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江西省南昌二中2016-2017学年高一数学下学期期末试卷(含解析)

江西省南昌二中2014-201 5学年高一(下)期末数学试卷

  一、选择题(12×5分=60分) 1.下列函数中,最小正周期为 的是(  )

  A.

B.

C.

D.

  2.把函数y=sin(2x﹣ )的图象向右平移 个单位,再向下平移2个单位所

得函数的解析式为(  )

  A. y=cos2x﹣2 B. y=﹣cos2x﹣2 C. y=sin2x﹣2 D.

y=﹣cos2x+2

 

3.某校现有高一学生210人,高二学生270人,高三学生300人,用分层抽样的

方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查,如果已知从高一学

生中抽取的人数为7,那么从高三学生中抽取的人数为(  )

  A. 7

B. 8

C. 9

D. 10

 

4.等差数列{an}的公差d≠0,a1=20,且a3,a7,a9成等比数列.Sn为{an}的前n

项和,则S10的值为(  )

  A. ﹣110

B. ﹣90

C. 90

D. 110

 

1

5.已知向量 、 的夹角为60°,

,若

,则 =

(  )

  A.

B.

C.

D.

 

6.甲、乙两人各自在300米长的直线形跑道上跑步,则在任一时刻两人在跑道

相距不超过50米的概率是(  )

  A.

B.

C.

D.

  7.甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则甲、乙所选的课程中至少有1门不相 同的概率等于(  )

  A.

B.

C.

D.

  8.若关于x的不等式x2+ax﹣2>0在区间[1,5]上有解,则实数a的取值范围为 (  )
  A. (﹣ ,+∞) B. [﹣ ,1] C. (1,+∞) D.

(﹣∞,﹣1)   9.下列程序图中,输出的B是(  )

  A. ﹣

B. ﹣

C. 0

D.

  10.已知关于x的方程﹣2x2+bx+c=0,若b,c∈{0,1,2,3},记“该方程有实 数根x1,x2且满足﹣1≤x1≤x2≤2”为事件A,则事件A发生的概率为(  )
2

  A.

B.

C.

D.

  11.已知数列{an}满足a1=1,|an﹣an﹣1|= (n∈N,n≥2),且{a2n﹣1}是递减

数列,{a2n}是递增数列,则12a10=(  )

  A. 6﹣

B. 6﹣

C. 11﹣

D. 11﹣

 

12.如图,给定两个平面单位向量 和 ,它们的夹角为120°,点C在以O为

圆心的圆弧AB上,且

(其中x,y∈R),则满足x+y≥ 的概率为

(  )

  A.

B.

C.

D.

    二、填空题(4×5分=20分)
13.已知向量 =(1, ),向量 , 的夹角是 , ? =2,则| |等于      

.   14.安排A,B,C,D,E,F六名义工照顾甲、乙、丙三位老人,每两位义工照 顾一位老人.考虑到义工与老人住址距离问题,义工A不安排照顾老人甲,义工 B不安排照顾老人乙,安排方法共有      .
3

  15.已知x>0,y>0,且

,若x+2y>m2+2m恒成立,则实数m的取值范围

是      .

  16.如果一个实数数列{an}满足条件:

(d为常数,n∈N*),则称

这一数列“伪等差数列”,d称为“伪公差”.给出下列关于某个伪等差数列{a

n}的结论:①对于任意的首项a1,若d<0,则这一数列必为有穷数列;②当d> 0,a1>0时,这一数列必为单调递增数列;③这一数列可以是一个周期数列; ④若这一数列的首项为1,伪公差为3, 可以是这一数列中的一项;n∈N*

⑤若这一数列的首项为0,第三项为﹣1,则这一数列的伪公差可以是



其中正确的结论是      .     三、解答题(共70分) 17.设函数f(x)=ax2+(b﹣2)x+3(a≠0) (1)若不等式f(x)>0的解集(﹣1,3).求a,b的值;
(2)若f(1)=2,a>0,b>0求 + 的最小值.

