 4. 延长两腰交于一点。把梯形问题转化为两个相似的三角形问题(图四) ; 5. 过底的中点作两腰的平行线。当已知中有底的中点时,常过中点做两腰的平行线,把梯形 转化成两个平行四边形和一个三角形(图五) ; 6. 过一腰中点作直线与两底相交。当已知中有一腰的中点时,常连接梯形一顶点和此中点, 并延长交另一底于一点,将梯形问题转化为一对全等三角形和一个含有梯形两底之和的三
12

三角形或者平行四边形问题

7.

角形。此三角形的面积等于梯形的面积(图六) ; 作梯形中位线。当已知中有一腰的中点时,常取另一腰的中点,作梯形的中位线, (图七) , 利用梯形中位线性质解题。

图一

图二

图三

图四

图五

图六

图七

[拓展延伸] 1. 已知:如图,△ABC 中,D 是 BC 的中点,F 是 CA 延长线上一点, 连接 FD 交 AB 于 E,若 AE=AF 求证:BE=CF 证法一:延长 ED 到 G 使 DG=DE,连接 CG. 在△BDE 和△CDG 中,
?BD ? CD ? ?? BDE ? ? CDG ?DE ? DG ? ?? B D E ? ? C D G ? ?BED ? ?G , BE ? CG ? AE ? AF ? ?F ? ?FEA ? ?FEA ? ?BED ,?BED ? ?G ? ?F ? ?G ? CG ? CF ? BE ? CF

F A E

B

D

C

G

13

证法二:延长 FD 到 G,使 DG=DF,连接 BG。 △DCF 和△BDG 中
DC ? BD ,?FDC ? ?BDG , FD ? DG ?? F D C ? ? B D G ? ? F ? ? G ,CF ? BG ? AE ? AF ? ?F ? ?FEA 又 ? ?FEA ? ?BED ? ?BED ? ?G ? BE ? BG ? BE ? CF

F A E

B

D

C

G

2、如图,△ABC 中,BC=2AB,D 是 BC 中点,E 是 BD 中点 求证:AD 平分∠EAC。 证明一:延长 AE 到 F,使 EF=AE 在三角形 ADE 和 BEF 中
?DE ? BE ? ?? AED ? ? BEF ? AE ? EF ? ?? A E D ? ? B E F ? ?ADE ? ?EBF ,?EAD ? ?F , AD ? BF ? ?ADE ? ?BAD ? BC ? 2 AB, BD ? CD ? AB ? BD ? DC ? ? A D C 是 ? A D B的 外 角 ? ?ADC ? ?ABD ? ?BAD ? ?ADC ? ?ABF

A

B

E

D

C

F

在三角形 ADC 和 ABF 中

14

?DC ? AB ? ?? ADC ? ? ABF ? AD ? BF ? ?? A D C ? ? A B F ? ?DAC ? ?F 又 ? ?F ? ?EAD ? ?EAD ? ?DAC ? AD平 分 ?EAC

证明 2:取 AC 中点 F,连接 DF ∵D 是 BC 的中点∴DF 是△ABC 的中位线

? DF ? AB, DF ? ? ?ADF ? ?BAD

1 2

A

AB
F B C

? BC ? 2 AB, BE ? DE ? AB ? BD ? DC 且 DE ? 1 2 ? ?BAD ? ?ADB, DE ? DF ? ?ADF ? ?ADB
在三角形 ADE 和 ADF 中

E

D

AB

?DE ? DF ? ?? ADF ? ? ADB ? AD ? AD ? ?? A D E ? ? A D F ? ?EAD ? ?CAD ? AD平 分 ?EAF
3.已知: 如图, 在梯形 ABCD 中, AD∥BC,∠ABC=90°, ∠C=45°,BE⊥CD 于 E, AD=1,C D 解:过 D 作 DF∥AB,交 BC 于点 F
? 2 2 ,求

BE 的值。

15

? AD ? BC ? 四 形 ABFD是 ? ? BF ? AD ? 1 ? DF ? AB ? ? D FC ? ? ABC ? 90 在 直 角 ? D F C 中 ,C = 4 5 ? cos C ? CF CD ? C F ? C D ? cos C ? 2 ? BC ? BF ? FC ? 3 在 直 角? BEC中 , ? BEC ? 90 ? s in C ? BE BC ? B E ? B C ? s in C ? 3 2 2 , C D =2 2

A

D E

B

F

C

说明 2:延长两腰交于一点,也可求解。同学们不妨一试。

16


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巧添辅助线 解证几何题1_数学_自然科学_专业资料。巧添辅助线一、倍角问题 例 1:如图 1,在△ABC 中,AB=AC,BD⊥AC 于 D。 求证:∠DBC= A 解证几何题...
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几何题时如何画辅助线? ①见中点引中位线,见...证相似,比线段,添线平行成习惯。 等积式子比例换...斜边上面作高线 初中数学辅助线添加浅谈人们从来就...
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巧添辅助线解初中平面几何问题摘 要:在解几何问题...而后考虑要证的几何元素与题设的元素之间的几何关系...初等数学解题方法研究[M].湖南教育出版社,1998,11....
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八年级数学暑假专题 巧添辅助线解几何题同步练习 湘教版_初二数学_数学_初中教育_教育专区。八年级数学暑假专题 巧添辅助线解几何题同步练习 湘教版(答题时间:25...
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巧添辅助线解初中平面几何问题 (2) - 巧添辅助线解初中平面几何问题 摘要:在解几何问题时中,有时不能直接找到已知条件与未知之间的关系,因此需要添加辅助线使...
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初中数学平面几何题20道,学习辅助线的添加。_中考_初中教育_教育专区。看看这些...初中数学巧添辅助线解证... 暂无评价 26页 免费 喜欢此文档的还喜欢 二...
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证相似,比线段,添线平行成习惯。等积式子比例换,寻找线段很关键。 直接证明有...初中数学几何证明题作辅... 3页 5下载券 初中数学_巧添辅助线__解......
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初中数学几何证明题画辅助线口诀 - 人说几何很困难,难点就在辅助线辅助线,如何添?把握定理和概念。 还要刻苦加钻研,找出规律凭经验。 图中有角平分线,可向...
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