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标题-2017-2018学年高中数学三维设计苏教版必修5:模块复习精要 复习课(三)不等式

复习课(三) 不等式
一元二次不等式

一元二次不等式和一元二次方程、一元二次函数三者构成一个统一的整体.贯穿于高中 数学的始终,更是高考的重点内容,在考题中有时单独对某类不等式的解法进行考查,一般 以小题形式出现,难度不大,但有时在解答题中与其它知识联系在一起,难度较大.

[考点精要]
解一元二次不等式需熟悉一元二次方程、二次函数和一元二次不等式三者之间的关系, 其中二次函数的零点是联系这三个“二次”的枢纽. (1)确定 ax2+bx+c>0(a>0)或 ax2+bx+c<0(a>0)在判别式 Δ>0 时解集的结构是关键.在 未确定 a 的取值情况下,应先分 a=0 和 a≠0 两种情况进行讨论. (2)若给出了一元二次不等式的解集,则可知二次项系数 a 的符号和方程 ax2+bx+c=0 的两个根,再由根与系数的关系就可知 a,b,c 之间的关系. (3)解含有参数的一元二次不等式,要注意对参数的取值进行讨论:①对二次项系数与 0 的大小进行讨论; ②在转化为标准形式的一元二次不等式后, 对判别式与 0 的大小进行讨论; ③当判别式大于 0,但两根的大小不确定时,对两根的大小进行讨论. [典例] 已知不等式 ax2+5x-2>0 的解集是 M. (1)若 2∈M,求 a 的取值范围;
? 1 ? ?,求不等式 ax2-5x+a2-1>0 的解集. (2)若 M=?x? < x <2 ?2 ? ?

[解] (1)∵2∈M,∴a· 22+5· 2-2>0,∴a>-2, 即 a 的取值范围为(-2,+∞).
? 1 ? ? (2)∵M=?x? ?2 <x<2 , ? ?

1 ∴ ,2 是方程 ax2+5x-2=0 的两个根, 2

?2+2=-a, ∴由根与系数的关系得? 1 2 2=-a, ?2·

1

5

解得 a=-2,

∴不等式 ax2-5x+a2-1>0 即为-2x2-5x+3>0, 1 ∴2x2+5x-3<0,解得-3<x< , 2 ∴不等式 ax2-5x+a2-1>0 的解集为
? ? 1 ? ?x -3<x< ?. 2 ? ? ?

[类题通法] 求解不等式的方法:(1)对于一元二次不等式,应先化为一般形式 ax2+bx+c>0(a≠0), 再求相应一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根, 最后根据相应二次函数图象与 x 轴的位置 关系,确定一元二次不等式的解集.(2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是把它 们等价转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解.(3)解决含参数不等式的难点在于对 参数的恰当分类,关键是找到对参数进行讨论的原因,确定好分类标准,有理有据、层次清 晰地求解.

[题组训练]
1.设函数 f(x)=?
?2x+1,x≥1, ? ?x -2x-2,x<1, ?
2

若 f(x0)>1,则 x0 的取值范围是____________.

? ? ?x0≥1, ?x0<1, 解析:f(x0)>1?? 或? 2 ?x0≥1 或 x0<-1. ? ? ?2x0+1>1 ?x0-2x0-2>1

答案:(-∞,-1)∪[1,+∞) 2.已知函数 f(x)=x2-2x-8,g(x)=2x2-4x-16. (1)求不等式 g(x)<0 的解集; (2)若对一切 x>2,均有 f(x)≥(m+2)x-m-15 成立,求实数 m 的取值范围. 解:(1)g(x)=2x2-4x-16<0,∴(2x+4)(x-4)<0,∴-2<x<4,∴不等式 g(x)<0 的解集 为{x|-2<x<4}. (2)∵f(x)=x2-2x-8. 当 x>2 时,f(x)≥(m+2)x-m-15 恒成立, ∴x2-2x-8≥(m+2)x-m-15, 即 x2-4x+7≥m(x-1). x2-4x+7 ∴对一切 x>2 均有不等式 ≥m 成立, x-1 x2-4x+7 4 而 =(x-1)+ -2≥2 x-1 x-1 当且仅当 x-1= 4 ?x-1?× -2=2, x-1

4 ,即 x=3 时等号成立, x-1

∴实数 m 的取值范围是(-∞,2].