 

18.已知函数



(1)求函数f(x)的周期及单调递增区间; (2)在△ABC中,三内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知函数f(x)的图

象经过点

成等差数列,且

,求a的值.

  4

19.从某企业生产的某种产品中抽取20件,测量这些产品的一项质量指标值, 由测量得到如图所示的频率分布直方图1,从左到右各组的频数依次记为A1、A2 、A3、A4,A5. (1)求图1中a的值; (2)图2是统计图1中各组频数的一个算法流程图,求输出的结果S; (3)从质量指标值分布在[80,90)、[110,120)的产品中随机抽取2件产品 ,求所抽取两件产品的质量指标之差大于10的概率.
  20.某商场在今年“十一”黄金周期间采取购物抽奖的方式促销(每人至多抽 奖一次),设了金奖和银奖,奖券共2000张.在某一时段对30名顾客进行调查 ,其中有 的顾客没有得奖,而得奖的顾客中有 的顾客得银奖,若对这30名顾 客随机采访3名顾客. (1)求选取的3名顾客中至少有一人得金奖的概率; (2)求选取的3名顾客中得金奖人数不多于得银奖人数的概率.   21.已知数列{an}满足an+2=qan(q为实数,且q≠1),n∈N*,a1=1,a2=2,且a2 +a3,a3+a4,a4+a5成等差数列.
5

(Ⅰ)求q的值和{an}的通项公式; (Ⅱ)若下图所示算法框图中的ai即为(I)中所求,回答以下问题: (1)若记b所构成的数列为{bn},求数列{bn}的前n项和Sn (2)求该框图输出的结果S和i.
  22.已知数列{an}满足a1=a(a∈N*).a1+a2+…+an﹣pan+1=0(p≠0,p≠﹣1)n ∈N*). (1)数列{an}的通项公式; (2)对每一个正整数k,若将ak+1,ak+2,ak+3按从小到大的顺序排列后,此三项 均能构成等差数列,且记公差为dk.求p的值及相应的数列{dk}.    
6

江西省南昌二中2016-2017学年高一(下)期末数学试卷 参考答案与试题解析
  一、选择题(12×5分=60分)
1.下列函数中,最小正周期为 的是(  )

  A.

B.

C.

D.

考点:三角函数的周期性及其求法. 专题:计算题. 分析:
根据三角函数的周期性可知正弦、余弦型最小正周期为T= ,正切型最

小正周期为T= ,进而分别求得四个选项中的函数的最小正周期即可.

解答:

解:正弦、余弦型最小正周期为T= ,正切型最小正周期为T=

故A,C中的函数的最小正周期为π, B项中最小正周期为 ,D中函数的最小正周期为 , 故选B
7

点评: 本题主要考查了三角函数的周期性及其求法.考查了学生对三角函数周
期公式的灵活掌握.要求对周期公式能够顺向和逆向使用.   2.把函数y=sin(2x﹣ )的图象向右平移 个单位,再向下平移2个单位所
得函数的解析式为(  )   A. y=cos2x﹣2 B. y=﹣cos2x﹣2 C. y=sin2x﹣2 D. y=﹣cos2x+2
考点:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:
由条件利用诱导公式、函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得结 论. 解答:
解:把函数y=sin(2x﹣ )的图象向右平移 个单位,可得函数y=sin
[2(x﹣ )﹣ ]=sin(2x﹣ )=﹣cos2x 的图象;
再向下平移2个单位,可得函数的图象对应的解析式为y=﹣cos2x﹣2, 故选:B. 点评:
本题主要考查诱导公式的应用,函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律 ,属于基础题.  
8

3.某校现有高一学生210人,高二学生270人,高三学生300人,用分层抽样的

方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查,如果已知从高一学

生中抽取的人数为7,那么从高三学生中抽取的人数为(  )

  A. 7

B. 8

C. 9

D. 10

考点:分层抽样方法.

专题:概率与统计.

分析:

本题是一个分层抽样问题,根据所给的高一学生的总数和高一学生抽到

的人数,可以做出每个个体被抽到的概率,根据这个概率值做出高三学生被抽

到的人数.

