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3.2-导数的概念及其几何意义(第二课时)-课件-(北师大选修1-1)_图文

什么叫函数的导数? 在数学中 , 称瞬时变化率为函数 y ? f ( x)在点x0点 的导数, 通常用符号f ?( x0 )表示, 记作 :
f ( x1 ) ? f ( x0 ) f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) f ?( x0 ) ? lim ? lim . x1 ? x0 x1 ? x0 x1 ? x0 ?x

y=f(x)

割线的斜率
如右图,直线AB称为曲 线y=f(x)在点A处的一条 割线.则割线AB的斜率 为:

y f(x2) B f(x2)-f(x1)=△y f(x1) A

x2-x1=△x
O x1 x2 x

f ( x2 ) - f ( x1 ) D y k= = D x x2 - x1

问题
如右图可知: 当割线AB中点B 沿着曲线y ? f ( x)趋向于点A 割线AB将绕点A转动, 最后趋 于直线l , 此时?x ? 0.而直线l 和曲线y ? f ( x)在点A处" 相切". 称直线l为曲线y ? f ( x)在点A 处的切线 .该切线的斜率是函数 y ? f ( x)在处的导数f ?( x0 ).
A o
?

y=f(x) y B

割 线 切 线 l
x

x0

变化过程演示

函数y ? f ( x)在x0处的导数, 是曲线y ? f ( x) 在点( x0 , f ( x0 ))处的切线的斜率 .函数y ? f ( x) 在x0处切线的斜率反映了导 数的几何意义 .

例题讲解
例4已知函数y ? f ( x) ? x , x0 ? ?2.
2

(1)分别对?x ? 2,1,0.5求y ? x 在区间 [ x0 , x0 ? ?x]
2

的平均变化率 .并画出过点 ( x0 , f ( x0 ))的相应割线 . (2)求函数y ? x 2在x0 ? ?2处的导数, 并画出曲线 y ? x 在点(?2,4)处的切线.
2

解 : (1)?x ? 2,1,0.5时, 区间[ x0 , x0 ? ?x]相应为 [?2,0], [?2,?1],[?2,?1.5].y ? x 在这些区间中的平均变 化
2

率分别为: f (0) ? f (?2) 0 ? (?2) ? ? ?2, 2 2 f (?1) ? f (?2) (?1) 2 ? (?2) 2 ? ? ?3, 1 1 2 2 f (?1.5) ? f (?2) ( ?1.5) ? (?2) ? ? ?3.5. 0.5 0.5
2 2

y ? x2

其相应割线 , 如右图, 分别是过点 (?2,4)和 点(0,0)的直线l1 , 过点 (?2,4)和点(?1,1)的直 线l2 , 过点(?2,4)和点 (?1.5,2.25)的直线l3 .
-2 -1

y
4 3 2 1 O 1
L

2

x

l3

l2

l1

(2) y ? x 在区间[?2,?2 ? ?x]
2

y ? x2
y
4 3 2 1 -2 -1
L

上的平均变化率为 (?2 ? ?x) 2 ? (?2) 2 ? 4?x ? (?x) 2 ? ?x ?x ? ?4 ? ?x. 令?x趋于零.知函数y ? x 在
2

O

1

2

x

x0 ? ?2处的导数为数? 4. 曲线y ? x 2在(?2,4)处的切线为l, 如右图.
l

例5求函数y ? f ( x) ? 2x 在x ? 1处的切线方程 .
3

解 : 先求y ? 2 x 3在x ? 1处的导数. f (1 ? ?x ) ? f (1) 2(1 ? ?x ) ? 2 ? 1 ? ?x ?x 2 3 2[1 ? 3?x ? 3( ?x ) ? ( ?x ) ] ? 2 ? ?x 2 ? 6 ? 6?x ? 2( ?x ) .
3 3

令?x趋于零, 可知y ? 2x3在x ? 1处的导数为 f ?(1) ? 6.

这样, 函数y ? 2 x 在点(1, f (1)) ? (1,2)处的切线斜
3

率为6.即该切线经过点 (1,2), 斜率为6.因此切线方 程为( y ? 2) ? 6( x ? 1).即 : y ? 6 x ? 4.如下图.
4 3

2

1

-4

-2

2

4

6

-1

y ? 2x

3

-2

y ? 6x ? 4

-3

-4

例6:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
y
Q

f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ) 解 : k ? lim 2 y = x +1 ?x ? 0 ?x 2 (1 ? ?x ) ? 1 ? (1 ? 1) ? lim ?x ? 0 ?x 2 2 ?x ? ( ?x ) ? lim ? 2. ?x ? 0 ?x
因此,切线方程为y-2=2(x-1), 即y=2x.

?y

P
?x

M

1 -1 O

j

x

1

求曲线在某点处的切线方程 的基本步骤: ①求出P点的坐标; ②利用切线斜率的定义求 出切线的斜率; ③利用点斜式求切线方程.

练习:如图已知曲线

,求: (1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.

1 3 8 y ? x 上一点 P ( 2, ) 3 3

1 1 3 3 ( x ? ?x ) ? x 1 3 ?y 3 解: (1) y ? x ,? y? ? lim ? lim 3 y ?x ? 0 ? x ?x ? 0 3 ?x 1 y? x 3 4 1 3 x 2 ?x ? 3 x ( ?x ) 2 ? ( ?x ) 3 ? lim 3 ? x ? 0 3 ?x 2 1 ? lim[3 x 2 ? 3 x?x ? ( ?x ) 2 ] ? x 2 . 1 ? x ? 0 3

3

P
x

? y? |x?2 ? 22 ? 4.

-2 -1

O -1 -2

1

2

即点P处的切线的斜率等于4.

(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.

小结:
1.导数的几何意义是什么?
2.求切线方程的步骤: (1)求出函数在点x0处的变化率 f ?( x0 ) ,得到曲线 在点(x0,f(x0))的切线的斜率。 (2)根据直线方程的点斜式写出切线方程,即

y ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )( x ? x0 ).


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