当前位置:首页 >> 数学 >>

一般化思维方法在数学教学中的应用四


∵ A1 , A2 , A3 , A4 在 Γ 上, ∴必存在 λ1 , ?1 使得 gf 2 + λ1 f1 f 3 = ?1F = 0 , ①

同理过 A1 , A4 , A5 , A6 的圆锥曲线系方程为 gf 5 + λ f 4 f 6 = 0 ,且存在 λ2 , ?2 .使得 gf5 + λ2 f4 f6 = ?2 F = 0 , 从①,②中消去 g 得: λ1 f1 f3 f5 ? λ2 f2 f 4 f 6 = ( ?1 f5 ? ? 2 f 2 )F = 0 , 设 A1 A2 I A4 A5 = P , A1 A6 I A4 A3 = Q , A2 A3 I A5 A6 = R , ∵点 P 坐标适合 f1 = 0, f 4 = 0 . ∴点 P 在曲线③上,同理点 Q,R 在曲线③ 上, ∵ P, Q, R 都不在Γ上, ∴ 其坐 标 使 得 F ≠ 0, ?1 f5 ? ? 2 f 2 = 0 , 即 P, Q, R 共线于直线 ?1 f5 ? ? 2 f 2 = 0 . 性质 8 圆的直径上的圆周角是直角. 推广 8 有心圆锥曲线Γ上任一点与其直 径两端点连线的斜率之积为一常数. 证明 设Γ方程为 (a 2 ? c 2 ) x2 + a 2 y 2 = a 2 ( a 2 ? c 2 ) ,AB 为直径 A( x1 , y1 ), B(? x1 , ? y1 ), P( x , y ) 为Γ上异于 A、B 的任一点,则 kPA ? kPB = y ? y1 y + y1 y 2 ? y12 ? = = x ? x1 x + x1 x 2 ? x12 ②

一般化思维方法  在数学教学中的应用( 四)  
福建省宁德师专 刘卓雄

2.4 用 一 般 化 方 法 解 决 特 殊 问 题 中 的 疑 ③ 惑 有些特殊问题 ,在解决过程中会出现一 些疑惑 ,我们难以讲清道理 ,但把这些问题一 般化后 ,反而变得容易找出其中的奥妙 ,讲清 其中的道理. 例 1 证明方程 2 x 2 + x + 4 = 3cos x 无实根. 证明 原方程可变形为 2 x 2 + x + (4 ? 3cos x ) = 0 , ∵ ? = 1 ? 4 ? 2 ? (4 ? 3cos x) = 24cos x ? 31 < 0 . ∴原方程无实根. 质疑 用判别式法判定方程 ax2 + bx + c = 0 无实根,是以 a ? b 、c 是常数为前提,然而 原方程中 c = 4 ? 3cos x 不是常数,因此提出疑 问:这样的解法对吗? 解 惑 我们干脆把问题一般化 ,研究变系 数一元二次方程: a( x) x 2 + b( x) x + c( x) = 0( a( x) ≠ 0) , (1) 无实根的条件(本文仅寻求充分条件). 经研究我们可以得到下面的定理. 定理 如果对一切实数 x ,均有 ? = b 2 ( x) ?4a ( x ) ? c( x) < 0 ,则方程 a( x) x 2 + b( x) x + c( x) = 0 无实根, (a (x ) ≠ 0) . 证明 ∵ a( x) x 2 + b( x) x + c( x) = 0 , b( x) ∴ a( x)[ x2 + x] + c( x) = 0 , a( x) b( x) 2 b2 ( x) ] + c( x) ? =0, 2 a( x) 4 a( x) b( x) 2 b2 ( x) ? 4 a( x) ? c( x) [x + ] = , (2) 2a ( x ) 4a 2 ( x) ∵对一切 x ,均有 a( x)[ x +

c2 ? a 2 = e 2 ? 1 (e 为Γ的离心率)为一常数. 2 a 参考文献
[1] 周建华.圆上的几个结论在椭圆上的推广.数学通 报.2003.6. [2] 邹明.椭圆双曲线直径的一个性质.中学生数学. 2001.9. [3] 邹明.蝴蝶定理的一个简捷推广.中学生数学. 2002.9. [4] 邹明.两道高考试题的统一本源与推广.中学数学 研究.2003.l.