解答:

解:∵由题意知高一学生210人,从高一学生中抽取的人数为7

∴可以做出每 =30人抽取一个人,

∴从高三学生中抽取的人数应为 =10.

故选D.

点评:

抽样选用哪一种抽样形式,要根据题目所给的总体情况来决定,若总体

个数较少,可采用抽签法,若总体个数较多且个体各部分差异不大,可采用系

统抽样,若总体的个体差异较大,可采用分层抽样.

 

4.等差数列{an}的公差d≠0,a1=20,且a3,a7,a9成等比数列.Sn为{an}的前n

项和,则S10的值为(  )

  A. ﹣110

B. ﹣90

C. 90

D. 110

考点:等差数列与等比数列的综合. 专题:等差数列与等比数列.
9

分析:利用等比关系求出数列的公差,然后求解S10的值.

解答:

解:设等差数列的公差为d,a3,a7,a9成等比数列.

可得:(20+6d)2=(20+2d)(20+8d),

解得d=﹣2,或d=0(舍去).

S10=20×10+

=110.

故选:D.

点评:

本题考查等差数列以及等比数列的通项公式的应用,等差数列的求和,

考查计算能力.

 

5.已知向量 、 的夹角为60°,

,若

,则 =

(  )

  A.

B.

C.

D.

考点:平面向量数量积的运算.

专题:平面向量及应用. 分析:由已知求出 2展开,利用数量积计算即可.

解答:

解:因为向量 、 的夹角为60°,

所以

=2,

所以 =(2

)2=

=16+4+8=28,

所以 =



故选D

点评:

本题考查了平面向量的数量积公式的运用求向量的模;一般的,没有坐

标表示的向量求模,先求其平方的值,然后开方求模.

 

10

6.甲、乙两人各自在300米长的直线形跑道上跑步,则在任一时刻两人在跑道 相距不超过50米的概率是(  )

  A.

B.

C.

D.

考点:几何概型. 专题:计算题;概率与统计. 分析:
设甲、乙两人各自跑的路程,列出不等式,作出图形,再列出相距不超 过50米,满足的不等式,求出相应的面积,即可求得相应的概率. 解答:

解:设甲、乙两人各自跑的路程为xm,ym,则

,表示的区域

如图所示,面积为90000m2, 相距不超过50米,满足|x﹣y|≤50,表示的区域如图阴影所示,其面积为(900 00﹣62500)m2=27500m2,

∴在任一时刻两人在跑道相距不超过50米的概率是

=

故选C.

点评: 解决此类问题的关键是熟练掌握几何概率模型的使用条件,以及几何概
率模型的计算公式. 11

  7.甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则甲、乙所选的课程中至少有1门不相 同的概率等于(  )

  A.

B.

C.

D.

考点:古典概型及其概率计算公式. 专题:概率与统计. 分析:
先求出甲、乙所选的课程都相同的概率,再根据互斥事件的概率公式计 算即可. 解答:
解:甲、乙两人从4门课程中各选修2门,共有C42×C42=36种选法, 甲、乙所选的课程都相同的共有C42=6种, 故甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的概率P=1﹣ = ,
故选:D. 点评:
本题考查了互斥事件的概率公式,关键是求出甲、乙所选的课程都相同 的种数.   8.若关于x的不等式x2+ax﹣2>0在区间[1,5]上有解,则实数a的取值范围为 (  )
  A. (﹣ ,+∞) B. [﹣ ,1] C. (1,+∞) D.
(﹣∞,﹣1)
考点:一元二次不等式的解法. 12

专题:函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析:
利用分离常数法得出不等式a> ﹣x在x∈[1,5]上成立,根据函数f(x

)= ﹣x在x∈[1,5]上的单调性,求出a的取值范围.

