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高中数学必修一复习讲义

例 1 求下列函数的定义域: 1 1 ① f ( x) ? ;② f ( x) ? 3x ? 2 ;③ f ( x) ? x ? 1 ? . x?2 2? x 分析:函数的定义域通常由问题的实际背景确定 如果只给出解析式
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y ? f ( x) ,而没有指明它的定义域,那么函数的定义域就是指能使这个式子有意

义的实数 x 的集合

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解:①∵x-2=0,即 x=2 时,分式 而 x ? 2 时,分式

1 无意义, x?2

1 有意义,∴这个函数的定义域是 ?x | x ? 2? . x?2 2 ②∵3x+2<0,即 x<- 时,根式 3x ? 2 无意义, 3 2 而 3 x ? 2 ? 0 ,即 x ? ? 时,根式 3x ? 2 才有意义, 3 2 ∴这个函数的定义域是{ x | x ? ? }. 3

③∵当 x ? 1 ? 0且2 ? x ? 0 , 即 x ? ?1 且 x ? 2 时, 根式 x ? 1 和分式 时有意义, ∴这个函数的定义域是{ x | x ? ?1 且 x ? 2 } 另解:要使函数有意义,必须:

1 同 2? x

? x ?1 ? 0 ? x ? ?1 ? ? ? ?2 ? x ? 0 ?x?2

∴这个函数的定义域是: { x | x ? ?1 且 x ? 2 } 强调:解题时要注意书写过程,注意紧扣函数定义域的含义 .由本例可知, 求函数的定义域就是根据使函数式有意义的条件,布列自变量应满足的不等式 或不等式组,解不等式或不等式组就得到所求的函数的定义域. 例 2 已知函数 f ( x) =3 x 2 -5x+2,求 f(3), f(- 2 ), f(a+1). 解:f(3)=3× 32 -5×3+2=14; f(- 2 )=3×(- 2 ) 2 -5×(- 2 )+2=8+5 2 ; f(a+1)=3(a+1)
2

-5(a+1)+2=3a 2 +a.

例 3 下列函数中哪个与函数 y ? x 是同一个函数?

? x ? ;⑵ y ? x ;⑶ y ? x 解:⑴ y ? ? x ? = x ( x ? 0 ), y ? 0 ,定义域不同且值域不同,不是;
⑴y?
2

3

3

2

2

⑵ y ? 3 x 3 = x ( x ? R ), y ? R ,定义域值域都相同,是同一个函数;

? x, x ? 0 ⑶ y ? x 2 =| x |= ? , y ? 0 ;值域不同,不是同一个函数 ?? x x ? 0
例 4 下列各组中的两个函数是否为相同的函数? ( x ? 3)( x ? 5) ① y1 ? (定义域不同) y2 ? x ? 5 x?3 ② y1 ? x ? 1 x ? 1 ③ f1 ( x) ? ( 2x ? 5) 2
? 0 ? 例 1 已知 f ( x ) ? ? ? ?x ?1 ?

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y2 ? ( x ? 1)(x ? 1)
f 2 ( x) ? 2x ? 5

(定义域不同) (定义域、值域都不同)

f (1) ? 2; f (?1) ? 0; f (0) ? ? ( x ? 0) ? f { f [ f (?1)]} ? ? ? 1 ( x ? 0)

( x ? 0)

例 2 已知 f(x)=x2?1

g(x)= x ? 1 求 f[g(x)]

解:f[g(x)]=( x ? 1 )2?1=x+2 x 例 3 求下列函数的定义域: ① f ( x) ? ③ f ( x) ?
4 ? x2 ?1

② f ( x) ?

x 2 ? 3x ? 4 x ?1 ? 2

1 1? 1 1 1? x
1 3x ? 7

④ f ( x) ?

( x ? 1) 0 x ?x

⑤y?

x?2 ?3 ? 3

解:①要使函数有意义,必须: 4 ? x 2 ? 1 ∴函数 f ( x) ?

即: ? 3 ? x ? 3

4 ? x 2 ? 1 的定义域为: [ ? 3, 3 ]

? x 2 ? 3x ? 4 ? 0 ? x ? ?4或x ? ?1 ?? ②要使函数有意义,必须: ? ? x ? ?3且x ? 1 ? x ?1 ? 2 ? 0
? x ? ?3或 ? 3 ? x ? ?1或x ? 4 ∴定义域为:{ x| x ? ?3或 ? 3 ? x ? ?1或x ? 4 }

? x?0 ? ? 1 ? ③要使函数有意义,必须: ? 1 ? ? 0 ? x ? 1 ? 1? ?0 1 ? 1? ? x 1 ∴函数的定义域为: {x | x ? R且x ? 0,?1,? } 2

? x?0 ? ? x ? ?1 ? x ? ?1 ? 2

④要使函数有意义,必须:

? x ?1 ? 0 ? ?x ?x ? 0

? x ? ?1 ?? ? x?0

∴定义域为: ?x | x ? ?1或 ? 1 ? x ? 0?

? ?x?2 ?3? 0 ? x?R 7 ⑤要使函数有意义,必须: ? ?? x?? 3 x ? 7 ? 0 ? ? 3 ? 7 7 即 x< ? 或 x> ? ∴定义域为: {x | x ? ? 7 } 3 3 3
例4 若函数 y ? ax2 ? ax ?

1 的定义域是 R,求实数 a 的取值范围 a
1 ? 0恒成立, a

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解:∵定义域是 R,∴ ax 2 ? ax ?

a?0 ? ? 1 ∴ 等价于? ?0?a?2 2 ? ? a ? 4a ? ? 0 ? a ?
1 1 例 5 若函数 y ? f ( x) 的定义域为[?1, 1], 求函数 y ? f ( x ? ) ? f ( x ? ) 的定 4 4 义域 解:要使函数有意义,必须: 1 3 ? ? 5 ?? 1 ? x ? 4 ? 1 ?? 4 ? x ? 4 3 3 ?? ?? ?x? ? 1 3 5 4 4 ?? 1 ? x ? ? 1 ?? ? x ? 4 4 ? ? 4
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1 1 3 3? ? ∴函数 y ? f ( x ? ) ? f ( x ? ) 的定义域为: ? x | ? ? x ? ? 4 4 4 4? ?

求用解析式 y=f(x)表示的函数的定义域时,常有以下几种情况: ①若 f(x)是整式,则函数的定义域是实数集 R; ②若 f(x)是分式,则函数的定义域是使分母不等于 0 的实数集; ③若 f(x)是二次根式, 则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于 0 的实 数集合; ④若 f(x)是由几个部分的数学式子构成的, 则函数的定义域是使各部分式子

都有意义的实数集合; ⑤若 f(x)是由实际问题抽象出来的函数,则函数的定义域应符合实际问题. 例 6 已知 f(x)满足 2 f ( x) ? f ( 1 ) ? 3x ,求 f ( x) ;
x

∵已知 2 f ( x) ? f ( 1 ) ? 3x
x

①, ②,
x

将①中 x 换成

1 得 2 f ( 1 ) ? f ( x) ? 3 x x x
x

①×2-②得 3 f ( x) ? 6 x ? 3

∴ f ( x) ? 2 x ? 1 .

