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江苏省泰兴中学高二数学选修2-2教学案:第2章6数学归纳法一

江苏省泰兴中学高二数学讲义(49) 数学归纳法(一) 【教学目标】 1.理解数学归纳法公理; 2.能正确根据两个步骤证明与正整数有关的命题. 【重点难点】 重点:掌握用数学归纳法证明命题的方法与步骤. 难点:从 n=k 成立,推证到 n=k+1 成立,是证明中需突破的关键,也是证明中的难点. 【预习导引】 1.用数学归纳法证明“1 ? a ? a 2 ? K ? a n?1 ? 1 ? a (a ? 1) ” ,在验证 n=1时,左端计算所得 1? a 项为________________ 2. 用 数 学 归 纳 法 证 明 “ 当 n 为 正 奇 数 时 , x n ? y n 能 被 x+y 整 除 ” 的 第 二 步 是 ___________________________ 3.在数列 {an }中, a n ? 1 ? 【典型例题】 例1 1 ? 2 ? 3 ?K ? n ? 用数学归纳法证明:当 n ? N 时, 2 2 2 2 ? n?2 1 1 1 1 1 ? ? ?K ? ? , 则ak ?1 ? ak +________________ 2 3 4 2n ? 1 2n n( n ? 1)(2n ? 1) 6 例2 证明: 1 1 1 13 ? ?K ? ? (n ? 2, n ? N * ) n ?1 n ? 2 2n 24 例 3 是否存在常数 a、b、c 使得等式 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? K ? n( n ? 1) ? 2 2 2 2 n( n ? 1) 12 ( an ? bn ? c) 对 2 于一切正整数 n 都成立,并证明你的结论. 【学后反思】 1.一般的,对于证明与自然数有关的命题可以用数学归纳法,证明分两步: 第一步________________________________________________________ ; 第二步:_________________________________________________________. 2.用数学归纳法证明时,第一步是验证命题递推的基础,第二步是验证命题递推的依据,两 个步骤密切相关,缺一不可.第二步的证明必需用到归纳假设 ,否则就不是数学归纳法. .............. 3.用数学归纳法验证第一步时,有时取 n=1,有时是某个大于 的某个常数 ,要看命题具体 ....1 . ..... 给出的条件;由 n=k 成立,证 n=k+1 成立时,要注意左右两边各添加了哪些项 . ........... 【课堂练习】 1.用数学归纳法证明 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ??? ? (2n ? 1) ? (n ? 1)(2n ? 1) ,在验证 n ? 1 时等式成立时, 等式的左边的式子是 2.用数学归纳法证明 (n ? 1)(n ? 2)(n ? 3) ??? (n ? n) ? 2 ?1? 3 ??? (2n ?1)(n ? N ) 从 n ? k 到 n * n ? k ? 1 ,左边需增乘的代数式为 江苏省泰兴中学高二数学课后作业(49) 班级: 姓名: 学号: 1.在证明凸多边形的内角和为(n-2)×180°时,第一步应验证 2.数列{ an }中,已知 a1=1,当 n≥2 时当 an ? an?1 ? 2n ?1 ,依次计算 a2 , a3 , a4 后, 猜想 an 的表达式是 3.用数学归纳法证明等式: “1+2+3+?+(n+3)= (n ? 3)( n ? 4) ? (n? N ) , 2 当 n=1 时,等式应为_____________________________. 4.用数学归纳法证明 1 ? 1 1 1 ? ?K ? n ? n(n ? 1) 时,由 n=k (k>1)不等式成立,推证 n 2 3 2 ?1 =k+1 时,左边应增加的代数式的个数是 5.证明“ 2 ? n ? 1 对于 n ? n0 的自然数 n 都成立”时,第一步证明中起始值 n0 应取 n 2 6.用数学归纳法证明: 1? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? ... ? n( n ? 1) ? 1 n( n ? 1)( n ? 2) 3 7.已知 x>-1,且 x≠0,n∈N, 且 n≥2,求证: (1 ? x) ? 1 ? nx n 8.比较 2 与2n 的大小, n ? N ,先分别取 n=1,2,3,4,5 加以试验,根据结果猜测一 n ? 个一般性的结论,再用数学归纳法证明. 9. 已知数列 {an } 满足 a1 = 1 ,且 4an?1 ? an an?1 ? 2an ? 9(n ? N * ) (1) 求 a2 , a3 , a4 ; (2)由(1)猜想通项公式 an (3)用数学归纳法证明(2)的结果.

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