解答:

解:关于x的不等式x2+ax﹣2>0在区间[1,5]上有解,

∴ax>2﹣x2在x∈[1,5]上有解,

即a> ﹣x在x∈[1,5]上成立;

又函数f(x)= ﹣x在x∈[1,5]上是单调减函数,

且f(x)min=f(5)= ﹣5=﹣ , ∴a>﹣ ;

即实数a的取值范围为(﹣ ,+∞).
故选:A. 点评:
本题考查了不等式的解法与应用问题,也考查了函数的图象与性质的应 用问题,是综合性题目.   9.下列程序图中,输出的B是(  )

  A. ﹣

B. ﹣

C. 0

D.

13

考点:程序框图.

专题:图表型;三角函数的图像与性质.

分析:

模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的A,B,i的值,观察规律可

知B的取值以3为周期,故当i=2015时,B=0,当i=2016时不满足条件i≤2015,

退出循环,输出B的值为0.

解答:

解:模拟执行程序框图,可得

A= ,i=1

A= ,B=﹣ ,i=2,满足条件i≤2015, A=π,B=0,i=3,满足条件i≤2015, A= ,B= ,i=4,满足条件i≤2015,

A= ,B=﹣ ,i=5,满足条件i≤2015,
A=2π,B=0,i=6,满足条件i≤2015, … 观察规律可知,B的取值以3为周期,由2015=3×671+2,故有 B=﹣ ,i=2015,满足条件i≤2015, B=0,i=2016,不满足条件i≤2015, 退出循环,输出B的值为0. 故选:C. 点评:
本题主要考查了循环结构的程序框图,依次写出每次循环得到的A,B,i 的值,观察规律可知B的取值以3为周期是解题的关键,属于基本知识的考查.  
14

10.已知关于x的方程﹣2x2+bx+c=0,若b,c∈{0,1,2,3},记“该方程有实 数根x1,x2且满足﹣1≤x1≤x2≤2”为事件A,则事件A发生的概率为(  )

  A.

B.

C.

D.

考点:等可能事件的概率.

专题:计算题;压轴题;概率与统计.

分析:

基本事件总数n=4×4=16.①当b=0时,满足条件的基本事件有3个;②当

b=1时,满足条件的基本事件有4个;③当b=2时,满足条件的基本事件有4个;

④当b=3时,满足条件的基本事件有3个.由此能求出事件A发生的概率.

解答:

解:基本事件总数n=4×4=16.

①当b=0时,

c=0,2x2=0成立;c=1,2x2=1,成立;c=2,2x2=2,成立;

c=3,2x2=3,不成立.

满足条件的基本事件有3个;

②当b=1时,

c=0,2x2﹣x=0,成立;c=1,2x2﹣x=1,成立;c=2,2x2﹣x﹣2=0,成立;

c=3,2x2﹣x﹣3=0,成立.

满足条件的基本事件有4个;

③当b=2时,

c=0,2x2﹣2x=0,成立;c=1,2x2﹣2x﹣1=0,成立;c=2,2x2﹣2x﹣2=0,成立



c=3,2x2﹣2x﹣3=0,成立.

满足条件的基本事件有4个;

④当b=3时,

c=0,2x2﹣3x=0,成立;c=1,2x2﹣3x﹣1=0,成立;c=2,2x2﹣3x﹣2=0,成立



15

c=3,2x2﹣3x﹣3=0,不成立. 满足条件的基本事件有3个. ∴满足条件的基本事件共有:3+4+4+3=14个.
∴事件A发生的概率为p= = .

故选C. 点评:
本题考查概率的求法,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答,注意 列举法的合理运用.  
11.已知数列{an}满足a1=1,|an﹣an﹣1|= (n∈N,n≥2),且{a2n﹣1}是递减

数列,{a2n}是递增数列,则12a10=(  )

  A. 6﹣

B. 6﹣

C. 11﹣

D. 11﹣

考点:数列递推式. 专题:点列、递归数列与数学归纳法. 分析:
根据数列的单调性和|an﹣an﹣1|= ,由不等式的可加性,求出a2n﹣a2n﹣1

=

和a2n+1﹣a2n= ,再对数列{an}的项数分类讨论,利用累加法和等比

数列前n项和公式,求出数列{an}的偶数项对应的通项公式,则12a10可求.