例 7 设二次函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? f (2 ? x) 且 f ( x) =0 的两实根平方和为 10, 图象过点(0,3),求 f ( x) 的解析式. 解:设 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) , ∵图象过点(0,3),∴有 f(0)=c=3,故 c=3; 又∵f(x)满足 f ( x ? 2) ? f (2 ? x) 且 f ( x) =0 的两实根平方和为 10, ∴得对称轴 x=2 且 x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 2x1 x2 =10, 即?
b b2 6 ? 2 且 2 ? ? 10 ,∴a=1,b=-4,∴ f ( x) ? x 2 ? 4x ? 3 2a a a
2 2

四、练习: 1.设 f ( x) 的定义域是[?3, 2 ],求函数 f ( x ? 2) 的定义域 解:要使函数有意义,必须: ? 3 ? x ? 2 ? 2 ∵
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得: ? 1 ? x ? 2 ? 2

x ≥0

∴ 0 ? x ? 2? 2

0? x ? 6?4 2

∴ 函数 f ( x ? 2) 的定域义为: x | 0 ? x ? 6 ? 4 2

?

?
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2.已知 f(x)是一次函数, 且 f[f(x)]=4x?1, 求 f(x)的解析式 解:设 f(x)=kx+b 则 k(kx+b)+b=4x?1 ? ? k2 ? 4 ?k ? ?2 ? k ?2 1 或 ? 则? ?? b?? ? b ?1 ?(k ? 1)b ? ?1 ? 3 ? 1 ∴ f ( x) ? 2 x ? 或 f ( x) ? ?2 x ? 1 3 3.若 f ( x ? 1 ) ? x ? 2 x ,求 f(x)
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解法一(换元法) :令 t= x ? 1则 x=t 2 ?1, t≥1 代入原式有

f (t ) ? (t ? 1) 2 ? 2(t ? 1) ? t 2 ? 1
∴ f ( x) ? x 2 ? 1 (x≥1)

解法二(定义法) : x ? 2 x ? ( x ? 1) 2 ? 1 ∴ f ( x ? 1) ? ( x ? 1) 2 ? 1 ∴ f ( x) ? x 2 ? 1 (x≥1)

x ? 1 ≥1

例 1 判断下列对应是否映射?有没有对应法则? e f g d (是) (不是) (是) 是映射的有对应法则,对应法则是用图形表示出来的 例 2 下列各组映射是否同一映射?
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a b c

e f g

a b c d

e f g

a b c

a b c

e f g

a b c

e f g

d b c

e f g

例 3 判断下列两个对应是否是集合 A 到集合 B 的映射? (1)设 A={1,2,3,4},B={3,4,5,6,7,8,9}, 对应法则 f : x ? 2 x ? 1 (2)设 A ? N * , B ? {0,1} ,对应法则 f : x ? x除以2得的余数 (3) A ? N , B ? {0,1,2} , f : x ? x被3除所得的余数
1 1 1 (4)设 X ? {1,2,3,4}, Y ? {1, , , } f : x ? x取倒数 2 3 4

(5) A ? {x | x ? 2, x ? N}, B ? N , f : x ? 小于x的最大质数 例 1 某种笔记本每个 5 元,买 x ? {1,2,3,4}个笔记本的钱数记为 y(元) ,试 写出以 x 为自变量的函数 y 的解析式,并画出这个函数的图像 解:这个函数的定义域集合是{1,2,3,4},函数的解析式为 y=5x,x ? {1,2,3,4}. 它的图象由 4 个孤立点 A (1, 5) B (2, 10) C (3, 15) D (4 , 20) 组 成,如图所示 例 2 国内投寄信函(外埠) ,每封信函不超过 20g 付邮资 80 分,超过 20g 而不超过 40g 付邮资 160 分,依次类推,每封 x g(0<x ? 100)的信函应付邮资为
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(单位:分) ,试写出以 x 为自变量的函数 y 的解析式,并画出这个函数的图像
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解:这个函数的定义域集合是 0 ? x ? 100 ,函数的解析式为 ?80, x ? (0,20], y ?160, x ? (20,40], ? ? 400 y ? ?240, x ? (40,60], ?320, x ? (60,80], 320 ? ?400, x ? (80,100]. 240 ? 这个函数的图象是 5 条线段(不包括左端 点) ,都平行于 x 轴,如图所示. 这一种函数我们把它称为分段函数
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160

80
80

?x 例 3 画出函数 y=|x|= ? ?? x

x ? 0, 的图象. x ? 0.

20

40

60

100

x

解:这个函数的图象是两条射线,分别是第一象限和第二象限的角平分线, 如图所示. 说明:①再次说明函数图象的多样性; ②从例 4 和例 5 看到,有些函数在它的定义 y 域中,对于自变量 x 的不同取值范围,对应法则 x x?0 不同, 这样的函数通常称为分段函数.注意分段函 y={ 1 x<0 x 数是一个函数,而不是几个函数. ③注意:并不是每一个函数都能作出它的图 象 , 如 狄 利 克 雷 ( Dirichlet ) 函 数 x
?1,x是有理数, D(x)= ? ,我们就作不出它的图象. ?0,x是无理数 .

例 4 作出分段函数 y ? x ?1 ? x ? 2 的图像 解:根据“零点分段法”去掉绝对值符号,即:
?? ( 2 x ? 1) ? 3 y ? x ?1 ? x ? 2 = ? ? 2x ? 1 ?

x ? ?2 ? 2 ? x ?1 x ?1

y

作出图像如下 例 5 作出函数 y ? x ? 列表描点:
K' L' M' N' G' O' P' Q' (-5.0 , -5.2 ) (-4.0 , -4.3 ) (-3.0 , -3.3 ) (-2.0 , -2.5 ) (-1.0 , -2.0 ) (-0.4 , -3.0 ) (-0.3 , -4.0 ) (-0.2 , -5.0 ) Q P O G N M L K (0.2 , 5.0 ) (0.3 , 4.0 ) (0.4 , 3.0 ) (1.0 , 2.0 ) (2.0 , 2.5 ) (3.0 , 3.3 ) (4.0 , 4.3 ) (5.0 , 5.2 )

1 的图象 x

x

10

8

6

Q
4

K L M N G

P O
2

-10

-5

5

10

-2

G' N' M' L' K'
-6

O'
-4

P' Q'

1.直接法:利用常见函数的值域来求 一次函数 y=ax+b(a ? 0)的定义域为 R,值域为 R; 反比例函数 y ?
k (k ? 0) 的定义域为{x|x ? 0},值域为{y|y ? 0}; x

二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的定义域为 R,
2 2 当 a>0 时,值域为{ y | y ? (4ac ? b ) };当 a<0 时,值域为{ y | y ? (4ac ? b ) }.

4a

4a

例 1.求下列函数的值域 ① y=3x+2(-1 ? x ? 1) ③y?
x x ?1

② f ( x) ? 2 ? 4 ? x ④y ? x?
1 x

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解:①∵-1 ? x ? 1,∴-3 ? 3x ? 3, ∴-1 ? 3x+2 ? 5,即-1 ? y ? 5,∴值域是[-1,5] ②∵ 4 ? x ?[0,??) ∴ f ( x) ? [2,??)
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即函数 f ( x) ? 2 ? 4 ? x 的值域是 { y| y ? 2} ③y? ∵
x x ?1?1 1 ? ? 1? x ?1 x ?1 x ?1

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1 ?0 x ?1

∴ y ?1
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即函数的值域是 { y| y?R 且 y?1}(此法亦称分离常数法) ④当 x>0,∴ y ? x ?
1 2 1 ) ? 2 ? 2, =( x ? x x

当 x<0 时, y ? ?( ? x ?