简单的线性规划问题

线性规划问题一般有三种题型:一是求最值;二是求区域面积;三是由最优解确定目标 函数中参数的取值范围.“线性规划”是必考内容,主要以填空题的形式考查,题目难度大 多数为低、中档.

[考点精要]
平面区域的确定方法是“直线定界、特殊点定域”,二元一次不等式组所表示的平面区 域是各个不等式所表示的半平面的交集.线性目标函数 z=ax+by 中的 z 不是直线 ax+by= a z z z 在 y 轴上的截距,把目标函数化为 y=-bx+b,可知b是直线 ax+by=z 在 y 轴上的截距, 要根据 b 的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值. [典例] 已知 D 是以点 A(4,1),B(-1,-6),C(-3,2)为顶点的 三角形区域(包括边界与内部).如图所示. (1)写出表示区域 D 的不等式组. (2)设点 B(-1,-6),C(-3,2)在直线 4x-3y-a=0 的异侧,求 a 的取值范围. [解] (1)直线 AB,AC,BC 的方程分别为 7x-5y-23=0,x+7y-11=0,4x+y+10= 0. 又原点(0,0)在区域 D 内, 7x-5y-23≤0, ? ? 故表示区域 D 的不等式组为?x+7y-11≤0, ? ?4x+y+10≥0. (2)根据题意有[4× (-1)-3× (-6)-a][4× (-3)-3× 2-a]<0, 即(14-a)(-18-a)<0, 得 a 的取值范围是-18<a<14. 故 a 的取值范围是(-18,14). [类题通法] 解决线性规划问题应关注三方面:(1)首先要找到可行域,再注意目标函数所表示的几何 意义,找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点),但要注意作图一定要准确, 整点问题要验证解决.(2)画可行域时应注意区域是否包含边界.(3)对目标函数 z=Ax+By 中 B 的符号,一定要注意 B 的正负与 z 的最值的对应,要结合图形分析.

[题组训练]
x≥0, ? ? 1.设不等式组?y≥0, ? ?y≤-kx+4k 在平面直角坐标系中所表示的区域面积为 S,则当 k>1

kS 时, 的最小值为________. k-1 1 1 解析:由图可知 S=S△OAB= ×OA×OB= ×4×4k=8k, 2 2 所以 kS k×8k 8k2 = = . k-1 k-1 k-1

8?t+1?2 1? 令 t=k-1>0,则 k=t+1,代入上式得 t =8? ?t+ t ?+16, 1? 1 因为 t+ ≥2,所以 8? ?t+ t ?+16≥8×2+16=32. t 当且仅当 t=1 时,即 k=2 时取等号. kS 故当 k=2 时, 取得最小值 32. k- 1 答案:32 x+y-2≤0, ? ? 2.x,y 满足约束条件?x-2y-2≤0, ? ?2x-y+2≥0. 数 a=________. 解析:作出可行域(如图),为△ABC 内部(含边界).由题设 z=y -ax 取得最大值的最优解不唯一可知:线性目标函数对应直线与可 1 行域某一边界重合.由 kAB=-1,kAC=2,kBC= 可得 a=-1 或 a 2 1 1 =2 或 a= ,验证:a=-1 或 a=2 时,成立;a= 时,不成立. 2 2 答案:2 或-1

若 z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一,则实

基本不等式的应用

基本不等式是解决函数值域、最值、不等式证明、参数范围问题的有效工具,考试中经 常出现,有时也会对其单独考查.题目难度为中等偏上.应用时,要注意“拆、拼、凑”等 技巧,特别要注意应用条件,只有具备公式应用的三个条件时,才可应用,否则可能会导致 结果错误.