解答:

解:由|an﹣an﹣1|= ,

则|a2n﹣a2n﹣1|= ,|a2n+2﹣a2n+1|=



16

∵数列{a2n﹣1}是递减数列,且{a2n}是递增数列, ∴a2n+1﹣a2n﹣1<0,且a2n+2﹣a2n>0, 则﹣(a2n+2﹣a2n)<0,两不等式相加得 a2n+1﹣a2n﹣1﹣(a2n+2﹣a2n)<0,即a2n﹣a2n﹣1<a2n+2﹣a2n+1,

又∵|a2n﹣a2n﹣1|= >|a2n+2﹣a2n+1|=



∴a2n﹣a2n﹣1<0,即



同理可得:a2n+3﹣a2n+2<a2n+1﹣a2n, 又|a2n+3﹣a2n+2|<|a2n+1﹣a2n|,

则a2n+1﹣a2n=



当数列{an}的项数为偶数时,令n=2m(m∈N*),

,…,





这2m﹣1个等式相加可得,a2m﹣a1=﹣( ),

)+(



=



∴12a10=



故选:D. 点评:
本题考查了等差数列的通项公式,等比数列前n项和公式、数列的单调性 17

,累加法求数列的通项公式,不等式的性质等,同时考查数列的基础知识和化

归、分类整合等数学思想,以及推理论证、分析与解决问题的能力.本题设计

巧妙,题型新颖,立意深刻,是一道不可多得的好题,难度很大.

 

12.如图,给定两个平面单位向量 和 ,它们的夹角为120°,点C在以O为

圆心的圆弧AB上,且

(其中x,y∈R),则满足x+y≥ 的概率为

(  )

  A.

B.

C.

D.

考点:向量在几何中的应用.

专题:常规题型;计算题.

分析:根据题意,建立坐标系,设出A,B点的坐标,并设∠AOC=α,则由 得x,y的值,从而求得x+y,结合正弦函数的性质可求满足条件的

角α的范围,可求

解答:

解:建立如图所示的坐标系,

则A(1,0),B(cos120°,sin120°),

即B(﹣



设∠AOC=α,则 =(cosα,sinα)



=(x,0)+(﹣ , )=(cosα,sinα).

18





∴x+y= sinα+cosα=2sin(α+30°). ∵0°≤α≤120°. ∴30°≤α+30°≤150°.
当x+y≥ 时,可得sin(α+30°)

∴45°≤α+30°≤135°即15°≤α≤105°,

∴满足x+y≥ 的概率P=

=

故选B

点评: 本题是向量的坐标表示的应用,结合图形,利用三角函数的性质,容易
求出结果.   二、填空题(4×5分=20分)
19

13.已知向量 =(1, ),向量 , 的夹角是 , ? =2,则| |等于 2  .

考点:平面向量数量积的运算.

专题:平面向量及应用.

分析:由向量的坐标可求的向量的模再由向量数量积的定义即可得出答案.

解答:

解:∵| |=

又∵

即:
∴ 故答案为:2 点评:
本题考察了向量的坐标以及向量数量积的定义,求出 的模是关键,属于 基础题.   14.安排A,B,C,D,E,F六名义工照顾甲、乙、丙三位老人,每两位义工照 顾一位老人.考虑到义工与老人住址距离问题,义工A不安排照顾老人甲,义工 B不安排照顾老人乙,安排方法共有 42 .

考点:计数原理的应用. 专题:排列组合. 分析:
根据义工A,B有条件限制,可分A照顾老人乙和A不照顾老人乙两类分析 ,A照顾老人乙时,再从除B外的4人中选1人;A不照顾老人乙时,老人乙需从除 A、B外的4人中选2人,甲从除A外的剩余3人中选2人.
20

解答:

解:当A照顾老人乙时,共有C41C42C22=24种不同方法;

当A不照顾老人乙时,共有C42C32C22=18种不同方法.

∴安排方法有24+18=42种,

故答案为:42.

点评:本题考查有条件限制排列组合问题,关键是正确分类,是基础题.

