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3.2.1对数的概念1


3.2.1对数的概念(1)

新课引入:

1.庄子:一尺之棰,日取其半,万世不竭。 (1)取4次,还有多长?

?1? ? ? ?? ?2?
(2)取多少次,还有0.125尺?

4

?1? ? ? ? 0.125 ? x ? ? ?2?
这是已知底数和幂的值,求指数!

x

5 2.在式子2 =32中,
有三个数2(底数), 5(指数)和32(幂) (1)由底数2,指数5得到幂32 乘方运算。 5 的运算是: 记为: 2 =32

(2)由幂32,指数5得到数底数2开方运算。 的运算是: 5

记为:32 ? 2

(3)由底数2,幂32得到指数5的 对数运算! 运算是: 5

记为:log 2 32 ? 5 由 2 =32,

一、定义: 一般地,如果 a?a ? 0, a ? 1?
的x次幂等于N, 就是

a ? N ,那么数 x
x
a

叫做 以a为底 N的对数,记作 log

N?x

a叫做对数的底数,N叫做真数。
思考:指数式 a 的关系
x

? N 与对数式 log a N ? x

二、指数式与对数式的关系

log N X a = ↓↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 底数 指数 幂 底数 真数 对数
( a ? 0, a ? 1)
指数式中的底数

X a =N

? 指数式中的幂 ? 指数式中的指数 ?

对数式中的底数

对数式中的真数
对数式中的对数

5

例如:
2

1 log 4 2 ? ? 4 ?2 2 ?2 10 ? 0.01 ? log10 0.01 ? ?2
1 2

4 ? 16 ? log4 16 ? 2 2 10 ? 100 ? log10 100 ? 2

例1 将下列指数式写成对数式:
(1) 5
(2)

? 625? log5 625 ? 4 1 1 ?6 2 ? ? log 2 ? ?6 64 64
4

(3)

3 ? 27 ? log3 27 ? a
a
m

1 ? (4)? ? ? ? 5.13 ? log1 5.13 ? m ? 3? 3

练习把下列指数式写成对数式: (1)

2 ? 8 ? log2 8 ? 3
3
?1

(2) 5

2 ? 32 ? log2 32 ? 5

1 1 ? log 2 ? ?1 (3)2 ? 2 2 1 ? 1 1 1 (4)27 3 ? ? log 27 ? ? 3 3 3

例2 将下列对数式写成指数式: ?3 1 ? ? log 27 ? ? 3 ? (1) 1 ? ? ? 27 3 ? 3? 1 1 ?3 (2)log 5 ? ?3 ? 5 ? 125 125
(3)log e 10 ? 2.303 ? (4)log

e

2.303
?2

? 10

0 . 01 ? ? 2 ? 10 ? 0 . 01 10

练习将下列对数式写成指数式: (1) log3 9 ? 2 ?

3 ?9
2

(2) log

5

125 ? 3 ? 5

3

? 125

1 1 ?2 ? ?2 ? 2 ? (3) log 2 4 4 1 1 ? 4 (4) log 3 ? ?4 ? 3 ? 81 81

探究 在对数式: log a N ? x 中 1.N的范围? 2.当N=1,N=a时X值分别是多少?

⑴负数与零没有对数 (∵在指数式中幂 N > 0 )


恒等式一: log a 1 ? 0, 恒等式二: log a a ? 1

3.在对数式中有其它恒等式吗?

log N a 恒等式三:a ?N

x 恒等式四: log a a ? x

三、对数的性质:
⑴负数与零没有对数(N>0) ⑵ ⑶ ⑷ ⑸

loga 1 ? 0,

loga a ? 1
a
log a N
x

?N

loga a ? x

例3计算: (1)log9 27

(2)log4

81 3
3

(3)log ?2? (4)log3
5
4

? ? 2 ? 3 ?

625

四、常用对数和自然对数:
为了简便,N的常用对数

我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。

log 10 N

简记作 lgN
以e为底的对数叫自然对数。 为了简便,N的自然对数 log e 简记作 lnN

在科学技术中常常使用无理数e=2.71828……

N

练习求下列各式的值:

(1)log5

25 ? 2

25 ? 1 (3)lg10 ? 1 (4)lg 0.01 ? ? 2
(2)log25

?3 (6)lg 0.001 ? ?3
(5)lg 1000

练习求下列各式的值:

?2 (4)log3 243 ? 5
(3)log25 625 (5)lg

?0 (2)log9 81 ? 2
(1)log0.5 1

? 3 64 4
2 2

(6)log

?2

小结 :

1.定义:一般地,如果 a?a ? 0, a ? 1?

的b次幂等于N, 就是

a ?N
X

,那么数 X叫做

以a为底 N的对数,记作 loga N ? X a叫做对数的底数,N叫做真数。

log N X a = ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 底数 指数 幂 底数 真数 对数

X a =N

2.对数的性质:

⑴负数与零没有对数
⑵ loga 1 ? 0,

⑶ loga a ? 1
⑷ a loga N ? N
x log a ?x ⑸ a

课后作业:
习题2.2A组 1 .2 题


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