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高考数学一轮复习专题18三角函数的图象和性质教学案理(数学教案)

专题 18 三角函数的图象和性质 1.能画出 y=sin x,y=cos x,y=tan x 的图象,了解三角函数的周期性; 2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π ]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与 ? π π? x 轴的交点等),理解正切函数在区间?- , ?内的单调性. ? 2 2? 1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 ?π ? (1)正弦函数 y=sin x,x∈[0,2π ]的图象中,五个关键点是:(0,0),? ,1?,(π , ?2 ? 0),? ?3π ,-1?,(2π ,0). ? ? 2 ? ?π ? (2)余弦函数 y=cos x,x∈[0,2π ]的图象中,五个关键点是:(0,1),? ,0?,(π , ?2 ? -1),? ?3π ,0?,(2π ,1). ? ? 2 ? 2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中 k∈Z) 函数 图象 y=sin x y=cos x y=tan x {x|x∈R,且x≠ 定义域 R R kπ + ,k∈Z? ? π 2 R ? 值域 周期性 奇偶性 递增 区间 递减 区间 [-1,1] 2π 奇函数 [-1,1] 2π 偶函数 [2kπ -π ,2kπ ] π 奇函数 ?2kπ -π ,2kπ +π ? ? 2 2? ? ? ?2kπ +π ,2kπ +3π ? ? ? 2 2 ? ? ?kπ -π ,kπ +π ? ? 2 2? ? ? 无 [2kπ ,2kπ +π ] -1- 对称 (kπ ,0) 中心 对称轴 方程 ?kπ +π ,0? ? ? 2 ? ? x=kπ ?kπ ,0? ? 2 ? ? ? 无 x=kπ + π 2 高频考点一三角函数的定义域及简单的三角不等式 π? ? 【例 1】 (1)函数 f(x)=-2tan?2x+ ?的定义域是( 6? ? ? π? A.?x|x≠ ? 6? ? ? ? π C.?x|x≠kπ + (k∈Z)? 6 ? ? ? π? B.?x|x≠- ? 12? ? ) D.?x|x≠ ? ? kπ 2 ? π + (k∈Z)? 6 ? (2)不等式 3+2cos x≥0 的解集是________. (3)函数 f(x)= 64-x +log2(2sin x-1)的定义域是________. 2 ? ?64-x ≥0,① (3)由题意,得? ?2sin x-1>0,② ? 2 1 π 5 由①得-8≤x≤8,由②得 sin x> ,由正弦曲线得 +2kπ <x< π +2kπ (k∈Z). 2 6 6 -2- 7 ? ?π 5 ? ?13π ? 11 ,8? 所以不等式组的解集为?- π ,- π ?∪? , π ?∪? ?. 6 ? ?6 6 ? ? 6 ? 6 ? 答案 (1)D ? ? 5 5 (2) ?x|- π +2kπ ≤x≤ π +2kπ ,k∈Z? 6 6 ? ? 7 ? ? 11 (3) ?- π ,- π ? ∪ 6 6 ? ? ?π ,5π ?∪?13π ,8? ?6 6 ? ? 6 ? ? ? ? ? 【方法规律】(1)三角函数定义域的求法 ①以正切函数为例, 应用正切函数 y=tan x 的定义域求函数 y=Atan(ω x+φ )的定义域. ②转化为求解简单的三角不等式求复杂函数的定义域. (2)简单三角不等式的解法 ①利用三角函数线求解. ②利用三角函数的图象求解. 【变式探究】 (1)函数 y=tan 2x 的定义域是( ? ? π A.?x|x≠kπ + ,k∈Z? 4 ? ? ? ? π C.?x|x≠kπ + ,k∈Z? 8 ? ? ) B.?x|x≠ ? ? ? ? kπ kπ 2 ? π + ,k∈Z? 2 8 ? ? π + ,k∈Z? 4 ? D.?x|x≠ (2)函数 y= sin x-cos x的定义域为________. π kπ π 解析 (1)由 2x≠kπ + ,k∈Z,得 x≠ + ,k∈Z, 2 2 4 ∴y=tan 2x 的定义域为?x|x≠ ? ? kπ ? π + ,k∈Z?. 2 4 ? (2)法一 要使函数有意义,必须使 sin x-cos x≥0.利用图象,在同一坐标系中画出[0, 2π ]上 y=sin x 和 y=cos x 的图象,如图所示. π 5π 在[0,2π ]内,满足 sin x=cos x 的 x 为 , ,再结合正弦、余弦函数的周期是 2π , 4 4 ? ? π 5π 所以原函数的定义域为?x|2kπ + ≤x≤2kπ + ,k∈Z?. 4 4 ? ? 法二 利用三角函数线,画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示). ? ? π 5π 所以定义域为?x|2kπ + ≤x≤2kπ + ,k∈Z?. 4 4 ? ? -3- π ? π? 法三 sin x-cos x= 2sin?x- ?≥0,将 x- 视为一个整体,由正弦函数 y=sin x 4 4 ? ? π 的图象和性质可知 2kπ ≤x- ≤π +2kπ (k∈Z), 4 π 5π 解得 2kπ + ≤x≤2kπ + (k∈Z). 4 4 ? ? π 5π 所以定义域为?x|2kπ + ≤x≤2kπ + ,k∈Z?. 4 4 ? ? ? ? π 5π 答案 (1)D (2)?x|2kπ + ≤x≤2kπ + ,k∈Z? 4 4 ? ? 高频考点二 三角函数的值域(最值) 13 ? ?7 【例 2】 (1)函数 y=-2sin x-1,x∈? π , π ?的值域是( 6 ? ?6 A.[-3,1] C.(-3,1] B.[-2,1] D.(-2,1] ) ) ?π ? (2)(2016·全国Ⅱ卷)函数 f(x)=cos 2x+6cos? -x?的最大值为( ?2 ? A.4 B.5 C.6 D.7 (3)函数 y=s

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