 

15.已知x>0,y>0,且

,若x+2y>m2+2m恒成立,则实数m的取值范围

是 ﹣4<m<2 .

考点:函数恒成立问题. 专题:计算题;压轴题. 分析:
先把x+2y转化为(x+2y)

展开后利用基本不等式求得其最小值

,然后根据x+2y>m2+2m求得m2+2m<8,进而求得m的范围.

解答:

解:∵

,∴x+2y=(x+2y)

=4+ + ≥4+2 =8

∵x+2y>m2+2m恒成立, ∴m2+2m<8,求得﹣4<m<2

故答案为:﹣4<m<2.

点评:

本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用.考查了学生分析问题

和解决问题的能力.

  16.如果一个实数数列{an}满足条件:

(d为常数,n∈N*),则称

这一数列“伪等差数列”,d称为“伪公差”.给出下列关于某个伪等差数列{a

n}的结论:①对于任意的首项a1,若d<0,则这一数列必为有穷数列;②当d> 21

0,a1>0时,这一数列必为单调递增数列;③这一数列可以是一个周期数列; ④若这一数列的首项为1,伪公差为3, 可以是这一数列中的一项;n∈N*

⑤若这一数列的首项为0,第三项为﹣1,则这一数列的伪公差可以是



其中正确的结论是 ①③④ .

考点:数列递推式.

专题:点列、递归数列与数学归纳法.

分析: 通过

=an+d会随着n的增大而减小,易知①正确;通过an+1=±

可知②不正确;不妨取伪公差d=0即得这一数列是周期数列故③正确;通过代入

计算可知④正确;通过首项及平方≥0即得⑤不正确.

解答:

解:①∵伪公差d<0,

(d为常数,n∈N*),

∴ =an+d会随着n的增大而减小,

易知这一数列必为有穷数列,故正确;

②当d>0,a1>0时,

∵an+1=±



∴这一数列不是单调递增数列,故不正确;

③易知当伪公差d=0时,这一数列是周期数列,故正确;

④∵a1=1,d=3,

∴a2=±

=±2,

∴当a2=2时a3=±

,故正确;

⑤∵a1=0,a3=﹣1, ∴ =a1+d=d,

∴d≥0,



<0,故不正确;

综上所述:①③④正确,②⑤不正确, 22

故答案为:①③④. 点评:本题考查考查数列的性质,注意解题方法的积累,属于中档题.   三、解答题(共70分) 17.设函数f(x)=ax2+(b﹣2)x+3(a≠0) (1)若不等式f(x)>0的解集(﹣1,3).求a,b的值;
(2)若f(1)=2,a>0,b>0求 + 的最小值.

考点:一元二次不等式的解法;基本不等式. 分析:
(1)由不等式f(x)>0的解集(﹣1,3).﹣1,3是方程f(x)=0的 两根,由根与系数的关系可求a,b值; 解答:
解:(1)由f(x)<0的解集是(﹣1,3)知﹣1,3是方程f(x)=0的

两根,由根与系数的关系可得

,解得

(2)f(1)=2得a+b=1, ∵a>0,b>0

∴(a+b)( )=5+ =5+2

≥9

∴ 的最小值是9

点评:此题考查了不等式的解法,属于基础题  

18.已知函数



23

(1)求函数f(x)的周期及单调递增区间; (2)在△ABC中,三内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知函数f(x)的图

象经过点

成等差数列,且

,求a的值.

考点: 三角函数中的恒等变换应用;平面向量数量积的运算;三角函数的周期性及
其求法. 专题:三角函数的图像与性质;解三角形. 分析:
(1)利用两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简函数为一个角的一 个三角函数的形式,通过周期公式求函数f(x)的周期,利用正弦函数的单调 增区间求解函数的单调递增区间;

(2)通过函数f(x)的图象经过点

成等差数列,求出A以

及列出abc的关系,利用

解答:

解:

,求出bc的值,通过余弦定理求a的值.