1 2 1 ) ? 2 ? ?2 ) =- ( ? x ? ?x ?x

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∴值域是 (??,?2] ? [2,+ ? ).(此法也称为配方法) 函数 y ? x ?
1 的图像为: x
4

3

2.二次函数比区间上的值域(最 例 2 求下列函数的最大值、最 与值域: ① y ? x 2 ? 4x ? 1 ; ② y ? x 2 ? 4x ? 1, x ? [3,4] ; ③ y ? x 2 ? 4x ? 1, x ?[0,1] ;
-6

f?x? = x+
-4 -2

1 2 x -1 o
2 1 -1 -2 -3

y=x 1 -2
2 4 6

值): 小 值

-4

④ y ? x 2 ? 4x ? 1, x ? [0,5] ;

解:∵ y ? x 2 ? 4x ? 1 ? ( x ? 2) 2 ? 3 ,∴顶点为(2,-3),顶点横坐标为 2. ①∵抛物线的开口向上,函数的定义域 R, ∴x=2 时,ymin=-3 ,无最大值;函数的值域是 {y|y ? -3 }. ②∵顶点横坐标 2 ? [3,4], 当 x=3 时,y= -2;x=4 时,y=1; ∴在[3,4]上, ymin =-2, ymax =1;值域为[-2,1]. ③∵顶点横坐标 2 ? [0,1],当 x=0 时,y=1;x=1 时,y=-2, ∴在[0,1]上, ymin =-2, ymax =1;值域为[-2,1]. ④∵顶点横坐标 2 ? [0,5],当 x=0 时,y=1;x=2 时,y=-3, x=5 时,y=6, ∴在[0,1]上, ymin =-3, ymax =6;值域为[-3,6]. 注:对于二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) , ⑴若定义域为 R 时, ①当 a>0 时,则当 x ? ?
2 b 时,其最小值 y min ? (4ac ? b ) ; 2a 4a

y 3 2 1 -2 -1 O -1 -2 -3 1 2 3 4 5 6 x

2 ②当 a<0 时,则当 x ? ? b 时,其最大值 y max ? (4ac ? b ) .

2a

4a

⑵若定义域为 x ? [a,b],则应首先判定其顶点横坐标 x0 是否属于区间[a,b]. ①若 x0 ? [a,b],则 f ( x0 ) 是函数的最小值( a>0)时或最大值( a<0)时,再 比较 f (a), f (b) 的大小决定函数的最大(小)值. ②若 x0 ? [a,b],则[a,b]是在 f ( x) 的单调区间内,只需比较 f (a), f (b) 的大小即 可决定函数的最大(小)值. 注:①若给定区间不是闭区间,则可能得不到最大(小)值; ②当顶点横坐标是字母时,则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置 关系进行讨论. 3.判别式法(△法) : 判别式法一般用于分式函数,其分子或分母只能为二次式,解题中要注意 二次项系数是否为 0 的讨论 例 3.求函数 y ?
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x 2 ? 5x ? 6 的值域 x2 ? x ? 6

方法一:去分母得 当 y?1 时

(y?1) x 2 +(y+5)x?6y?6=0



∵x?R ∴△=(y+5) 2 +4(y?1)×6(y+1) ? 0

由此得 (5y+1) 2 ? 0
1 检验 y ? ? 时 5

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1 ? ?5 x?? 5 ? 2 (代入①求根) 6 2 ? (? ) 5

∵2 ? 定义域 { x| x?2 且 x?3} 再检验 y=1 代入①求得 x=2 综上所述,函数 y ?

∴y?? ∴y?1

1 5

1 x 2 ? 5x ? 6 的值域为 { y| y?1 且 y? ? } 2 5 x ? x?6
( x ? 2)(x ? 3) x ? 3 6 (x?2) ? ? 1? ( x ? 2)(x ? 3) x ? 3 x?3

方法二:把已知函数化为函数 y ? 由此可得 y?1
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∵ x=2 时 ∴函数 y ?

y??

1 5

即 y??

1 5

1 x 2 ? 5x ? 6 的值域为 { y| y?1 且 y? ? } 2 5 x ? x?6

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说明:此法是利用方程思想来处理函数问题,一般称判别式法. 判别式法一 般用于分式函数,其分子或分母只能为二次式.解题中要注意二次项系数是否为 0 的讨论. 4.换元法 例 4.求函数 y ? 2x ? 4 1 ? x 的值域 解:设 t ? 1 ? x 则 t?0 x=1? t 2

代入得 y ? f (t ) ? 2 ? (1 ? t 2 ) ? 4t ? ?2t 2 ? 4t ? 2 ? ?2(t ? 1) 2 ? 4 ∵t ? 0 5.分段函数 例 5.求函数 y=|x+1|+|x-2|的值域. 解 法 1 : 将 函 数 化 为 分 段 函 数 形 式 :
?? 2 x ? 1( x ? ?1) ? y ? ?3( ?1 ? x ? 2) ,画出它的图象(下图) ,由图象可 ?2 x ? 1( x ? 2) ?
y

∴y ? 4

3

-1 O

2

x

知,函数的值域是{y|y ? 3}. 解法 2: ∵函数 y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点 x 到两定点-1, 2 的距离之和, ∴易见 y 的最小值是 3,∴函数的值域是[3,+ ? ]. 如图
x -1 O 1 2
-1 Ox 1 2
-1 O 1 2x

两法均采用“数形结合” ,利用几何性质求解,称为几何法或图象法. 说明:以上是求函数值域常用的一些方法(观察法、配方法、判别式法、图 象法、换元法等) ,随着知识的不断学习和经验的不断积累,还有如不等式法、 三角代换法等.有的题可以用多种方法求解,有的题用某种方法求解比较简捷, 同学们要通过不断实践,熟悉和掌握各种解法,并在解题中尽量采用简捷解法 . 例 1 如图 6 是定义在闭区间[-5, 的函数 y ? f ( x) 的图象, 根据图象说出

y

5] 上

-5

-2

O

1

3

5 x

y ? f ( x) 的单调区间,以及在每一单调区间上,函数 y ? f ( x) 是增函数还是减函

数. 解: 函数 y ? f ( x) 的单调区间有[-5, -2), [-2, 1), [1, 3), [3, 5], 其中 y ? f ( x) 在区间[-5,-2),[1,3)上是减函数,在区间[-2,1),[3,5]上是增函数. 说明:函数的单调性是对某个区间而言的,对于单独的一点,由于它的函 数值是唯一确定的常数,因而没有增减变化,所以不存在单调性问题;另外, 中学阶段研究的主要是连续函数或分段连续函数,对于闭区间上的连续函数来 说,只要在开区间上单调,它在闭区间上也就单调,因此,在考虑它的单调区 间时,包括不包括端点都可以;还要注意,对于在某些点上不连续的函数,单 调区间不包括不连续点. 例 2 证明函数 f ( x) ? 3x ? 2 在 R 上是增函数. 证明:设 x1 , x 2 是 R 上的任意两个实数,且 x1 < x2 ,则

f ( x1 ) - f ( x2 ) =(3 x1 +2)-(3 x2 +2)=3( x1 - x2 ),
由 x1 < x2 x,得 x1 - x2 <0 ,于是 f ( x1 ) - f ( x2 ) <0,即 f ( x1 ) < f ( x2 ) . ∴ f ( x) ? 3x ? 2 在 R 上是增函数. 例 3 证明函数 f ( x) ?
1 在(0,+ ? )上是减函数. x