?24?

b 2 ( x) ? 4a ( x ) ? c( x) < 0 (已知), ∴ (2) 式右端为负数 ,而左端为非负数 ,故 右端不可能等于左端 ,即方程 (1) 不可能有实 根. 有了这个一般性定理,例 1 证法就明白无 误了. 例 2 在《十万个为什么》一书中,介绍了 一种计算接近于 100、1000、…的两个数相 乘的巧妙算法 . 例如 998 × 997 它是这样计算 的. 998 +)997 1 995000 +) 6 995006 最后得到的结果是 998 × 997 = 995006 . 这种算法很巧妙 , 很简捷 , 但它有根据 吗?根据是什么? 我们不妨一般化地研究: (10n ? a )(10n ? b) 的简便算法. 《十万个为什么》书上提供的算法,用抽 象的数学语言来表示,就是: [(10 n ? a) + (10n ? b) ? 10n ] ?10 n + ab . 于是,算法的依据可以这样来证明: (10n ? a )(10n ? b ) = 102n ? 10n ? a ? 10n ? b + ab = 10n [10n ? a ? b ] + ab = 10n [(10n ? a ) + (10n ? b ) ? 10n ] + ab . 2.5 一般化思维方法在培养思维能力中的作用 思维能力是数学能力的核心 ,一般化思 维方法在培养数学思维能力中占有重要的地 位. 这是因为 ,首先 ,一般化思维方法本身就是 数学学习和研究中经常采用的重要思维方法 之一 ;其次 ,思维一般化过程是培养发散思维 能力、抽象思维能力、创造思维能力的很好 载体.这是因为 ,将特殊问题一般化,没有固定 的模式 ,没有固定的答案 ,不同的人按照自己 大胆的联想 ,自由的创造 ,可以得到不同的结

果 ;再次 ,一般化过程往往和抽象概括思维活 动联系在一起 ,而抽象概括能力也是数学思 维能力的核心之一. 下面我们举两个通过一般化过程培养发 散思维能力的例子. 例 1 设 A、B、C 是△ ABC 的三个内角, 1 1 1 9 求证: + + ≥ . A B C π 现在我们来考虑这个问题的推广 ,即这个命 题的一般化. (1) 在四边形 ABCD 中,问 1 1 1 1 + + + ≥? A B C D (2) 在 n 边形 A1 A2 L An 中,问 1 1 1 + +L + ≥? A1 A2 An 1 1 1 (3) 在△ABC 中,问 2 + 2 + 2 ≥ ? A B C 1 1 1 (4) 在△ABC 中,问 k + k + k ≥ ? A B C (5) 在 n 边形 A1 A2 L An 中,问 1 1 1 + k +L + k ≥ ? k A1 A2 An 例 2 我们来研究勾股定理可能的推广 (即一般化). (1)勾股定理能否推广到三维空间?如何 推广? 在直角△ABC 中 ,分别以斜边 AB 和两条 直角边 AC、BC 为边 ,向三角形外作正方形 , 那么勾股定理形象地表示为: 斜边上正方形的面积=以直角边 AC 为边 的正方形的面积 + 以直角边 BC 为边的正方 形面积. 在上述理解下 ,我们可以考虑以下的推 广. (2) 以直角△ ABC 的三边为边 ,分别向外 作正三角形 ,这些正三角形的面积有类似结 果吗? (3) 以直角△ ABC 的三边为边 ,分别向外 ?25?

作正多边形 ,问这些多边形的面积间还有类 似勾股定理的结果吗? (4) 以直角△ ABC 的三边为对应边 ,分别 向形外作三个相似的 n 边形,这些相似的 n 边 形的面积间还有类似勾股定理的结果吗? 对勾股定理 : c2 = a2 + b2 ,还可以从次数 上考虑如何推广. (5)在直角△ ABC 中,对任意实数 n ,试比 较 a n + bn 与 cn 的大小. (6) 将 (5) 的结果进一步推广到长方体 . 设 长方体的三条棱长分别为 a、b、c,对角线长 为 d,则 a 2 + b2 + c2 = d 2 ,现在问 : 对任意实数 n, a n + bn + cn 与 d n 谁大谁小?

y 2 /16 = 1 化简得 | y |= 离为 1 6 / 5 .