=

…(3分)

(1)最小正周期:

,…(4分)



可解得:



24

所以f(x)的单调递增区间为:



…(6分) (2)由

可得:

∴ ,…(8分)

又∵b,a,c成等差数列, ∴2a=b+c,…(9分)





∴bc=18 …(10分)







.…(12分)

点评:

本题考查三角形的解法,两角和与差的三角函数以及二倍角公式的应用,三

角函数的图象与性质,基本知识的考查.

 

19.从某企业生产的某种产品中抽取20件,测量这些产品的一项质量指标值,

由测量得到如图所示的频率分布直方图1,从左到右各组的频数依次记为A1、A2 、A3、A4,A5. (1)求图1中a的值;

(2)图2是统计图1中各组频数的一个算法流程图,求输出的结果S;

(3)从质量指标值分布在[80,90)、[110,120)的产品中随机抽取2件产品

,求所抽取两件产品的质量指标之差大于10的概率.

25

考点:列举法计算基本事件数及事件发生的概率;程序框图.

专题:图表型;概率与统计;算法和程序框图.

分析:

解:(1)依题意,利用频率之和为1,直接求解a的值.

(2)由频率分布直方图可求A1,A2,A3,A4,A5的值,由程序框图可得S=A2+A3+ A4,代入即可求值. (3)记质量指标在[110,120)的4件产品为x1,x2,x3,x4,质量指标在[80, 90)的1件产品为y1,可得从5件产品中任取2件产品的结果共10种,记“两件产 品的质量指标之差大于10”为事件A,可求事件A中包含的基本事件共4种,从而

可求得P(A).

解答:

解:(1)依题意,(2a+0.02+0.03+0.04)×10=1

解得:a=0.005

(2)A1=0.005×10×20=1,A2=0.040×10×20=8,A3=0.030×10×20=6,A4=0. 020×10×20=4,A5=0.005×10×20=1 故输出的S=A2+A3+A4=18 (3)记质量指标在[110,120)的4件产品为x1,x2,x3,x4,质量指标在[80, 90)的1件产品为y1,

26

则从5件产品中任取2件产品的结果为:(x1,x2),(x1,x3),(x1,x4), (x1,y1),(x2,x3), (x2,x4),(x2,y1),(x3,x4),(x3,y1),(x4,y1)共10种, 记“两件产品的质量指标之差大于10”为事件A, 则事件A中包含的基本事件为:(x1,y1),(x2,y1),(x3,y1),(x4,y1 )共4种
所以可得:P(A)= = .
即从质量指标值分布在[80,90)、[110,120)的产品中随机抽取2件产品,所
抽取两件产品的质量指标之差大于10的概率为
点评: 本题考查读频率分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力,利用
统计图获取信息时,必须认真观察、分析、研究统计图,才能作出正确的判断 和解决问题,属于中档题.   20.某商场在今年“十一”黄金周期间采取购物抽奖的方式促销(每人至多抽 奖一次),设了金奖和银奖,奖券共2000张.在某一时段对30名顾客进行调查
,其中有 的顾客没有得奖,而得奖的顾客中有 的顾客得银奖,若对这30名顾
客随机采访3名顾客. (1)求选取的3名顾客中至少有一人得金奖的概率; (2)求选取的3名顾客中得金奖人数不多于得银奖人数的概率.

考点:古典概型及其概率计算公式;互斥事件的概率加法公式.

专题:概率与统计.

分析:

(1)先求出个奖项的人数,再根据互斥事件的公式计算即可;

27

(2)设得金奖、银奖和不得奖的人数分别为x,y,z,得到选取的3名顾客中得

金奖人数不多于得银奖人数可分解为下列两个互斥事件:B0:x=0和B1:x=1,y

=1,z=1或x=1,y=2,z=0,分别求出P(B0),P(B1),问题得以解决.