证明:设 x1 , x2 是(0,+ ? )上的任意两个实数,且 x1 < x2 , 则 f ( x1 ) - f ( x2 ) =
1 1 x ? x1 - = 2 , x1 x2 x1 x2

由 x1 , x2 ∈(0,+ ? ),得 x1 x2 >0, 又由 x1 < x2 ,得 x2 - x1 >0 ,于是 f ( x1 ) - f ( x2 ) >0,即 f ( x1 ) > f ( x2 ) ∴ f ( x) ?
1 在(0,+ ? )上是减函数. x

例 4.讨论函数 f(x) ? x 2 ? 2ax ? 3 在(-2,2)内的单调性. 解:∵ f(x) ? x 2 ? 2ax ? 3 ? (x-a)2 ? 3 ? a 2 ,对称轴 x ? a

∴若 a ? ?2 ,则 f(x) ? x 2 ? 2ax ? 3 在(-2,2)内是增函数; 若 ? 2 ? a ? 2 则 f(x) ? x 2 ? 2ax ? 3 在(-2,a)内是减函数,在[a,2]内是增函数 若 a ? 2 ,则 f(x) ? x 2 ? 2ax ? 3 在(-2,2)内是减函数. 1.函数单调性的证明 例 1.判断并证明函数 f ( x) ? x 3 的单调性 证明:设 x1 ? x2 则
f(x1 ) ? f(x2 ) ? x1 ? x2 ? (x1 ? x2 )(x1 ? x1 x2 ? x2 )
3 2 2 2

∵ x1 ? x2

∴ x1 ? x2 ? 0 , x12 ? x1 x2 ? x2 2 ? ( x1 ?

x2 2 3 x2 ) ? ? 0, 2 4

2

∴ f(x1 ) ? f(x2 ) ? 0 即 f(x1 ) ? f(x2 ) (注:关键 f(x1 ) ? f(x2 ) ? 0 的判断) ∴ f ( x) ? x 3 在 R 上是增函数. 2.复合函数单调性的判断 对于函数 y ? f (u ) 和 u ? g ( x) ,如果 u ? g ( x) 在区间 ( a, b) 上是具有单调性, 当 x ? (a, b) 时, u ? (m, n) ,且 y ? f (u ) 在区间 (m, n) 上也具有单调性,则复合函 数 y ? f ( g ( x)) 在区间 ( a, b) 具有单调性的规律见下表:
y ? f (u ) u ? g ( x)

增 ↗ 增 ↗ ↘ 减 ↗ 减 ↘ ↘

减 ↘ 增 减 ↘

y ? f ( g ( x))

增 ↗



增 ↗

以上规律还可总结为: “同向得增,异向得减”或“同增异减”. 证明:①设 x1 , x2 ? (a, b) ,且 x1 ? x2 ∵ u ? g ( x) 在 ( a, b) 上是增函数,

∴ g ( x1 ) ? g ( x2 ) ,且 g ( x1 ), g ( x2 ) ? (m, n) ∵ y ? f (u ) 在 (m, n) 上是增函数,∴ f ( g ( x1 )) ? g ((x2 )) . 所以复合函数 y ? f ( g ( x)) 在区间 ( a, b) 上是增函数
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②设 x1 , x2 ? (a, b) ,且 x1 ? x2 ,∵ u ? g ( x) 在 ( a, b) 上是增函数, ∴ g ( x1 ) ? g ( x2 ) ,且 g ( x1 ), g ( x2 ) ? (m, n) ∵ y ? f (u ) 在 (m, n) 上是减函数,∴ f ( g ( x1 )) ? g ((x2 )) . 所以复合函数 y ? f ( g ( x)) 在区间 ( a, b) 上是减函数
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③设 x1 , x2 ? (a, b) ,且 x1 ? x2 ,∵ u ? g ( x) 在 ( a, b) 上是减函数, ∴ g ( x1 ) ? g ( x2 ) ,且 g ( x1 ), g ( x2 ) ? (m, n) ∵ y ? f (u ) 在 (m, n) 上是增函数,∴ f ( g ( x1 )) ? g ((x2 )) . 所以复合函数 y ? f ( g ( x)) 在区间 ( a, b) 上是减函数
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④设 x1 , x2 ? (a, b) ,且 x1 ? x2 ,∵ u ? g ( x) 在 ( a, b) 上是减函数, ∴ g ( x1 ) ? g ( x2 ) ,且 g ( x1 ), g ( x2 ) ? (m, n) ∵ y ? f (u ) 在 (m, n) 上是减函数,∴ f ( g ( x1 )) ? g ((x2 )) . 所以复合函数 y ? f ( g ( x)) 在区间 ( a, b) 上是增函数
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例 2.求函数 y ? 8 ? 2(2 ? x 2 ) ? (2 ? x 2 ) 2 的值域,并写出其单调区间 解:题设函数由 y ? 8 ? 2u ? u 2 和 u ? 2 ? x 2 复合而成的复合函数, 函数 u ? 2 ? x 2 的值域是 (??,2] , 在

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y ? 8 ? 2u ? u 2 ? 9 ? (u ?1)2 (??,2] 上的值域是 (??,9] .

故函数 y ? 8 ? 2(2 ? x 2 ) ? (2 ? x 2 ) 2 的值域是 (??,9] .

对于函数的单调性,不难知二次函数 y ? 8 ? 2u ? u 2 在区间 (??,1) 上是减函 数,在区间 [1,??) 上是增函数; 二次函数 u ? 2 ? x 区间 (??,0) 上是减函数,在区间 [0,??) 上是增函数
2

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当 u ? (??,1) 时, 2 ? x 2 ? (??,1) ,即 2 ? x 2 ? 1 , x ? ?1 或 x ? 1 . 当 u ? [1,??) 时, 2 ? x 2 ? [1,??) ,即 2 ? x 2 ? 1 , ? 1 ? x ? 1 .
y
y

u
u ? 2 ? x2

x
y ? 8 ? 2u ? u 2

u
y ? 8 ? 2( 2 ? x 2 ) ? ( 2 ? x 2 ) 2

x

因此,本题应在四个区间 (??,?1) , [?1,0) , [0,1) , [1,??) 上考虑 ① 当 x ? (??,?1) 时, u ? 2 ? x 2 ? (??,1) ,

