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吉林省实验中学第四次模拟题 文科数学


2.已知扇形的半径是 2,面积为 8,则此扇形的圆心角的弧度数是 A.4 B.2 C.8 D.1

m ? 1 ? ni ,其中 m, n ? R, i 为虚数单位, 1? i 则 m ? ni ? A. 2 ? i B. 1 ? 2i C. 2 ? i D. 1 ? 2i
3.已知 4.执行如图所示的程序框图,则输出的 b 值等于 A. ?24 B. ?15 C. ?8 D. ?3 5.等差数列{an}中,a1+a4 +a7 =39,a2 +a5+a8 =33, 则 a6 的值为 A.10 B.9 C.8 D.7 6.已知命题 p : ?x ? R, 2 ? 0 ;
x

开始 a=1,b=1 a=a+2 b=b-a 是 a<7? 否 输 出 b 结束 第 4 题图

命题 q :在曲线 y ? cos x 上存在斜率为 2 的切线, 则下列判断正确的是 A. p 是假命题 C. p ? (?q ) 是真命题

B. q 是真命题 D. (?p ) ? q 是真命题

7.在三角形 ABC 中,若 tan A tan B ? tan A ? tan B ? 1 ,则 cos C 的值是 A. -

2 2

B.

2 2

C.

1 2

D. -

1 2

8.已知函数 f ( x) ? ? x ? log 2

1? x 1 1 ? 1 ,则 f ( ) ? f (? ) 的值为 1? x 2 2

A. 2

B. ? 2

C. 0

D. 2 log 2

1 3

9.若 f ? x ? 是幂函数,且满足

f ?9? ? 2 ,则 f ? 3?

?1? f ? ?= ?9?
D. 4

A.

10.已知两条不重合的直线 m, n 和两个不重合的平面 ? , ? , 有下列命题: ①若 m ? n, m ? ? ,则 n / /? ; ④若 ? ? ? , ? A.1 ②若 m ? ? , n ? ? , m / / n, 则 ? / / ? ; ③若 m, n 是两条异面直线, m ? ? , n ? ? , m / / ? , n / /? , 则 ? / / ? ;

1 2

B.

1 4

C.2

? ? m, n ? ? , n ? m, 则 n ? ? . 其中正确命题的个数是
B.2 C .3 D.4

11.已知 f ? x ? ? ? ? ? log 3 x ,实数 a、b、c 满足 f ? a ? ? f ? b ? ? f ? c ? <0,且 0<a<b<c,若实数 x0 是函数 f ? x ? 的一个零点,那么下列不等式中,不可能 成立的是 ... A. x0 <a 12.若 b ? a ? 3, f ( x) ? B. x0 >b C. x0 <c D. x0 >c

?1? ?3?

x

ln x ,则下列各结论中正确的是 x a?b ) 2
B. f ( ab ) ? f ( D. f (b) ? f (

A. f (a ) ? f ( ab ) ? f ( C. f ( ab ) ? f (

a?b ) ? f (b) 2

a?b ) ? f (a) 2

a?b ) ? f ( ab ) 2

第Ⅱ卷(非选择题)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.已知 ? 为第二象限角, sin ? ? cos ? ?

3 ,则 cos 2? =___________; 3

14.已知向量 a 与 b 的夹角为 120°,且 a ? b ? 4 ,那么 b ? (2a ? b) 的值为________.

? x ? y ? 2 ? 0, ? 15.已知实数 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 2 ? 0, 若 y ? mx ? 2 恒成立,则实数 m 的取值范围 ?2 x ? y ? 2 ? 0. ?
为 .
x 16. 已 知 关 于 x 的 方 程 | 2 ? 10 |? a 有 两 个 不 同 的 实 根 x1、x2 , 且 x2 ? 2 x1 , 则 实 数

a=

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分) 在锐角 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c .

已知 sin B ? 2 sin(

? ? ? B) sin( ? B) 4 4

(Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 b ? 1 ,求 ?ABC 的面积的最大值.