解答:

解:(1)依题意得,在接受采访的30人中,没有得奖的人数为

,得奖人数为10,得银奖人数为

,得金奖人数为4,

设三人中至少一人得金奖为事件A,则







(2)设得金奖、银奖和不得奖的人数分别为x,y,z, ∵x≤y,x+y+z=3, ∴选取的3名顾客中得金奖人数不多于得银奖人数可分解为下列两个互斥事件: B0:x=0和B1:x=1,y=1,z=1或x=1,y=2,z=0,



,P(B1)=

=,





点评: 本题考查了互斥事件的概率公式,以及古典概型的概率问题,关键是对
于排列组合的应用,属于中档题.   21.已知数列{an}满足an+2=qan(q为实数,且q≠1),n∈N*,a1=1,a2=2,且a2 +a3,a3+a4,a4+a5成等差数列. (Ⅰ)求q的值和{an}的通项公式; (Ⅱ)若下图所示算法框图中的ai即为(I)中所求,回答以下问题: (1)若记b所构成的数列为{bn},求数列{bn}的前n项和Sn (2)求该框图输出的结果S和i.
28

考点:程序框图;数列的求和. 专题:点列、递归数列与数学归纳法;算法和程序框图. 分析:
(I)由a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列,可解得即a4﹣a2=a5﹣a3,即a2 (q﹣1)=a3(q﹣1).又q≠1,解得a3=a2=2,从而解得q=2,分情况讨论即可 得解{an}的通项公式;

(Ⅱ)由(I)得b

.设{bn}的前n项和为Sn,则可求Sn, Sn,

错位两式相减,整理得Sn=4﹣ ,又

,n∈N*

恒成立,既得数列{Sn}单调递增,结合

,从而得解.

解答: 解:(I)由已知,有2(a3+a4)=(a2+a3)+(a4+a5),即a4﹣a2=a5﹣a3
,所以a2(q﹣1)=a3(q﹣1).又因为q≠1,故a3=a2=2,由a3=qa1,得q=2.

29

当n=2k﹣1(k∈N*)时,an=a2k﹣1=2k﹣1=2



当n=2k(k∈N*)时,an=a



所以,{an}的通项公式为an=



(Ⅱ)由(I)得b Sn=1×
Sn=1×

.设{bn}的前n项和为Sn,则 ,


上述两式相减,得 Sn=1

=

﹣ =2﹣ ﹣ ,

整理得,Sn=4﹣ .

所以,数列{bn}的前n项和为4﹣ ,n∈N*,



,n∈N*恒成立

所以数列{Sn}单调递增,又



所以输出的结果:



30

点评: 本题主要考查了循环结构的程序框图,数列通项公式及数列求和的解法
,综合性较强,属于基本知识的考查.   22.已知数列{an}满足a1=a(a∈N*).a1+a2+…+an﹣pan+1=0(p≠0,p≠﹣1)n ∈N*). (1)数列{an}的通项公式; (2)对每一个正整数k,若将ak+1,ak+2,ak+3按从小到大的顺序排列后,此三项 均能构成等差数列,且记公差为dk.求p的值及相应的数列{dk}.

考点:数列递推式;等差数列的性质. 专题:点列、递归数列与数学归纳法. 分析:
(1)根据数列的递推关系利用作差法结合等比数列的定义即可求数列{a n}的通项公式; (2)求出ak+1,ak+2,ak+3的表达式,结合等差数列的定义建立方程关系进行求 解即可. 解答:
解:(1)因为a1+a2+…+an﹣pan+1=0,所以n≥2时,a1+a2+…+an﹣1﹣pan= 0,两式相减,



,故数列{an}从第二项起是公比是 的等比数列.

又当n=1时,a1﹣pa2=0,解得 ,从而

(2)由(1)得





. ,

31

若ak+1为等差中项,则2ak+1=ak+2+ak+3,即





解得

,此时





注意到(﹣2)k﹣1与(﹣2)k异号,所以



若ak+2为等差中项,则2ak+2=ak+1+ak+3,即

,此时无解;

若ak+3为等差中项,则2ak+3=ak+1+ak+2,即





解得

,此时





注意到



同号,所以



综上所述,









点评: 本题主要考查数列通项公式的求解,利用等差数列和等比数列的定义和
通项公式是解决本题的关键.考查学生的运算能力.  

32


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