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圆的基本性质9:与圆有关的比例线段

圆的基本性质 9:

与圆有关的比例线段 295.如图 7-168,⊙O 中半径 OC 与弦 AB 相交于点 P,AP=3,BP=5,CP=1,则⊙O 的
半径为___;如果另一条弦 CD 平分 AB,C 到 AB 中点的距离为 2,则 CD=____.

296.如图 7-169,已知△ABC 内接于⊙O,过 A 点作⊙O 的切线 AE,并作 BD∥AE 交 AC 于点 D,且 AC=6,AD=4,则 AB=____.

297.如图 7-170,在 Rt△ABC 中,∠B=90°,AC 切①O 于点 D,割线 CFG 过圆心,已知 ①O 的直径 EB=6 厘米,AD=4 厘米,则 AE=____ ;CO=_____

298.如图 7-171,在⊙O 中,弦 AB 和直径 CD 相交于点 P,M 是 DC 延长线上的一点, MN 是⊙O 切线,N 是切点,若 AP=8,PB=6,PD=4,MC=6,则 MN=____.

299.如图 7-172,在⊙O 中,半径 R=6,OM⊥CD,CD=6,BM=9,则 AM=_____; AB=___;

AC = ____; O 到 AB 的距离 OH=____· BD

300.△ABC 内接于⊙O,过 A 点作圆的切线,交 BC 的延长线于 P 点,∠APB 的平分线与 AB、AC 分别相交于点 E、F,则( )等式成立. (A)AE?AF=BE?CF (B)AE?CF=AF?BE (C)AE?BE=AF?CF (D)AE?AB=AF?AC 301.如图 7-173,已知⊙01 交⊙02 于点 C、F,EF 切⊙02 于点 F,交⊙O1 于点 E,AD 过 点,交两圆于点 A、D,AB=3 厘米,BC=4 厘米,CD=5 厘米,求 EF 的长.

302.在⊙O 中,弦 AB、CD 相交于点 P,且 PA=PB=4,又 PC =

1 PD,求 CD 的长. 4 303.已知 PA 与⊙O 切于点 A,线段 PO 交⊙O 于点 D,过点 P 作割线交⊙O 于 B、C 两
点,如果 PD=OD=4,BC=2,求 PA 与 PC 的长.

304.如图 7-174,在⊙O 中,弦 AB 和直径 CD 相交于点 P,M 是 DC 延长线上的一点, MN 是⊙O 的切线,N 是切点,若 AP=8,PB=6,PD=4,MC=8,求①O 的半径 r 及 CP、MN 的长.

305.如图 7-175,AB 为⊙O 的弦,点 P 在 AB 上,且∠OPC=90°.求证:PC 是 PA 和 PB 的比例中项.

306.如图 7-176,已知半径为 r 的⊙Ol 与半径为 R 的半圆内切于点 E,又⊙01 切半圆的直 径 AB 于点 C,CD⊥AB 于点 C,且交 AB 于点 D.求证:CD2=2Rr.

307.如图 7-177,⊙O 分别与△ABC 的 AB、AC 边分别切于点 M、N,交 BC 边于点 E、F, 且 BE=EF=FC.求证:∠B=∠C.

308.如图 7-178,已知⊙O 的两条直径 AB 与 CD 垂直,OE=OF,BE 的延长线交 DF 于点 G.求证:FO?FB=FG?FD

309.在 Rt△ABC 中∠C=90°,射线 AD 交 BC 于点 D,以 AC 为直径的圆交 AB、AD 于 点 E、F.求证:AE?AB=AF?AD 310.如图 7-179,△ABC 的内切圆把 BC 边上的中线 AD 三等分,AN=MN=MD,且与 AB、 BC、CA 分别相切于点 G、E、F,若 AG=2,求 DE,并求出 BC:AC 的值.

311.如图 7-180,设 AB、CD 是⊙O 的两条平行弦,过点 B 作⊙O 的切线与 CD 的延长线 相交于点 G, CD 上任取一点 P, 在 连结 PA、 PB, 与弦 CD 相交于点 E、 求 证:EF?FG F. =CF?FD.

312.如图 7-181,AB 为半圆 O 的直径,D 为 AB 上任意一点,以 AD 为直径在已知半圆外 部作小半圆 Ol, CD⊥AB, 又 交大半圆于点 C, 切小半圆于点 E, 是 CE 的中点. BE F 求 证:BF⊥CE.

313.如图 7-182,AD 为⊙O 直径,AB 是⊙O 的切线,过点 B 的割线 BMN 交 AD 的延长 线于点 C,且 BM=MN=NC,若 AB=2 厘米,求⊙O 的半径.

314.如图 7-183,已知⊙O 直径为 4 厘米,P 是弧 AB 的中点,Q 是弧 CD 的中点,弦 PQ 为 2 3 厘米,求∠1、∠2 以及 AB 和 CD 延长线交角的度数.

315.如图 7-184,已知在⊙O 中,AP 为⊙O 的切线,户为切点,ABC 为割线,AB:BC=1: 3,AP=6,∠A=45°,求⊙O 的半径.

