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人教A版高中数学选修2-1课件:3-1-2 空间向量的数乘运算

第三章 空间向量与立体几何 3.1 3.1.2 空间向量及其运算 空间向量的数乘运算 目标了然于胸,让讲台见证您的高瞻远瞩 1.掌握空间向量的数乘运算的定义和运算律,了解 共线(平行)向量的意义. 2.理解共线向量定理和共面向量定理及其推论, 会证明空间三点共线与四点共面问题. 新知视界 1.空间向量的数乘运算 (1) 定义:实数 λ 与空间向量 a 的乘积 λa 仍是一个向 量,称为向量的数乘运算. (2)向量a与λa的关系 λ的范围 λ>0 方向关系 方向相同 大小关系 λ=0 λa=0 其方向是任意的 方向相反 λa的长度是a的 长度的|λ|倍 λ<0 (3)空间向量的数乘运算律 ①分配律:λ(a+b)=λa+λb,(λ+μ)a =λa+μa; ②结合律:λ(μa)=(λμ)a. 2.共线向量 (1)共线向量定义 定义 如果表示空间向量的有向线段所在 的直线互相平行或重合,则这些向 量叫做共线向量或平行向量 记法 a∥b (2)共线向量定理 对于空间任意两个向量 a, b(b ≠0),a∥b的充要条 件是存在实数λ使a=λb. (3)共线向量的推论 如果 l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 a 的直线,那么对于空间任意一点 O,点 P 在直线 l 上 → → 的充要条件是存在实数 t,使OP=OA+ta ①,其中 向量 a 叫做直线 l 的方向向量,如图 1 所示. 图1 → → → → 若在 l 上取AB=a, 则①式可化为OP=OA +tAB → → =tOB +(1-t)OA . 思考感悟 1.当我们说 a,b 共线时,表示 a,b 的两条有向 线段所在直线一定是同一条直线吗? 提示: 不一定,也可能是两条平行直线. 2. a= λb 是向量 a 与 b 共线的充要条件吗? 提示:不是.由 a= λb 可得出 a,b 共线,而由 a, b 共线不一定能得出 a= λb,如当 b=0, a≠ 0 时. 3.共面向量 (1)共面向量的概念 平行于同一个平面的向量,叫做共面向量. (2)共面向量定理 若两个向量a,b不共线,则向量p与向量a,b共面 的充要条件是存在惟一的有序实数对(x,y)使p=xa+ yb. (3)共面向量定理的推论 如图 2,空间一点 P 位于平面 MAB 内的充要条件 → → → 是存在有序实数对(x,y),使MP=xMA +yMB 或对空间 → → → → 任意一点 O 来说,有OP=OM+xMA +yMB . 图2 思考感悟 已知空间任意一点 O 和不共线的三点 A,B, → → → → C,满足向量关系式OP=xOA+yOB+zOC(其中 x +y+z=1)的点 P 与点 A,B,C 是否共面? 提示:四点共面.∵ x+ y+ z= 1,∴ x= 1- y- z, → → → → 又∵OP = xOA+ yOB+ zOC → → → → ∴OP = (1- y- z)OA+ yOB+ zOC → → → → → → ∴OP -OA= y(OB-OA)+ z(OC-OA) → → → ∴AP = yAB + zAC , ∴点 P 与点 A, B, C 共面. 尝试应用 1.下列命题中正确的是( ) A.若a与b共线,b与c共线,则a与c共线 B.向量a,b,c共面,即它们所在的直线共面 C.零向量没有确定的方向 D.若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λb 解析:A中,若b=0,则a与c不一定共线;B中, 共面向量的定义是平行于同一平面的向量,表示这些 向量的有向线段所在的直线不一定共面;D中,若b= 0,a≠0,则不存在λ. 答案:C 2.当|a|=|b|≠0,且a、b不共线时,a+b与a-b 的关系是( A.共面 ) B.不共面 C.共线 D.无法确定 解析:a+b与a-b不共线,则它们共面. 答案:A → → 3.在空间四边形 ABCD 中,AB=a-2c,CD= 5a+6b-8c,对角线 AC、BD 的中点分别是 E、F, → 则EF=________. 图3 解析: 如图 3 所示, 取 AD 的中点 P, 连接 EF、 → → → → → → EP、 FP, 结合图形用AB和CD表示EF.EF=EP+PF 1→ 1 → 1 1 = CD+ AB = (5a+ 6b- 8c)+ (a- 2c)= 3a+ 3b 2 2 2 2 - 5c. 答案:3a+3b-5c 4.已知 A、B、C 三点不共线,O 为平面 → → → → ABC 外一点,若由OM=-2OA+OB+λOC确 定的点 M 与 A、B、C 共面,则 λ=________. → → → 解析: M 与 A、 B、 C 共面, 则OM=xOA+yOB → +zOC,其中 x+y+z=1,结合题目有-2+1+λ =1,即 λ=2. 答案:2 5. 如图 4, 在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中, 1 1 2 已知 BE= BB1,DF= DD1,CG= CC1,问 A、E、 3 3 3 G、F 四点是否共面. 图4 → → → → 1→ 解:∵AE =AB +BE =AB + BB1 , 3 → → → → 1→ → → → AF =AD+DF=AD+ DD1 ,AC =AB +AD, 3 → 2→ 1→ 1→ → → CG= CC1 = BB1 + DD1 =BE +DF. 3 3 3 → → → → → 1→ 1 → ∴AG=AC +CG=AB +AD+ BB1 + DD1 3 3 → → =AE +AF . → → 又AE 、AF 不共线,∴ A、 E、 G、 F 四点共面. 典 例 精 析 类型一 [例 1] 空间向量的数乘运算 设 O 为? ABCD 所在平面外任意一点, → → → → E 为 OC 的中点,试用向量

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