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而 u ? 2 ? x 2 在 (??,?1) 上是增函数, y ? 8 ? 2u ? u 2 在 (??,1) 上是增函数,所 以,函数 y ? 8 ? 2(2 ? x 2 ) ? (2 ? x 2 ) 2 在区间 (??,?1) 上是增函数 ②当 x ? [?1,0) 时, u ? 2 ? x 2 ? [1,??) , 而 u ? 2 ? x 2 在 [?1,0) 上是增函数, y ? 8 ? 2u ? u 2 在 [1,??) 上是减函数, 所以,函数 y ? 8 ? 2(2 ? x 2 ) ? (2 ? x 2 ) 2 在区间 [?1,0) 上是减函数 ③当 x ? [0,1) 时, u ? 2 ? x 2 ? (1,??) , 而 u ? 2 ? x 2 在 [0,1) 上是减函数, y ? 8 ? 2u ? u 2 在 (1,??) 上是减函数, 所以,函数 y ? 8 ? 2(2 ? x 2 ) ? (2 ? x 2 ) 2 在区间 [0,1) 上是增函数 ④当 x ? [1,??) 时, u ? 2 ? x 2 ? (??,1] , 而 u ? 2 ? x 2 在 [1,??) 上是增函数, 所以, y ? 8 ? 2u ? u 2 在 (??,1] 上是减函数,
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函数 y ? 8 ? 2(2 ? x 2 ) ? (2 ? x 2 ) 2 在区间 [1,??) 上是减函数

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综上所述, 函数 y ? 8 ? 2(2 ? x 2 ) ? (2 ? x 2 ) 2 在区间 (??,?1) 、 [0,1) 上是增函数; 在区间 [?1,0) 、 (??,1] 上是减函数
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另外,本题给出的复合函数是偶函数,在讨论具有奇偶性的函数的单调性 时,应注意应用其奇函数或偶函数的性质,以使解题过程简捷、清楚、具有条 理性 例 1 某种放射性物质不断变化为其他物质, 每经过 1 年剩留的这种物质是原 来的 84%,画出这种物质的剩留量随时间变化的图象,并从图象上求出经过多少 年,剩量留是原来的一半(结果保留 1 个有效数字) 分析:通过恰当假设,将剩留量 y 表示成经过年数 x 的函数,并可列表、描 点、作图,进而求得所求 解:设这种物质量初的质量是 1,经过 x 年,剩留量是 y 经过 1 年,剩留量 y=1×84%=0.841; 1 经过 2 年,剩留量 y=1×84%=0.842; ?? 一般地,经过 x 年,剩留量 0.5
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3.5

3

2.5

2

1.5

y=0.84 x 根据这个函数关系式可以列表如下: x y 0 1 1 0.8 2 0.7
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1

0.5

0
-0.5

1
1

2
2

3
3

4
4

5
5

3 0.5

4 0.5

5 0.4

6 0.3

4 1 9 0 2 5 用描点法画出指数函数 y=0.84x 的图象 从图上看出 y=0.5 只需 x≈4. 答:约经过 4 年,剩留量是原来的一半 评述:指数函数图象的应用;数形结合思想的体现 例 2 (课本第 81 页)比较下列各题中两个值的大小:
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① 1.7 2.5 , 1.7 3 ; 解:利用函数单调性

② 0.8 ?0.1 , 0.8 ?0.2 ;

③ 1.7 0.3 , 0.9 3.1

① 1.7 2.5 与 1.7 3 的底数是 1.7,它们可以 数 y= 1.7 x ,当 x=2.5 和 3 时的函数值;因 1.7>1,所以函数 y= 1.7 x 在 R 是增函数,而
-2 -1

5

看成 函 为 2.5<3,
1 2 3 4 5 6

4.5

4

3.5

f?x? = 1.7x
2.5 2 1.5 1

3

0.5

-0.5

所以, 1.7 < 1.7 ;
1.8

2.5

3

② 0.8

?0.1

与 0.8

?0.2

的底数是 0.8, 它们可

f?x? = 0.8x

1.6



1.4

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

-0.2

看成函数 y= 0.8 x , 当 x=-0.1 和-0.2 时的函数值; 因为 0<0.8<1, 所以函数 y= 0.8 x 在 R 是减函数,而-0.1>-0.2,所以, 0.8 ?0.1 < 0.8 ?0.2 ; ③在下面个数之间的横线上填上适当的不等号或等号: 1.7 0.3 >1; 0.9 3.1 <1;
1.7 0.3 > 0.9 3.1
3.2
3.2

3
3

2.8
2.8

2.6
2.6

2.4
2.4

2.2

2.2

2

2

1.8

1.8

f?x? =

f?x? = 0.9x

1.7x

1.6

1.6

1.4

1.4

1.2

1.2

1

1

0.8

0.8

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

-2

-1.5

-1

-0.5 -0.2

0.5

1

1.5

2

2.5

-0.5 -0.2

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

-0.4

-0.4

小结: 对同底数幂大小的比较用的是指数函数的单调性, 必须要明确所给的 两个值是哪个指数函数的两个函数值;对不同底数是幂的大小的比较可以与中 间值进行比较. 例 1 求下列函数的定义域、值域: ⑴ y ? 0.4
1 x ?1

⑵ y ?3

5 x?1

⑶ y ? 2x ?1

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分析:此题要利用指数函数的定义域、值域,并结合指数函数的图象 注意 向学生指出函数的定义域就是使函数表达式有意义的自变量 x 的取值范围 解(1)由 x-1≠0 得 x≠1 所以,所求函数定义域为{x|x≠1} 1 ?0 由 ,得 y≠1 x ?1
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所以,所求函数值域为{y|y>0 且 y≠1}

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说明:对于值域的求解,在向学生解释时,可以令

1 ? t ,考察指数函数 x ?1
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y= 0.4t ,并结合图象直观地得到,以下两题可作类似处理 (2)由 5x-1≥0 得 x ?
1 5
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所以,所求函数定义域为{x| x ? 由

1 } 5

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5x ?1 ≥0 得 y≥1
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所以,所求函数值域为{y|y≥1} (3)所求函数定义域为 R
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由 2 x >0 可得 2 x +1>1

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所以,所求函数值域为{y|y>1}

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通过此例题的训练, 学会利用指数函数的定义域、 值域去求解指数形式的复 合函数的定义域、值域,还应注意书写步骤与格式的规范性
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?1? 例 2 求函数 y ? ? ? ?2?

x2 ?2 x

的单调区间,并证明

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解:设 x1 ? x2
?1? 2 ? ? x1 ( x2 ? x1 )( x2 ? x1 ? 2 ) 2 ? x1 ? 2 x2 ? 2 x1 y2 ? 2 ? ?1? ?1? 则 ? ?? ? ?? ? 2 y1 ? 1 ? x1 ?2 x1 ? 2 ? ?2? ? ? ?2?
2 x2 ? 2 x2

∵ x1 ? x2

∴ x2 ? x1 ? 0

当 x1 , x2 ? ?? ?,1? 时, x1 ? x2 ? 2 ? 0 这时 ( x2 ? x1 )(x2 ? x1 ? 2) ? 0 即
y2 ?1 y1

∴ y2 ? y1 ,函数单调递增

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当 x1 , x2 ? ?1, ? ?? 时, x1 ? x2 ? 2 ? 0 这时 ( x2 ? x1 )(x2 ? x1 ? 2) ? 0 即
y2 ?1 y1

∴ y 2 ? y1 ,函数单调递减

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∴函数 y 在 ?? ?,1?上单调递增,在 ?1, ? ? ? 上单调递减 解法二、 (用复合函数的单调性) : 设: u ? x 2 ? 2x

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?1? 则: y ? ? ? ? 2?

u

?1? 对任意的 1 ? x1 ? x2 ,有 u1 ? u 2 ,又∵ y ? ? ? 是减函数 ? 2?
∴ y1 ? y 2
?1? ∴y?? ? ?2?
x2 ?2 x

u

在 [1,??) 是减函数

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?1? 对任意的 x1 ? x2 ? 1 ,有 u1 ? u 2 ,又∵ y ? ? ? 是减函数 ? 2?
∴ y1 ? y 2
?1? ∴y?? ? ?2?
x2 ?2 x

u

在 [1,??) 是增函数
x2 ?2 x

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?1? 引申:求函数 y ? ? ? ?2?

