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「精品」2018-2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2椭圆的几何性质作业苏教版选修1-1

小中高 精选 教案 试卷 选集 2.2.2 椭圆的几何性质 [基础达标] 1.椭圆 x2+my2=1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则 m 的值为________. 解析:把椭圆的方程化为标准形式y12+x12=1???1m>1???,故 a2=1m,b2=1,所以 a= m 1m,b= 1,2 1m=4,解得,m=14,符合题意. 答案:14 2.已知椭圆的短半轴长为 1,离心率 e 满足 0<e≤ 23,则长轴的最大值是________. 解析:由 e2=ca22=a2-a2 b2=a2a-2 1, a2-1 3 得 0< a2 ≤4, 解得 1<a2≤4. 故 1<a≤2,2<2a≤4.即长轴的最大值是 4. 答案:4 3.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是 ________. 解析:由题意知 2b=a+c,又 b2=a2-c2, ∴4(a2-c2)=a2+c2+2ac. ∴3a2-2ac-5c2=0, ∴5c2+2ac-3a2=0. ∴5e2+2e-3=0, ∴e=35或 e=-1(舍去). 答案:35 4.已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点,满足M→F1·M→F2=0 的点 M 总在椭圆内部,则椭圆离心率 的取值范围是________. 解析:结合图形(图略),转化为 c<b. 答案:???0, 22??? x2 y2 5.设 P 为椭圆a2+b2=1(a>b>0)上一点,F1,F2 是椭圆的两个焦点,如果∠PF1F2=75°, ∠PF2F1=15°,则椭圆的离心率是________. 解析:在 Rt△PF1F2 中,由正弦定理, 得sinPF115°=sinPF725°=sinF1F920°=2c, ∴sin PF1+PF2 15°+sin 75°=2c. 由椭圆的定义,知 PF1+PF2=2a. 精选资料 值得拥有 1 小中高 精选 教案 试卷 选集 代入上式,有 e=ca=sin 1 75°+sin 15°= 36. 答案: 6 3 6.在平面直角坐标系 xOy 中,以椭圆xa22+yb22=1(a>b>0)上的一点 A 为圆心的圆与 x 轴相 切于椭圆的一个焦点,与 y 轴相交于 B、C 两点,若△ABC 是锐角三角形,则该椭圆的离心率 的取值范围是________. b2 解析:由题意得,圆半径 r= a ,因为△ABC 是锐角三角形,所以 cos 0>cosA2=cr>cosπ4 , 即 2c 2 <r<1,所以 2 ac 2 <a2-c2<1,即 2e 2 <1-e2<1,解得 e∈??? 6- 2 2 , 52-1???. 答案:??? 6- 2 2, 52-1??? 7.已知椭圆的中心在原点,对称轴为坐标轴,焦点在 x 轴上,短轴的一个顶点 B 与两个 焦点 F1,F2 组成的三角形的周长为 4+2 3,且∠F1BF2=23π ,求椭圆的标准方程. 解:设长轴长为 2a,焦距为 2c,则在△F2OB 中,由∠F2BO=π3 得:c= 23a,所以△F2BF1 的周长为 2a+2c=2a+ 3a=4+2 3,∴a=2,c= 3,∴b2=1;故所求椭圆的标准方程为x42 +y2=1. 8.已知椭圆 C1:x42+y2=1,椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴,且与 C1 有相同的离心率. (1)求椭圆 C2 的方程; (2)设 O 为坐标原点,点 A,B 分别在椭圆 C1 和 C2 上, →OB=2O→A,求直线 AB 的方程. 解:(1)由已知可设椭圆 C2 的方程为ya22+x42=1(a>2), 其离心率为 23,故 a2-4 a= 23,则 a=4, y2 x2 故椭圆 C2 的方程为16+ 4 =1. (2)A,B 两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB),由O→B=2O→A及(1)知,O,A,B 三点共线 且点 A,B 不在 y 轴上,因此可设直线 AB 的方程为 y=kx. 将 y=kx 代入x42+y2=1 中,得(1+4k2)x2=4, 所以 x2A=1+44k2, 将 y=kx y2 x2 代入16+ 4 =1 中,得(4+k2)x2=16, 所以 x2B=4+16k2, 又由→OB=2O→A,得 x2B=4x2A,即4+16k2=1+164k2, 解得 k=±1,故直线 AB 的方程为 y=x 或 y=-x. [能力提升] 精选资料 值得拥有 2 小中高 精选 教案 试卷 选集 x2 y2 1.过椭圆 5 + 4 =1 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A,B 两点,O 为坐标原 点,则△OAB 的面积为________. x2 y2 解析:椭圆 5 + 4 =1 的右焦点 F2(1,0) , 故 直 线 AB 的方程 y = 2(x - 1) , 由 ???x52+y42=1 ??y= x- ,消去 y,整理得 3x2-5x=0,设 A(x1,y1),B(x2,y2),x1<x2, 则 x1,x2 是方程 3x2-5x=0 的两个实根,解得 x1=0,x2=53,故 A(0,-2),B???53,43???, 故 S△OAB=S△OFA+S△OFB=12×???|-2|+43???×1=53. 5 答案:3 2.设 F1、F2 是椭圆 E:xa22+yb22=1(a>b>0)的左、右焦点,P 为直线 x=32a上一点,△F2PF1 是底角为 30°的等腰三角形,则 E 的离心率为________. 解析:由题意,知∠F2F1P=∠F2PF1=30°, ∴∠PF2x=60°. ∴PF2=2×???32a-c???=3a-2c. ∵F1F2=2c,F1F2=PF2, ∴3a-2c=2c,∴e=ca=34. 3 答案:4

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