[考点精要]
1.基本不等式的常用变形 (1)a+b≥2 ab(a>0,b>0),当且仅当 a=b 时,等号成立; a+b?2 (2)a2+b2≥2ab,ab≤? ? 2 ? (a,b∈R),当且仅当 a=b 时,等号成立;

b a (3) + ≥2(a,b 同号且均不为零),当且仅当 a=b 时,等号成立; a b 1 1 (4)a+a≥2(a>0),当且仅当 a=1 时,等号成立;a+a≤-2(a<0),当且仅当 a=-1 时, 等号成立. 2.利用基本不等式求最值 已知 x,y∈(0,+∞), x+y?2 S2? S2 (1)若 x+y=S(和为定值),则当 x=y 时,积 xy 取得最大值 ?xy≤? 4? ? 2 ? = 4 ?; (2)若 xy=P(积为定值),则当 x=y 时,和 x+y 取得最小值 2 P(x+y≥2 xy=2 P). [典例] 已知正数 x,y 满足 x+2 2xy≤λ(x+y)恒成立,则实数 λ 的最小值为________. [解析] ∵x>0,y>0,∴x+2y≥2 2xy(当且仅当 x=2y 时取等号).又由 x+2 2xy≤λ(x +y)可得 λ≥ x+2 2xy x+2 2xy x+?x+2y? ?x+2 2xy? ,而 ≤ =2,∴当且仅当 x=2y 时,? ? x+y x+y x+y ? x+y ?max

=2.∴λ 的最小值为 2. [答案] 2 [类题通法] 利用基本不等式解题应关注三方面:(1)利用基本不等式求最值的注意点,①在运用基本 不等式求最值时,必须保证“一正,二定,三相等”,凑出定值是关键.②若两次连用基本 不等式,要注意等号的取得条件的一致性,否则就会出错. (2)求条件最值问题的两种方法:一是借助条件转化为所学过的函数(如一次函数、二次 函数、指数函数、对数函数),借助于函数单调性求最值;二是可考虑通过变形直接利用基本 不等式解决. (3)结构调整与应用基本不等式:基本不等式在解题时一般不能直接应用,而是需要根据 已知条件和基本不等式的“需求”寻找“结合点”,即把研究对象化成适用基本不等式的形 式,常见的转化方法有: b b ①x+ =x-a+ +a(x>a). x-a x-a a b ?a+b?≥ma+nb+2 abmn(字母均 ②若 + =1,则 mx+ny=(mx+ny)×1=(mx+ny)· ?x y ? x y 为正数).

[题组训练]
x2-y2 1.定义运算“*”:x*y= xy (x,y∈R,xy≠0),当 x>0,y>0 时,x*y+(2y)*x 的最小 值为________.

x2-y2 ?2y?2-x2 x2+2y2 2 x2· 2y2 解析:由题意,得 x*y+(2y)*x= xy + = ≥ = 2,当且仅当 2yx 2xy 2xy x= 2y 时取等号. 答案: 2 2.函数 y= 的最大值为________. x+3+ x-1 x-1

t t 解析:令 t= x-1≥0,则 x=t2+1,所以 y= 2 =2 .当 t=0,即 x=1 t +1+3+t t +t+4 1 4 时,y=0;当 t>0,即 x>1 时,y= ,因为 t+ ≥2 4=4(当且仅当 t=2 时取等号), t 4 t+ +1 t 所以 y= 1 1 1 ≤ ,即 y 的最大值为 (当 t=2,即 x=5 时 y 取得最大值). 4 5 5 t+ t +1

答案:

1 5

1.不等式 2x2-x<4 的解集为________. 解析:不等式 2x2-x<4?x2-x<2?-1<x<2,故原不等式的解集为(-1,2). 答案:(-1,2) 2.已知全集 U={x|x2>1},集合 A={x|x2-4x+3<0},则?UA=________. 解析: ∵U={x|x2>1}={x|x>1 或 x<-1}, A={x|x2-4x+3<0}={x|1<x<3}, ∴?UA={x|x< -1 或 x≥3}. 答案:(-∞,-1)∪[3,+∞) x+y≤1, ? ? 3.已知不等式组?x-y≥-1, ? ?y≥0

所表示的平面区域为 D,若直线 y=kx-3 与平面区域

D 有公共点,则 k 的取值范围为________. 解析:满足约束条件的平面区域如图中阴影部分所示.因为直 线 y=kx-3 过定点(0, -3), 所以当 y=kx-3 过点 C(1,0)时, k=3; 当 y=kx-3 过点 B(-1,0)时,k=-3,所以 k≤-3 或 k≥3 时,直 线 y=kx-3 与平面区域 D 有公共点. 答案:(-∞,-3]∪[3,+∞) 4.若不等式 x2-ax+1≥0 对于一切 a∈[-2,2]恒成立,则 x 的取值范围是________.