的值域 ( 0 ? y ? 2 )

小结:复合函数单调性的判断(见第 8 课时) 2 ( x ? R) 例 3 设 a 是实数, f ( x) ? a ? x 2 ?1 试证明对于任意 a, f ( x) 为增函数; 分析:此题虽形式较为复杂,但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明 还应要求学生注意不同题型的解答方法
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(1)证明:设 x1 , x 2 ∈R,且 x1 ? x2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (a ?


2 2 ) ? (a ? x 2 1 ?1 2 2 ? 1)
x
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2 2 2(2 x1 ? 2 x 2 ) ? x ? ? 2 2 ? 1 2 x1 (2 x1 ? 1)(2 x 2 ? 1)

由于指数函数 y= 2 x 在 R 上是增函数,且 x1 ? x2 , 所以 2 x1 ? 2 x2 即 2 x1 ? 2 x2 <0, 又由 2 x >0 得 2 x1 +1>0, 2 x2 +1>0 所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) <0 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 因为此结论与 a 取值无关,所以对于 a 取任意实数, f ( x) 为增函数
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评述:上述证明过程中,在对差式正负判断时,利用了指数函数的值域及单 调性 例 1(课本第 82 页 例 2)用计算机作出的图像,并在同一坐标系下作出下
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列函数的图象,并指出它们与指数函数 y= 2 x 的图象的关系, ⑴y= 2 x ?1 与 y= 2 x ? 2 . ⑵y= 2 x ?1 与 y= 2 x ?2 . 1 2 4 8 2 4 8 16
9

解:⑴作出图像,显示出函数数据表 x -3 -2 -1 0 x 0.125 0.25 0.5 1 2 x ?1 0.25 0.5 1 2 2 x?2 0.5 1 2 4 2 比较函数 y= 2 x ?1 、y= 2 x ? 2 与 y= 2 x 系:将指数函数 y= 2 x 的图象向左平行 1 个单位长度, 就得到函数 y= 2 x ?1 的图 将指数函数 y= 2 x 的图象向左平行移动

3 8 16 32 的 关 移 动 象 ,
1 2 3
2

8 7 6 5 4 3 2 1
-6 -4 -2

8

7

6

5

4

3

2

1

-3 -2 -1 0

2 个
4 6 8

单位长度,就得到函数 y= 2 x ? 2 的图象

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⑵作出图像,显示出函数数据表 x -3 -2 -1 0 x 0.125 0.25 0.5 1 2 x ?1 0.625 0.125 0.25 0.5 2 x ?2 0.3125 0.625 0.125 0.25 2 比较函数 y= 2 x ?1 、y= 2 x ?2 与 y= 2 x 的 指数函数 y= 2 x 的图象向右平行移动 长度,就得到函数 y= 2 x ?1 的图象,将 数 y= 2 x 的图象向右平行移动 2 个单 就得到函数 y= 2 x ?2 的图象
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1 2 1 0.5
9

2 4 2 1
8 7 6 5 4 3 2 1

3 8 4 2 关系: 将 1 个单位 指数函

8

7

6

5

4

3

2

1

-6

-4

-3 -2 -1 0
-2

1 2 3 4 5
2 4

6

8

位长度,

小结:⑴ y= 2 x ? m 与 y= 2 x 的关系:当 m>0 时,将指数函数 y= 2 x 的图象向右 平行移动 m 个单位长度, 就得到函数 y= 2 x ? m 的图象; 当 m<0 时, 将指数函数 y= 2 x 的图象向左平行移动 m 个单位长度,就得到函数 y= 2 x ? m 的图象
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?1? 例 2 ⑴已知函数 y ? ? ? ? 2?

x

3.5

3

2.5

用 计算 器或计 算机 作出 函数 图 像 ,求 定义域 、值 域, 并探 讨

2

1.5

?1? ?1? y ? ? ? 与 y ? ? ? 图像的关系 ? 2? ? 2?
-3 -2 -1
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x

x

1

0.5

D
-0.5

1

2

3

?? 1 ? ? ? ,x ? 0 解 : y ? ?? ?2? ? 2x , x ? 0 ?
x



义域:x?R

值域: 0 ? y ? 1
x

?1? ?1? 关系:将 y ? ? ? 的图像 y 轴右侧的部分翻折到 y 轴左侧的到 y ? ? ? 的 ? 2? ? 2?
图像,关于 y 轴对称.

x

?1? ⑵已知函数 y ? ? ? ?2? ?1? 并探讨 y ? ? ? ? 2?
x ?1

x ?1

用计算器或计算机作出函数图像,求定义域、值域,
x ?1
3.5

x ?1

?1? 与 y ?? ? ?2?

图像的关系

3
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2.5

2

?? 1 ? ? ? , x ?1 解: y ? ?? ?2? ? 2 x?1 , x ? 1 ?
0 ? y ?1

1.5

定义域: x?R

值域:
-3 -2 -1

1

1

0.5

D
-0.5

1

1

2

3

?1? 关系:将 y ? ? ? ? 2? ?1? 左侧得到 y ? ? ? ?2?
x ?1

x ?1

(x>1)的图像在直线 x=1 右侧的部分翻折到直线 x=1

的图像,是关于直线 x=1 对称

⑵推广:对于有些复合函数的图象,则常用基本函数图象+变换方法作出: 基本函数图象+变换:即把我们熟知的基本函数图象,通过平移、作其对称 图等方法,得到我们所要求作的复合函数的图象,如上例,这种方法我们遇到 的有以下几种形式: 函 数 y=f(x) y=f(x+a) a>0 时, 向左平移 a 个单位; a<0 时, 向右平移|a|个单位. y=f(x)+a a>0 时, 向上平移 a 个单位; a<0 时, 向下平移|a|个单位. y=f(-x) y=f(-x)与 y=f(x)的图象关于 y 轴对称. y=-f(x) y=-f(x)与 y=f(x)的图象关于 x 轴对称. y=-f(-x) y=-f(-x)与 y=f(x)的图象关于原点轴对称. y=f(|x|) y=f(|x|)的图象关于 y 轴对称,x ? 0 时函数即 y=f(x), 所以 x<0 时的图象与 x ? 0 时 y=f(x)的图象关于 y 轴对称. y=|f(x)| ? f ( x), f ( x) ? 0; ∵ y ? f ( x) ? ? , ∴ y=|f(x)| 的 图 象 是 ?? f ( x), f ( x) ? 0. y=f(x) ? 0 与 y=f(x)<0 图象的组合. y = y= f
?1