316.如图 7-185,A、B 为圆上两点,经过 B 点作⊙O 的切线 BC,经过 A 点作弦 AD,延 长 AD 交切线 BC 于 C 点,∠DAB=∠OAB,已知 BC=4,CD=2,求 AB 的长.

317.如图 7-186,PAB 为圆的割线,PC 为圆的切线,C 为切点,由 A、B 向切线 PC 及其 延长线作垂线,E、F 为垂足,且 CD⊥BP.求证:CD 是 AE 与 BF 的比例中项.

318.EA 切 ⊙O 于点 A,AD 是直径,EF 切 ⊙O 于点 F,交 AD 延长线于点 C 求 证:CE?CD=CF?CO 319.已知 PAB 是⊙O 割线,PD 是⊙O 切线,D 是切点,C 是圆内一点,若 PC=PD,求 证:

CA PC = CB PB

320. ’如图 7-187,已知 CA、CB 切⊙O 于点 A、B,割线 CPQ 交⊙O 于点 P、Q,CO 交 AB 于点 N,延长 QN 交⊙O 于点 E.求证:(1)C、E、O、Q 四点共圆;(2)∠ α =∠ β

321.如图 7-188,在△ABC 中,AM 是 BC 边上的中线,AD 是∠BAC 的平分线,△AMD 的外接圆交 AB 于点 L,交 AC 于点 N.求证:BL=CN.

322.如图 7-189,AD 是⊙O 的弦,AD=8 厘米,半径 OH⊥AD,交 AD 于点 B,HB=2 厘米,AC 是直径,求 BC 的长。

324.如图 7-191,C 为线段 AB 的中点,BCDE 是以 BC 为一边的正方形,以点 B 为圆心、 BD 为半径的圆与 AB 及其延长线相交于点 H 及 K.求证:(1)HC?CK=AC2 ; (2)AH?AK=2AC2.

325.如图 7-192,AB 是⊙O 直径,AC、BC 是⊙O 的弦,CD⊥AB,垂足是 D,F 是 AB 的中点, 连结 CF 交 AB 于点 E, AC、 的长(AC<BC)是方程 x2-14x+48=0 的两根, 且 BC 求 BD、DE 的长。

326.如图 7-193,已知在△ABC 中,AB=BC,以 AB 为直径的⊙O 交 AC 于点 D,过点 D 作 DE⊥BC,垂足为 E,连结 AE,交①O 于点 F.求证:BE?CE=AE?EF

327.如图 7-194,⊙O 中弦 AB 垂直平分半径 OM,P 为优弧 AB 上一点,C 为 AP 延长线 上一点,且 PC=PB,BC 交⊙O 于点 D.求证: △OPD 是等边三角形.

328.如图 7-195,已知⊙O1 与⊙02 相交于点 A、B,AC、AD 分别为⊙O1 与⊙O2 的直径, 求证:AB 上的任意一点 P 与 C、D 距离平方差等于两圆的直径平方差.

329.如图 7-196,PA、PB 切⊙O 于点 A、B,C 为优弧 AB 上 任一点,CD⊥PA 于点 D, DC 的延长线交 PO 的延长线于点 E,CF⊥PB 于点 F,且交 PE 于点 C.求证: EG?PA=CG?AB。

330.由圆外一点引两条割线 PBA、PCD,且 PB=PC=2 米,BC=2.4 米,AD=6 米,求四 边形 ABCD 的面积和圆的半径. 331. AB AB=10, 切①O 于 C 点, DE AD⊥DE, BE⊥DE,DE=8,AC 如图 7-197, 是⊙O 的直径, 和 BD 交于点 F,AG 和 BD 交于点 H。求(1)AD 的长;(2)DF 的长。

332. 切⊙O 于点 A, PA PCB 是⊙O 割线, PDE 经过圆心 O, ∠BPA=30°, PA=2 3 , PC=1, 求(1)CB 的长,(2)PD 的长. 333.如图 7-198,AB 与 CD 是⊙O 中两条互相垂直的直径,P 为弧 AD 上任意一点,PC、 PB 分别交 AD 于点 M、N.求证:

MA PA PC = = ND PB PD

334.如图 7-199,已知点 G 是△ABC 的重心,过点 A、G 作圆切 BG 于点 G,延长 CG 交 此圆于点 D.求证:AG2=CG?DG.

335.如图 7-200,已知 PA、PB 切⊙O 于点 A、B,过 AB 与 PO 的交点 M 作弦 CD. (1) 求证:

PC OD = ;(2)若∠APB=60°,AB=4 3 ,DM=4.8,求 CP 的长. CM OM

336.如图 7-201,⊙O1 与⊙O2 外切于点 P,过⊙O1 的直径 EF 的端点的弦 EP、FP 的延 长线分别交⊙O2 于 B、A 两点,⊙O1 的切线 FD 交⊙02 于点 C、D,且与 EB、AB

AG 2 HP = 相交于点 H、G,F 为切点.求证:(1)AB 垂直平分 CD,(2) AF 2 HE

337.过⊙O 外一点 A,作圆的切线,切点为 B,连 OA,交⊙O 于点 C,若 AC=n·OC, 求证:△ABC 的外接圆直径等于(n+1)?BC.


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