解析:因为 a∈[-2,2],可把原式看作关于 a 的函数,即 g(a)=-xa+x2+1≥0,
?g?-2?=x2+2x+1≥0, ? 由题意可知? 解得 x∈R. 2 ?g?2?=x -2x+1≥0, ?

答案:R 5. 若关于 x 的不等式 x2+ax-2>0 在区间[1,5]上有解, 则实数 a 的取值范围为________.
? ?f?1?≤0, 解析: 设 f(x) = x2 + ax - 2 ,若 x2 + ax - 2>0 在 [1,5] 上无解,则只需 ? 即 ?f?5?≤0, ? ?1+a-2≤0, ? 23 23 ? 解得 a≤- ,所以 x2+ax-2>0 在[1,5]上有解时,a>- . 5 5 ? 25 + 5 a - 2 ≤ 0 , ?

23 ? 答案:? ?- 5 ,+∞? 6.若正实数 x,y 满足 x+y+1=xy,则 x+2y 的最小值是________. x+1 解析:由 x+y+1=xy,得 y= ,又 y>0,x>0, x-1 ∴x>1.∴x+2y=x+2× 2 x+1 4 4 =x+2×?1+x-1?=x+2+ =3+(x-1)+ ≥3+4 ? ? x-1 x-1 x-1

=7,当且仅当 x=3 时取“=”. 答案:7 7.关于 x 的不等式 x2-ax-20a2<0 任意两个解的差不超过 9,则 a 的最大值与最小值 的和是________. 解析:方程 x2-ax-20a2=0 的两根是 x1=-4a,x2=5a,则由关于 x 的不等式 x2-ax -20a2<0 任意两个解的差不超过 9,得|x1-x2|=|9a|≤9,即-1≤a≤1,且 a≠0.所以 a 的最 大值与最小值的和是 0. 答案:0 8.某企业生产甲、乙两种产品均需用 A,B 两种原料.已知生产 1 吨每种产品所需原料 及每天原料的可用限额如表所示.如果生产 1 吨甲、乙产品可获利润分别为 3 万元、4 万元, 则该企业每天可获得最大利润为________万元. 甲 A(吨) B(吨) 3 1 乙 2 2 原料限额 12 8

解析:根据题意,设每天生产甲 x 吨,乙 y 吨, x≥0, ? ?y≥0, 则? 3x+2y≤12, ? ?x+2y≤8,

目标函数为 z=3x+4y,作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示,作出直 线 3x+4y=0 并平移,易知当直线经过点 A(2,3)时,z 取得最大值且 zmax=3×2+4×3=18, 故该企业每天可获得最大利润为 18 万元.

答案:18 1 2 9.若实数 a,b 满足a+b= ab,则 ab 的最小值为________. 1 2 b+2a 解析:由已知得 + = = ab,且 a>0,b>0, a b ab 5 ∴ab ab=b+2a≥2 2 ab,∴ab≥2 2.当且仅当 b=2a=2 时等号成立. 4 答案:2 2 10.设 a,b>0,a+b=5,则 a+1+ b+3的最大值为________. 解析: ( a+1+ b+3)2=a+b+4+2 a+1· b+3≤9+( a+1)2+( b+3)2=9+a+b 7 3 +4=18,所以 a+1+ b+3≤3 2,当且仅当 a+1=b+3 且 a+b=5,即 a= ,b= 时等 2 2 号成立.所以 a+1+ b+3的最大值为 3 2. 答案:3 2 11.设函数 f(x)=mx2-mx-1. (1)若对于一切实数 x,f(x)<0 恒成立,求 m 的取值范围; (2)对于 x∈[1,3],f(x)<-m+5 恒成立,求 m 的取值范围. 解:(1)要使 mx2-mx-1<0 恒成立, 若 m=0,显然-1<0.
? ?m<0, 若 m≠0,? ?-4<m<0. 2 ? ?Δ=m +4m<0

∴-4<m≤0,即 m 的取值范围为(-4,0]. (2)要使 f(x)<-m+5 在 x∈[1,3]上恒成立. 1?2 3 就要使 m? ?x-2? +4m-6<0 在 x∈[1,3]上恒成立. 1 3 x- ?2+ m-6,x∈[1,3]. 令 g(x)=m? ? 2? 4 当 m>0 时,g(x)是增函数, ∴g(x)max=g(3)?7m-6<0,