( x) 与 y=f(x)的图象关于直线 y=x 对称.

f

?1

( x)

以上是在高一阶段我们看到的几种函数图象的变换, 但随着知识的增加, 还 会有许多较复杂的变换,以后再作研究. 例 3 探讨函数 y ? a x 和 y ? a ? x (a ? 0且a ? 1) 的图象的关系,并证明关 于 y 轴对称
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证:设 P( x1 , y1 )是函数 y ? a x (a ? 0且a ? 1) 的图象上任意一点

则 y1 ? a x1 ∴

而 P( x1 , y1 )关于 y 轴的对称点 Q 是(- x1 , y1 ) 即 Q 在函数 y ? a ? x 的图象上
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y1 ? a x1 ? a ?( ? x1 )

由于 P 是任意取的,所以 y ? a x 上任一点关于 y 轴的对称点都在 y ? a ? x 的 图象上
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同理可证: y ? a ? x 图象上任意一点也一定在函数 y ? a x 的图象上 ∴ 函数 y ? a x 和 y ? a ? x 的图象关于 y 轴对称 例 4 已知函数 y ?
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2 x ? 2? x 2

求函数的定义

6

5

4

域、值域 解:作出函数图像,观察分析讨论,教师引导、 整理 定义域为 R
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3

2

1

-4

-2

2

4

2 x ? 2? x 由y? 得 2

22 x ? 2 y ? 2 x ? 1 ? 0
即 4y2 ? 4 ? 0 , ∴ y2 ?1 , 又∵ y ? 0 ,∴ y ? 1

∵x?R,

∴△ ? 0,

例 1 已知函数 f ( x) 的定义域是[0,1] ,则函数 f ( x 2 ) 的定义域是________. 解:由 0≤ x 2 ≤1,解得-1≤ x ≤1 ∴ f ( x 2 ) 的定义域为[-1,1].

评述:针对题目中函数关系抽象的特点,可将 f ( x) 具体化,能有助于对问题 的 理 解 与 判 断 . 设 f ( x) = x(1 ? x) , 它 的 定 义 域 是 [ 0 , 1 ] , 这 时 , f (x 2 ) =
x 2 (1 ? x 2 ) 的定义域是[-1,1] ,由此可见,列举实例是处理抽象函数有关问

题的有效方法. 例 2 若函数 f(x)=x 2 +bx+c 对任意实数 x 都有 f(2+x)=f(2-x),那么( )

A.f(2)<f(1)<f(4) B.f(1)<f(2)<f(4) C.f(2)<f(4)<f(1) D.f(4)<f(2)<f(1) 分析:此题解决的关键是将函数的对称语言转化为对称轴方程. 解:由 f(2+x)=f(2-x)可知:函数 f(x)的对称轴为 x=2,由二次函数 f(x)开 口方向向,可得 f(2)最小,又 f(4)=f(2+2)=f(2-2)=f(0) 在 x<2 时,y=f(x)为减函数
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∵0<1<2,∴f(0)>f(1)>f(2) 即 f(2)<f(1)<f(4) 答案:A 通过此题可将对称语言推广如下: (1)若对任意实数 x,都有 f(a+x)=f(a-x)成立,则 x=a 是函数 f(x)的对称轴 a?b (2) 若对任意实数 x,都有 f(a+x)=f(b-x)成立, 则 x= 是 f(x)的对称轴. 2
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例 3 求 f(x)=x 2 -2ax+2 在[2,4]上的最大值和最小值. 解:先求最小值. 因为 f(x)的对称轴是 x=a,可分以下三种情况: (1)当 a<2 时,f(x)在[2,4]上为增函数,所以 f(x)min=f(2)=6-4a; (2)当 2≤a<4 时,f(a)为最小值,f(x)min=2-a 2 ; (3)当 a>4 时,f(x)在[2,4]上为减函数,所以 f(x)min=f(4)=18-8a
(a ? 2) ?6 ? 4a, ? 2 (2 ? a ? 4) 综上所述:f(x)min= ?2 ? a , ?18 ? 8a, (a ? 2) ? 最大值为 f(2)与 f(4)中较大者:f(2)-f(4)=(6-4a)-(18-8a)=12+4a (1)当 a≥3 时,f(2)≥f(4),则 f(x)max=f(2)=6-4a; (2)当 a<3 时,f(2)<f(4),则 f(x)max=f(4)=18-8a.
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3

9

2

2

8

-10

-5

0 2 4a
5 -2 -4 -6

10

15

20

25

7

1

6
-4 -2

5
-1

0
-2

2

2

a

4

4

6

8
-8

-10

4
-12

3

-14

-3

2

-16

-18

-4

1
-20

-6

-4

-2

0

a
-1

2

2

4
4

-5

6

8

-22

?6 ? 4a, 故 f(x)max= ? ?8 ? 8a,

(a ? 3) (a ? 3)

评述:本题属于二次函数在给定区间上的最值问题,由于二次函数的系数含有 参数,对称轴是变动的,属于“轴动区间定” ,由于图象开口向上,所以求最小 值要根据对称轴 x=a 与区间[2,4]的位置关系,分三种情况讨论;最大值在 端点取得时,只须比较 f(2)与 f(4)的大小,按两种情况讨论即可,实质上是讨 论对称轴位于区间中点的左、右两种情况. 例 4 函数 f(x)=x 2 -bx+c, 满足对于任何 x∈R 都有 f(1+x)=f(1-x), 且 f(0)=3, 则 f(b x )与 f(c x )的大小关系是( A.f(b x )≤f(c x ) C.f(b x )<f(c x ) ) B.f(b x )≥f(c x ) D.f(b x )>f(c x )

分析:由对称语言 f(1+x)=f(1-x)可以确定函数对称轴,从而确定 b 值,再 由 f(0)=3,可确定 c 值, 然后结合 b x ,c x 的大小关系及二次函数的单调区间使问 题得以解决. 解:∵f(1+x)=f(1-x)∴f(x)的对称轴 x=∴b=2,又 f(0)=3,∴c=3, ∴f(x)=x 2 -2x+3
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?b =1 2

(1)当 x>0 时,1<2 x <3 x ,且 f(x)在[1,+∞ ) 上是增函数 所以 f(2 x )<f(3 x ),即 f(b x )<f(c x )
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(2)当 x<0 时,1>2 x >3 x ,且 f(x)在(-∞,1)上是减函数,所以 f(2 x )< f(3 x ),即 f(b x )<f(c x )
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(3)当 x=0 时,2 x =3 x =1 则 f(2 x )=f(3 x ),即 f(b x )=f(c x ) 综上所述,f(b x )≤f(c x ). 答案:A 一、选择题 1、 设集合 A 和集合 B 都是自然数集合 N, 映射 f : A ? B 把集合 A 中的元素 n 映射到集合 B 中的元素 2 n ? n ,则在映射 f 下,象 20 的原象是 (A)2 (B)3
1 3

(C)4

(D)5

2、已知不等式为 (A) ?