18.(本小题满分 12 分) 某市统计局就某地居民的月收入调查了 10 000 人, 并根据所得数据画出样本的频率分布直方 图(每个分组包括左端点,不包括右端点,如第一组表示收入在[1 000,1500) ) .

(I)求居民收入在[3 000,3 500)的频率; (II)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数; (III)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系,必须按月收入再从这 10 000 人中按 分层抽样方法抽出 100 人作进一步分析,则月收入在[2 500,3 000)的这段应抽取多少 人? 19.(本小题满分 12 分) 如图,底面是正三角形的直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,D 是 BC 的中点, AA1 ? AB ? 2 . (Ⅰ)求证: A1C // 平面 AB1 D ; (Ⅱ)求点 A1 到平面 AB1 D 的距离.

A1
B1 C1

A

B

D

C

(本小题满分 12 分) 已知圆 M 过 C(1,-1),D(-1,1)两点,且圆心 M 在 x+y-2=0 上. (Ⅰ)求圆 M 的方程; (Ⅱ)设 P 是直线 3x+4y+8=0 上的动点,PA,PB 是圆 M 的两条切线,A,B 为切点,求四边 形 PAMB 面积的最小值.

20.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? mx(m ? R ) . (I)若曲线 y ? f ( x ) 过点 P(1,-1),求曲线 y ? f ( x ) 在点 P 处的切线方程; (Ⅱ)若 f ( x) ? 0 对 x ? (0, ??) 恒成立,求实数 m 的取值范围; (III)求函数 f ( x) 在区间[1,e]上的最大值.

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1 :几何证明选讲 如图,已知四边形 ABCD 内接于圆 O,且 AB 是圆 O 的直径,以点 D 为切点的圆 O 的切线与 BA 的延长线交于点 M . (I)若 MD ? 6 , MB ? 12 ,求 AB 的长; (II)若 AM ? AD ,求 ?DCB 的大小.

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系和参数方程

? 2 t ?x ? 3 ? ? 2 在直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数). ?y ? 5 ? 2 t ? 2 ? 在极坐标系(与直角坐标系 xoy 取相同的单位长度,以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)
中,圆 C 的方程为 ? ? 2 5 sin ? . (I)求圆 C 的直角坐标方程; (II)设圆 C 与直线 l 交于点 A, B ,若点 P 的坐标为 (3, 5 ,求 |PA|+|PB| . )

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | x ? 2 | (I)求不等式 f ( x) ? 3 的解集; (II)若关于 x 的不等式 f ( x) ? t ? 3t 在 [0,1] 上无解,求实数 t 的取值范围.
2

参考答案:

18.(Ⅰ) 0.0003 ? 500 ? 0.15 ----------2 分 0.0004 ? 500 ? 0.2 , (Ⅱ) 0.0002 ? 500 ? 0.1 , 0.0005 ? 500 ? 0.25 --------5 分 设中位数为 x,则 0.1 ? 0.2 ? ( x ? 2000) ? 500 ? 0.5 ,解得: x ? 2400 中位数为 2400 元--------7 分 (III)

100 1 -----9 分 ? 10000 100 0.0005 ? 500 ? 0.25 -----10 分 1 10000 ? 0.25 ? ? 25 ------12 分 100

19.证明: (Ⅰ)连接 A1 B 交 AB1 于 O,连接 OD,在 ?BA1C 中,O 为 BA1 中点,D 为 BC 中点

? OD // A1C …………3 分
OD ? 面AB1 D, A1C ? 面AB1 D

? A1C // 平面AB1 D …………6 分

? DH ? BB1 ? DH ? 面A1 B1 BA
VA1 ? AB1D ? VD ? AA1B1
即 h? 且 DH ? AD ? sin 30 ?

3 …………10 分 2

1 3

15 1 3 ? ? ?2 2 3 2
2 5 …………12 分 5

解得 h ?