6 ∴0<m< ; 7 当 m=0 时,-6<0 恒成立; 当 m<0 时,g(x)是减函数, ∴g(x)max=g(1)=m-6<0,得 m<6,∴m<0. 6? 综上所述:m 的取值范围为? ?-∞,7?. 12.某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律:每生 产产品 x(百台),其总成本为 G(x)(万元),其中固定成本为 2 万元,并且每生产 1 百台的生产 成 本 为 1 万 元 ( 总 成 本 = 固 定 成 本 + 生 产 成 本 ) . 销 售 收 入 R(x)( 万 元 ) 满 足 : R(x) =
2 ? ?-0.4x +4.2x-0.8,0≤x≤5, ? 假定该产品产销平衡,那么根据上述统计规律. ? ?10.2, x>5,

(1)要使工厂有赢利,产量 x 应控制在什么范围内? (2)工厂生产多少台产品时,可使赢利最多? 解:依题意,G(x)=x+2. 设利润函数为 f(x),
?-0.4x2+3.2x-2.8,0≤x≤5, ? 则 f(x)=? ?8.2-x, x>5. ?

(1)要使工厂有赢利,即解不等式 f(x)>0, 当 0≤x≤5 时,解不等式-0.4x2+3.2x-2.8>0 即 x2-8x+7<0,得 1<x<7,∴1<x≤5. 当 x>5 时,解不等式 8.2-x>0,得 x<8.2, ∴5<x<8.2. 综上所述,要使工厂赢利,x 应满足 1<x<8.2,即产品产量应控制在大于 100 台,小于 820 台的范围内. (2)0≤x≤5 时,f(x)=-0.4(x-4)2+3.6, 故当 x=4 时,f(x)有最大值 3.6, 而当 x>5 时,f(x)<8.2-5=3.2, 所以,当工厂生产 400 台产品时,赢利最多. 13.医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐,甲种原料每 10 g 含 5 单位蛋白质 和 10 单位铁质,售价 3 元;乙种原料每 10 g 含 7 单位蛋白质和 4 单位铁质,售价 2 元.若 病人每餐至少需要 35 单位蛋白质和 40 单位铁质.试问:应如何使用甲、乙原料,才能既满 足营养又使费用最省?

5x+7y≥35, ? ? 解:设甲、乙两种原料分别用 10x g 和 10y g,总费用 z,那么?10x+4y≥40, ? ?x≥0,y≥0. 目标函数为 z=3x+2y,作出可行域如图:

z z 3 由图可知,当直线 y=- x+ 经过可行域上的点 A 时,截距 最小,即 z 最小. 2 2 2
? ?10x+4y=40, 14 ? ,3 , 由? 得 A? 5 ? ? ?5x+7y=35, ?

∴zmin=3×

14 +2×3=14.4. 5

14 ∴甲种原料用 ×10=28(g), 5 乙种原料用 3×10=30(g),费用最省. 答:应用甲、乙原料分别为 28 g,30 g 时,费用最省. x-4y+3≤0, ? ? 14.变量 x,y 满足?3x+5y-25≤0, ? ?x≥1. y (1)设 z=x,求 z 的最小值; (2)设 z=x2+y2+6x-4y+13,求 z 的取值范围. x-4y+3≤0, ? ? 解:由约束条件?3x+5y-25≤0, ? ?x≥1,
?x=1, ? 作出(x,y)的可行域如图阴影部分所示.由? ?3x+5y-25=0, ?

22 1, ?. 解得 A? 5? ?
?x=1, ? 由? 解得 C(1,1). ? ?x-4y+3=0, ? ?x-4y+3=0, 由? 解得 B(5,2). ?3x+5y-25=0, ?

y y-0 (1)∵z=x= , x-0 ∴z 的值即是可行域中的点与原点 O 连线的斜率. 2 观察图形可知 zmin=kOB= . 5 (2)z=x2+y2+6x-4y+13=(x+3)2+(y-2)2 的几何意义是可行域上的点到点 (-3,2)的 距离的平方.结合图形可知,可行域上的点到(-3,2)的距离中,dmin=1-(-3)=4,dmax=5 -(-3)=8.∴16≤z≤64. 故 z 的取值范围为[16,64].


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