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【新课标】2018-2019学年最新苏教版高中数学必修二《空间几何体的体积》课时同步练习及解析

(新课标)2018-2019 学年苏教版高中数学必修二 1.3.2 空间几何体的体积 【课时目标】 1.了解柱、锥、台、球的体积公式.2.会利用柱体、锥体、台体的体 积公式解决一些简单的实际问题. 1.柱体、锥体、台体的体积 柱体:V=______,V 圆柱=________. 锥体:V=________,V 圆锥=________. 台体:V=____________, 1 V 圆台= πh(r′2+r′r+r2). 3 其中 S、S′为底面面积,h 为高,r、r′为底面半径. 2.球的表面积和体积 S 球=________,V 球=__________ 其中 R 是球的半径. 一、填空题 1.把球的表面积扩大到原来的 2 倍,那么体积扩大到原来的________倍. 2.正方体的内切球和外接球的体积之比为__________. 3.长方体的一个顶点上的三条棱长分别为 3,4,5,且它的 8 个顶点都在同一个球面上, 则这个球的表面积为________. 4.一个圆锥与一个球的体积相等,圆锥的底面半径是球半径的 3 倍,圆锥的高与球半径 之比为________. 5.设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为 m). 则该几何体的体积为________m3. 6 . 棱长为 a 的正方体中, 连结 相 邻 面的中心,以 这 些 线 段 为棱 的八面体的体 积为 ________. 32π 7.已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切,若这个球的体积是 ,则 3 这个三棱柱的体积是________. 8.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积是______cm3. 9.圆柱形容器内盛有高度为 8cm 的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半 径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图所示),则球的半径是______cm. 二、解答题 10.如图所示,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,E、F 分别为 AB、AC 的中点,平面 EB1C1F 将三 棱柱分成两部分,求这两部分的体积之比. 11.已知正三棱锥 V—ABC 的主视图,俯视图如图所示,其中 VA=4,AC=2 3,求该三 棱锥的表面积与体积. 能力提升 12.有一个倒圆锥形容器,它的轴截面是一个正三角形,在容器内放一个半径为 r 的铁 球,并注入水,使水面与球正好相切,然后将球取出,求这时容器中水的深度. 13.有三个球,第一个球内切于正方体,第二个球与这个正方体各条棱相切,第三个球 过这个正方体的各个顶点,求这三个球的表面积之比. 1.利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形,进行相关计 算. 2.解决球与其他几何体的切接问题,通常作截面,将球与几何体的各量体现在平面图形 中,再进行相关计算. 3.柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为 1 1 S′=S S′=0 V 柱体=Sh― ― →V 台体= h(S+ SS′+S′)― ― →V 锥体= Sh. 3 3 4. “割补”是求体积的一种常用策略,运用时,要注意弄清割补前后几何体体积之间的 数量关系. 1.3.2 空间几何体的体积答案 知识梳理 1.Sh πr2h 2.4πR2 1 1 1 Sh πr2h (S′+ S′S+S)h 3 3 3 4 3 πR 3 作业设计 1.2 2 解析 由面积扩大的倍数可知半径扩大为原来的 2倍,则体积扩大到原来的 2 2倍. 2.1∶ 3 3 解析 关键要清楚正方体内切球的直径等于棱长 a,外接球的直径等于 3a. 两球体积之比为 a3:( 3a)3=1∶ 3 3. 3.50π 解析 外接球的直径 2R=长方体的体对角线 = a2+b2+c2(a、b、c 分别是长、宽、高). 4.4∶ 9 解析 设球半径为 r,圆锥的高为 h, 1 4 则 π(3r)2h= πr3,可得 h∶ r=4∶ 9. 3 3 5.4 解析 由三视图可知原几何体是一个三棱锥,且三棱锥的高为 2,底面三角形的一边长 1 1 为 4,且该边上的高为 3,故所求三棱锥的体积为 V= × ×3×4×2=4m3. 3 2 3 a 6. 6 解析 连结正方体各面中心构成的八面体由两个棱长为 a 1 2 2 a a3 的高为 ,则八面体的体积为 V=2× ×( a) · = . 2 3 2 2 6 7.48 3 4 32π 解析 由 πR3= ,得 R=2. 3 3 ∴正三棱柱的高 h=4. 1 3 设其底面边长为 a,则 · a=2,∴a=4 3. 3 2 3 (4 3)2·4=48 3. 4 8.144 ∴V= 解析 此几何体为正四棱台与正四棱柱的组合体,而 V 正四棱台= 2 a 的正四棱锥组成,正四棱锥 2 1 2 2 (8 +4 + 82×42)×3 3 =112,V 正四棱柱=4×4×2=32,故 V=112+32=144. 9.4 4 解析 设球的半径为 rcm,则πr2×8+ πr3×3 3 2 =πr ×6r.解得 r=4. 10.解 截面 EB1C1F 将三棱柱分成两部分,一部分是三棱台 AEF-A1B1C1,另一部分是一 个不规则几何体,故可以利用棱柱的体积减去棱台的体积求得. 1 1 S 设棱柱的底面积为 S,高为 h,则△AEF 的面积为 S,由于 V1=VAEF-A1B1C1= ·h·( + 4 3 4 S 7 7 5 S+ )= hS,剩余的不规则几何体的体积为 V2=V-V1=hS- hS= hS,所以两部分的体 2 12 12 12 积之比为 V1∶ V2=7∶ 5. 11.解 由主视图与俯视图可得正三棱锥的直观图如图所示,且 VA=VB=VC=4,AB=BC=AC= 2 3, 取 BC 的中点 D,连结 VD, 则 VD= VB2-BD2= 42-? 3?2= 13, 1 ∴S△VBC= ×VD×BC 2 1 = × 13×2 3= 39, 2 1 3 S△ABC=

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