16 .故点 P 到 x 轴的距 5

x2 y2 + =1的 9 4 焦点为 F1 、 F2 ,点 P 为其上的动点,当 ∠F1PF2 为钝角时,点 P 横坐标的取值范围是______. 解 由己知得 a2 = 9, b2 = 4, c2 = 5, F1 ( ? 5, 例 2 (2000 年高考题)椭圆 0), F2 ( 5,0) .以 F1 F2 为直径构造圆 x2 + y 2 = 5 ,因为 ∠F1PF2 为钝角 ,所以点 P( x0 , y0 ) 在圆
2 2 x2 + y2 = 5 内 ,故 x0 + y0 < 5 ,联立

2 x0 y2 + 0 =1 9 4

消去 y02 解得 ?

3 5 3 5 < x0 < . 5 5 例 3 (1994 年高考题)设 F1 和 F2 为双曲线

构造辅助圆 解高考圆锥曲线问题
湖南省浏阳市一中 湖南省浏阳河中学 刘 浏 谢志强

x2 ? y 2 = 1 的两个焦点,点 P 在双曲线上,且满 4 足 ∠F1 PF2 = 90° ,则△ FPF ). 1 2 的面积是( A.1 B. 5 / 2 C.2 D. 5 解 由己知得 a2 = 4, b 2 = 1, c2 = 5, F 1 ( ? 5, 0), F2 ( 5,0) .以 F1 F2 为直径构造圆 x2 + y 2 = 5 , 因为 ∠F1 PF2 = 90° , 所 以 点 P( x0 , y0 ) 在圆
2 2 x2 + y2 = 5 上 ,故 x0 + y0 = 5 ,联立

圆锥曲线是高中数学重要内容之一 ,有 些圆锥曲线问题 ,通过构造辅助圆 ,能使问题 迅速获解 ,同时其特有的魅力和功效定能引 起学生的极大兴趣 . 下面以高考题为例加以 说明. 1  解与 ∠F1PF2 有关的椭圆及双曲线问题 x2 y2 ? =1 9 16 的两个焦点为 F1 、 F2 ,点 P 在双曲线上 ,若 PF1 ⊥ PF2 ,则点 P 到 x 轴的距离为______. 例 1 (2001 年高考题)双曲线 解 由已知得 a 2 = 9, b 2 = 16, c 2 = 25, F1 ( ?5,0), F2 (5,0) ,因为 PF1 ⊥ PF2 ,所以点 P 在 圆 x 2 + y 2 = 25 上,将 x 2 = 25 ? y 2 代入 x 2 / 9 ? ?26?

2 消去 x0 解得 | y0 |=

5 ,故 S ?FPF 1 2 5

2 x0 2 ? y0 =1 , 4 1 = ×2 5× 2

5 = 1 .选 A. 5 2 解与距离有关的圆锥曲线问题 例 4 (2001 年高考题)对于抛物线 y 2 = 4 x 上任意一点 Q,点 P( a,0) 都满足 | PQ |≥| a | ,则 a 的取值范围是( ). A. (?∞ ,0) , B. (?∞ ,2] , C. [0,2] , D. (0,2) . 解 构造一个以点 P( a,0) 为圆心 , | a | 为 半径的圆 ,它的方程为 ( x ? a )2 + y 2 = a 2 . 设点 Q 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,因为 | PQ |≥| a | ,所以点 Q
2 在圆上或圆外 , 则有 ( x0 ? a ) 2 + y 0 ≥ a 2 , 联立