解法二:由①可知 A1C // 平面AB1 D

? 点 A1 到平面 AB1 D 的距离等于点 C 到平面 AB1 D 的距离…………8 分

?AD1 B 为 Rt ?
? S ?ADB1 ? S ?ADC ? 15 2

1 3 …………10 分 S ?ABC ? 2 2

设点 C 到面 AB1 D 的距离为 h

VC ? AB1D ? VB1 ? ADC
即 ?

1 3

15 1 3 ? h ? ? 2? 2 3 2
2 5 …………12 分 5

解得 h ?

21.解: (1)

f ( x) 过点 P(1, ?1)

??1 ? ln1 ? m ,? m ? 1 …………1 分
? f ( x) ? ln x ? x f '(1) ? 0 …………2 分
? 过点 P(1, ?1) 的切线方程为 y ? ?1 …………3 分
(2) 又

f '( x) ?

1 ?1 x

f ( x) ? 0 恒成立,即 ln x ? mx ? 0 恒成立,? mx ? ln x

f ( x) 定义域为 (0, ??) ,? m ?

ln x 恒成立…………4 分 x

设 g ( x) ?

ln x x 1 ? ln x g '( x) ? x2

? 当 x=e 时, g '(e) ? 0
当 0 ? x ? e 时, g '( x) ? 0, g ( x) 为单调增函数 当 x ? e 时, g '( x) ? 0, g ( x) 为单调减函数

1 ? g ( x) max ? g (e) ? …………6 分 e 1 ? 当 m ? 时, f ( x) ? 0 恒成立…………7 分 e 1 1 ? mx (3) f '( x) ? ? m ? x x
①当 m ? 0 时, f '( x) ? 0

? f ( x) 在 (0, ??) 为单增函数

在 x ? [1, e] 上, f ( x) max ? f (e) ? 1 ? me …………8 分

1 1 ? m ? 1 时,即 1 ? ? e 时 e m 1 x ? (0, ) 时, f '( x) ? 0 , f ( x) 为单增函数 m 1 x ? ( , ??) 时, f '( x) ? 0 , f ( x) 为单减函数 m 1 ? x ? [1, e] 上 f ( x) max ? f ( ) ? ? ln m ? 1 …………9 分 m 1 1 ③当 m ? 1 时, 0 ? ? 1, f ( x) 在 ( , ??) 为单减函数 m m
②当

? x ? [1, e] 上, f ( x) max ? f (1) ? ?m …………10 分

22.解(Ⅰ)因为 MD 为
2

O 的切线,由切割线定理知,

MD =MAMB,又 MD=6,MB=12,MB=MA+AB , 所以 MA=3,AB=12-3=9. ………………………5 分

(Ⅱ)因为 AM=AD,所以∠AMD=∠ADM, 连接 DB,又 MD 为圆 O 的切线,由弦切角定理知,∠ADM=∠ABD, 又因为 AB 是圆 O 的直径,所以∠ADB 为直角, 即∠BAD=90°-∠ABD. 又∠BAD=∠AMD+∠ADM=2∠ABD, 于是 90°-∠ABD=2∠ABD,所以∠ABD=30°,所以∠BAD=60°. 又四边形 ABCD 是圆内接四边形,所以∠BAD+∠DCB=180°, 所以∠DCB=120° ………………10 分 23.解(Ⅰ) ? ? 2 ? cos ? --------2 分
2

x 2 ? y 2 ? 2 5 y --------4 分

x 2 ? ( y ? 5)2 ? 5
(Ⅱ) (3 ?

……………………………… 5 分

2 2 2 t) ? ( 5 ? t ? 5)2 ? 5 2 2
------7 分

t 2 ? 3 2t ? 4 ? 0

t A ? 2 2 , t B ? 2 -------8 分 | PA | ? | PB |?| t A | ? | t B |? 3 2 ………………………………… 10 分


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