? 3 x ? 27 ,则 x 的取值范围

1 1 ? x ? 3 (B) ? x ? 3 (C) R 2 2
1 x ?1

(D)

1 1 ?x? 2 3

3、函数 y ? 2

在定义域上的单调性为 (B)减函数 (D)增函数

(A)在 ?? ?,1? 上是增函数,在 ?1,??? 上是增函数 (C)在 ?? ?,1? 上是减增函数,在 ?1,??? 上是减函数 4、函数 f ( x ) ?

1? x 的定义域为 A,函数 y ? f [ f ( x)] 的定义域为 B,则 1? x

(A) A ? B ? B (B) A ? B

(C) A ? B ? B

(D) A ? B

5、 (不做)若函数 f ( x) 的图象经过 (0,?1) ,那么 f ( x ? 4) 的反函数图象经过 点 (A) (4,?1) (B) (?1,?4) (C) (?4,?1) (D) (1,?4)

6、下列式子或表格 ① y ? 1 ? a x ? log a ( x ? 1)( a ? 1) ② y ? 2 x ,其中 x ? {0,1,2,3} , y ?{0,2,4} ③ x2 ? y2 ? 1 ⑤ x 1 9 y 0 9 2 8 9 ④ x 2 ? y 2 ? 1( y ? 0) 3 8 5 4 8 5 5 9 其中表示 y 是 x 的函数的是 (C)③④ (D)④⑤
?1

(A)①②③④⑤

(B)②③⑤

7、 (不做)已知函数 y ? f ( x) 的反函数 f
y ? f ( x ? m)(m ? R) 的值域是

( x) 的定义域为 [0,1] ,那么函数

(A) [?m,1 ? m] (B) [?1,0] (C) [0,1] (D)R 8、已知函数 f ( x) ? ax2 ? (a 3 ? a) x ? 1在 (??,?1] 上递增,则 a 的取值范围是 (A) a ? 3 (B) ? 3 ? a ? 3 (C) 0 ? a ? 3 (D) ? 3 ? a ? 0

9 、已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? (a 2 ? b) x ? c 的图像开口向上,且 f (0) ? 1 ,
f (1) ? 0 ,则实数 b 取值范围是
3 (A) ( ?? ,? ] 4 3 (B) [? ,0) 4

(C) [0,??) (D) (??,?1)

10、函数 y ? a x?2 ? 1 ( a ? 0 ,且 a ? 1 )的图象必经过点 (A)(0,1) (B)(1,1) (C) (2, 0) (D) (2,2)

? ?? 的是 11、下列函数中值域为 ?0 ,
(A) y ? 5
1 2? x

?1? (B) y ? ? ? ? 3?
x

1? x

?1? (C) y ? ? ? ? 1 ?2?

(D) y ? 1 ? 2 x

12、甲乙二人同时从 A 地赶往 B 地,甲先骑自行车到中点改为跑步,而乙则 是先跑步到中点改为骑自行车,最后两人同时到达 B 地,又知甲骑自行车比乙 骑自行车的速度快, 并且二人骑车速度均比跑步速度快 若某人离开 A 地的距离 S 与所用时间 t 的函数关系可用图象表示,则下列给出的四个函数图象中,甲、 乙各人的图象只可能是
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(A)甲是图①,乙是图② (C)甲是图③,乙是图② 二、填空题:
? ? 4? 13、 0.064 3 ? ? ? ? ? ?? 2?3 ? 5? 1 0

(B)甲是图①,乙是图④ (D)甲是图③,乙是图④

?

?

?

4 3

1

? 16?0.75 ? 0.012 ? ________

14、设 f ?x ? ? 4 x ? 2 x ?1 ,则 f

?1

?0? ? ________(不做)
x ? n( n ? R ) 互 为 反 函 数 的 充 要 条 件 是 2

15 、 函 数 y ? mx ? 1( x ? R), 与 y ? ___________

1 16、若点 (2, ) 既在函数 y ? 2 ax ?b 的图象上,又在它的反函数的图象上,则 4 a =__________________, b =__________________
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1

17、若 ? 1 ? a ? 0 ,则 3a , a 3 , a 3 由大到小的顺序是____________ 三、解答题:

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?1? 18、求函数 y ? ? ? ?2?

1? 2 x ? x 2

的值域和单调区间

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19、曙光公司为了打开某种新产品的销路,决定进行广告促销,在一年内,预 3x ? 1 ( x ? 0) 已 计年销量 Q(万件)与广告费 x(万元)之间的函数关系式是 Q= x ?1 知生产此产品的年固定投入为 3 万元,每生产 1 万件此产品仍需投入 32 万元, 若每件售价是“年平均每件成本的 150%”与“年平均每件所占广告费的 50%” 之和,当年产销量相等 试将年利润 y(万元)表示为年广告费 x 万元的函数,并 判断当年广告费投入 100 万元时,该公司是亏损还是盈利?
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函数复习小结-基本训练题参考答案: 1.C 7.C 2.A 8.D 3.C 9.D 14. 1 4.B 10.D 6.D 12.B 1 15. m=2,n= ? 2 5.B 11.B

13. 1.7875

9 4 ,b = 7 7 1 1 解:由已知 (2, ) 在反函数的图象上,则 ( ,2) 必在原函数的图象上 所以原函数 4 4 ?1 2 a ?b ?2a ? b ? ?2 ?4 ? 2 1 1 ? 经过点 (2, ) 和 ( ,2) 则 ? ,所以 ? 1 , 1 4 4 a ?b ?1 a ?b ? ? 4 ?4 ?2 ? 2

16

a=?

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9 ? a ? ? ? ? 7 解得 ? 4 ?b ? ? 7 ?

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1

17. 3a ? a 3 ? a 3
1 1
1

解: 因为 3a ? 0 , 且由 ? 1 ? ? a ? 0 得 (?a) 3 ? (?a) 3 , 既 ? a 3 ? ?a 3 , a3 ? 0, a3 ? 0 ,
1

所以 a 3 ? a 3
a 3

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因此 3 ? a ? a

1 3
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?1? 18. 解:(1)令 t ? 1 ? 2 x ? x 2 ,则 y ? ? ? ,而 t ? ?( x ? 1) 2 ? 2 ? 2 所以 ?2? 1 ?1? ?1? y ?? ? ?? ? ? 4 ? 2? ? 2?
t 2

t

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?1 既所求的函数的值域是 ? , ? ?? ?4
?1? (2) 函数 y ? ? ? ?2?
1? 2 x ? x 2

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在 ?? ? , 1? 上是减函数;在 ?1 , ? ?? 上是增函数
3x ? 1 万件, x ?1

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19. 解:设每年投入 x 万元,年销量为 Q ? 每件产品的年平均成本为 32 ?
x , Q 3 , Q

年平均每件所占广告费为

? 3? 3 1 x x?9 销售价为 ? ? 32 ? Q ? ? ? 2 ? 2 ? Q ? 48 ? 2Q ? ?

?? x?9? ? 3 ?? x?3 年利润为 y ? Q ?? ? 48 ? 2Q ? ??? ? 32 ? Q ? ?? ? x ? 16Q ? 2 ? x ? ? ?? ??

? 32 x ? 1 ? ? 50 ? ? ? ? 2 ? ? x ?1

当 x=100 时,明显 y<0 故该公司投入 100 万元时,该公司亏损
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