相关文章:
一般化思维方法在数学教学中的应用四.pdf
一般化思维方法在数学教学中的应用四 - ∵ A1 , A2 , A3 , A4
一般化思维方法在数学教学中的应用(四)_图文.pdf
一般化思维方法在数学教学中的应用(四) - 维普资讯 http://www.cq
特殊化思维方法在数学中的应用(四)_图文.pdf
特殊化思维方法在数学中的应用(四) - 维普资讯 http://www.cqvi
一般化思维方法在数学教学中的应用一.pdf
一般化思维方法在数学教学中的应用一 - 一般化思维方法在数学 教学中的应用( 一
一般化思维方法在数学教学中的应用二_图文.pdf
一般化思维方法在数学教学中的应用二 - . 一般化思维方法 在数学教学中的应用( 二) 福建省宁德师专 刘卓雄 ?18? ( 这里 a 、 b 、 c 都是有理数 , ...
常见的数学思想方法在小学数学教学中的应用.doc
常见的数学思想方法在小学数学教学中的应用_四年级...转化思想的运用能够将数学题型化繁为 常见的数学思想...以此达到更好的教 学效果,培养学生们的思维能力,...
特殊化思维方法在数学中的应用一.pdf
特殊化思维方法在数学中的应用一 - 特殊化思维方法在数学 中的应用( 一) 福建宁德师专 刘卓雄 特殊与一般的关系是对立统一关系 . 将 特殊问题一般化及将一般...
数学思想方法在数学教学中的应用.doc
数学思想方法在数学教学中的应用 - 论文题目: 数学思想方法在数学教学中的应用 姓名:高 媛 单位:四群中学 数学思想方法在数学教学中的应用 1 数学做为一门基础...
特殊化思维方法在数学中的应用(三)_图文.pdf
特殊化思维方法在数学中的应用(三) - 维普资讯 http://www.cqvi
思维导图在初中数学的应用.doc
(四) 、整理思维过程。在完成思维导图后,再用...在制作思维导图的过程中潜移默的将平行四边形知...接下来将进一步研究思维导图在数学教学中的应用,使...
转化思想在小学数学教学中的应用.doc
转化思想在小学数学教学中的应用_教学反思/汇报_教学...逆向化归(当按照习惯的思维途径进行思考出现较难或...这样, 10 4 1 7 利用约分就能很快获得本题的解...
数学教学中的学生思维能力培养_4.doc
因此数学教学过 程应重视运用理性思维培养学生思维...在 教学过程中,用多种方法,从各个不同的角度和不...思路 2:从右到左证明,化积为差。 证法 4:tan...
浅谈数字化资源在小学数学教学中的应用.doc
浅谈数字化资源在小学数学教学中的应用_四年级数学_数学_小学教育_教育专区。...常伟利 【关键词】 数字化资源 电子白板 班班通 教学研究 创新思维 传统教学 ...
“转化思想”在小学数学教学中的运用.doc
以下本文通过小数数学教学中常用的几种转化思想方法的运用对转化思想进行初略的...之后在三角形、梯形面积的计算时,转 化成平行四边形,从而形成了固定的转化思维...
初中数学教学论文 浅谈化归思想方法在数学教学中的应用.doc
浅谈化归思想方法在数学教学中的应用内容摘要:所谓化...这就是数学方法论中的一种新的思维方法化归,...例如,在学习有理数的四则运算时,我们知道有理数...
浅谈数学思想方法在小学数学课堂教学中的应用.doc
浅谈数学思想方法在小学数学课堂教学中的应用摘要:...从长远目 标来看, 数学思想方法比形式化的数学知识...活动的思维方式和手段, 它对培养和提高学生数学学习...
浅谈对应思想在小学数学教学中的运用.doc
浅谈“对应”思想在小学数学教学中的运用数学思想方法数学思维的基本方法,是...
数学思想方法在中学数学教学中的应用例谈.doc
四、函数方程思想 函数与方程思想只要注意化隐为显,螺旋上升,等价性及其统一的...数学问题解决教学中分类讨 论的思想方法常常用到,一般分情况讨论会让我们的思维...
创新与数学思维方式的应用.doc
创新与数学思维方式的应用_教育学_高等教育_教育专区...4 第四章数学思维方法的应用 5 第五章...一般化,猜测和确认 6 数学思维数学方法具有的特征...
化归方法在小学中的应用简述.doc
化归方法在小学中的应用简述 - 化归方法在小学数学教学中的应用简述 摘要: 化归
更多相关标签: