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2014高考数学文复习方案 二轮作业手册(新课标·通用版)专题限时集:第18讲 函数与方程思想、数形结合思想

专题限时集训(十八) [第 18 讲 函数与方程思想、数形结合思想] (时间:45 分钟)

1.若 i(x+yi)=3+4i,x,y∈R,则复数 x+yi 的模是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 1 1 2.直线 y= x+b 与曲线 y=- x+ln x 相切,则 b 的值为( ) 2 2 A.-2 B.1 1 C.- D.-1 2 x2 y2 3.F1,F2 是双曲线 C: 2 - 2=1(a>0,b>0)的两个焦点,过左焦点 F1 的直线 l 与双曲线 a b C 的左、 右两支分别交于 A, B 两点. 若|AB|∶|BF2|∶|AF2|=3∶4∶5, 则双曲线的离心率是( ) A. 13 B. 15 C.2 D. 3 x≥1, ? ? 4.已知 a>0,x,y 满足约束条件?x+y≤3, 若 z=2x+y 的最小值为 1,则 a=( ? ?y≥a(x-3).

)

1 1 A. B. C.1 D.2 4 2 5.函数 f(x)=ln x 的图像与函数 g(x)=x2-4x+4 的图像的交点个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 6.若点 P 是曲线 y=x2-ln x 上任意一点,则点 P 到直线 y=x-2 的最小值为________. y 7.已知实数 x,y 满足 x2+y2-4x+1=0,则 的最大值为( ) x A.1 B.- 3 C. 3 D.2 8.已知 f(x)是定义域为 R 的奇函数,f(-4)=-1,f(x)的导函数 f′(x)的图像如图 X18-1 a+2 所示.若两正数 a,b 满足 f(a+2b)<1,则 的取值范围是( b+2 )

图 X18-1 1 ? A.? ?3,2? B.(-∞,-1) C.(-1,0) 1 ? D.? ?2,3? 9.已知函数 f(x)=3x+sin x-2cos x 的图像在点 A(x0,f(x0))处的切线斜率为 3,则 tan x0 的值是________.

1 1 10.若曲线 y=x- 在点(m,m- )处的切线与两坐标轴围成三角形的面积为 18,则 m= 2 2 ________. 的值域是________. 3-cos x 1 12.已知函数 f(x)=2x+x,g(x)=x-log x,h(x)=log2x- x的零点分别为 x1,x2,x3, 2 则 x1,x2,x3 的大小关系是______________. 13.设函数 f(x)=x2+aln(x+1)有两个极值点 x1,x2,且 x1<x2. (1)求实数 a 的取值范围; 3 1 (2)当 a= 时,判断方程 f(x)=- 的实数根的个数,并说明理由. 8 4 11.函数 y= 2-sin x

14.已知函数 f(x)=ex,x∈R. (1)若直线 y=kx+1 与 f(x)的反函数的图像相切,求实数 k 的值; (2)设 x>0,讨论曲线 y=f(x)与曲线 y=mx2(m>0)公共点的个数.

1 1 15.设 f(x)=ln(x2+1),g(x)= x2- . 2 2 (1)求 F(x)=f(x)-g(x)的单调区间,并证明对[-1,1]上的任意 x1,x2,x3,都有 F(x1)+ F(x2)>F(x3); (2)将 y=f(x)的图像向下平移 a(a>0)个单位, 同时将 y=g(x)的图像向上平移 b(b>0)个单位, a+1 使它们恰有四个交点,求 的取值范围. b+1

1.D |x+yi|=

专题限时集训(十八) [解析] i(x+yi)=-y+xi=3+4i,根据两复数相等的充要条件得 x=4,y=-3.故 x2+y2=

(-3)2+42=5. 1 1 1 1 1 1 2.D [解析] 由 y=- x+ln x 得 y′=- + .又因为 y′=- + = ,解得 x=1.把 x=1 2 2 x 2 x 2 1 1 1 1 ? 代入曲线方程 y=- x+ln x 得 y=- ,所以切点坐标为? ?1,-2?,代入直线方程 y=2x+b 2 2 得 b=-1. 3.A [解析] 由|AB|∶|BF2|∶ |AF2|=3∶4∶5,令|AB|=3t, |BF2|=4t, |AF2|=5t,则由

? ?|BF1|-|BF2|=2a, 得|AF1|=3t,t=a.由|AB|∶|BF2|∶|AF2|=3∶4∶5 知,△ABF2 为直角三角 ? ?|AF2|-|AF1|=2a, ?
形,即∠ABF2=90°,则|F1B|2+|F2B|2=|F1F2|2,所以(6a)2+(4a)2=(2c)2,解得 c= 13a,故 e c = = 13. a

4.B [解析] 由于直线 y=a(x-3)过定点(3,0),则画出可行域如图所示,易得 A(1,- 2a),B(3,0),C(1,2). 作出直线 y=-2x,经过平移易知直线过 A 点时,直线在 y 轴上的截 1 距最小,即 2+(-2a)=1,解得 a= .故答案为 B. 2

5.C [解析] 方法一,作出函数 f(x)=ln x,g(x)=x2-4x+4 的图像如图所示,则两个函 数图像的交点个数为 2,故选 C. 2x2-4x-1 1 2 方法二,构造函数 φ(x)=ln x-x +4x-4,则 φ′(x)= -2x+4=- .又因为方 x x 4+ 24 2+ 6 程 2x2-4x-1=0 的大于零的根的是 x0= = ,且在(0,x0)上 φ′(x)>0,在(x0,+ 4 2 ∞)上 φ′(x)<0,所以函数 φ(x)至多有两个零点.由于 φ(1)=-1<0,φ (2)=ln 2>0,φ (4)=ln 4 -4<0,则函数 φ(x)有两个不同的零点.故函数 f(x)=ln x 的图像与函数 g(x)=x2-4x+4 的图 像的交点个数为 2.

1 1 6. 2 [解析] y′=2x- ,令 y′=1,得方程 2x2-x-1=0,解得 x=- (舍去)或 x=1,故 x 2 2 与直线 y=x-2 平行且与曲线 y=x -ln x 相切的直线的切点坐标为(1,1),该点到直线 y=x -2 的距离 d= 2即为所求. 7. C [解析] 由题意得(x-2)2+y2=3, 即方程表示以(2, 0)为圆心, r= 3为半径的圆. 设 y |2k| k= ,则 y=kx,即 kx-y=0,当直线 kx-y=0 与圆相切时 k 取得最值,即 = 3, x k2+1 y 解得 k=± 3,所以 k 的最大值为 3,故 的最大值为 3. x 8. D [解析] 因为 f(x)是定义域为 R 的奇函数, f(-4)=-1, 所以 f(4)=1.又因为 f′(x)≥0 a>0, ? ? 恒成立,所以函数 f(x)在 R 上单调递增.若两正数 a,b 满足 f(a+2b)<1,则?b>0, 把 b 看 ? ?a+2b<4. a>0, ? ? 作横坐标,a 看作纵坐标,则线性约束条件?b>0, 的可行域是以点(0,0),(2,0),(0,4) ? ?a+2b<4 a+2 为顶点的三角形. 的几何意义为过点(-2,-2)和(b,a)的直线的斜率,由可行域知,当(b, b+2 a+2 0+2 1 a+2 a)为点(2,0)时, 取最小值,其最小值为 = ;当(b,a)为点(0,4)时, 取最大值, b+2 2+2 2 b+2 4+2 a+2 1 ? ,3 其最大值为 =3.故 的取值范围是? 2 ?. ? 0+2 b+2 1 9.- [解析] f′(x)=3+cos x+2sin x,根据已知 3+cos x0+2sin x0=3,由此可得 tan x0 2 1 =- . 2 1 1 3 1 3 10.64 [解析] 由题意知 m>0,因为 y=x- ,所以 y′=- x- ,则 y′|x=m=- m- . 2 2 2 2 2 1 1 3 1 3 3 1 3 1 故切线方程为 y-m- =- m- (x-m),即 y=- m- x+ m- .令 x=0,则 y= m- , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 1 令 y=0,则 x=3m.因为切线与两坐标轴围成三角形的面积为 18,所以 ?3m? m- =18, 2 2 2 解得 m=64.

11.?

2-sin x ?3- 3 3+ 3? 的几何意义是指坐标平面上定点 A(3,2) ? [解析] 函数 y= , 4 ? ? 4 3-cos x

与动点 M(cos x,sin x)连线的斜率.又因为动点 M 的两坐标的平方和为 1,所以动点 M 是由 坐标平面内单位圆上的点组成的.故问题等价于求定点 A 和单位圆上的动点连线的斜率的取 值范围.如图所示,函数 y= 的值域的两个端点,就是过点 A 的单位圆的两条切线 3-cos x 2-sin x

|-3k+2| AM,AN 的斜率.设切线方程为 y-2=k(x-3),即 kx-y-3k+2=0.由题意知,d= 1+k2 3± 3 ?3- 3 3+ 3? =1,解得 k= ,故所求函数的值域为? ?. 4 ? 4 , 4 ? 1 12.x3>x2>x1 [解析] 由 f(x)=2x+x=0,g(x)=x-log x=0,h(x)=log2x- x=0 得 2x 2 1 1 =-x,x=log x,log2x= x.在平面直角坐标系中分别作出 y=2x 与 y=-x,y=x 与 y=log 2 2 x,y=log2x 与 y= x的图像,如图所示,由图像可知-1<x1<0,0<x2<1,x3>1,所以 x3>x2>x1.

2x +2x+a a 13.解:(1)由 f(x)=x +aln(x+1),可得 f′(x)=2x+ = (x>-1). x+1 x+1 1 令 g(x)=2x2+2x+a(x>-1),则其对称轴为 x=- .由题意可知 x1,x2 是方程 g(x)=0 的 2
2 2

? ?Δ=4-8a>0, 1 两个均大于-1 的不相等的实数根,其充要条件为? 解得 0<a< . 2 ?g(-1)=a>0, ? 3? 3 3 1 (2)由 a= 可知 x1=- ,x2=- ,从而易知函数 y=f(x)在? ?-1,-4?上单调递增,在 8 4 4 ?-3,-1?上单调递减,在?-1,+∞?上单调递增. 4? ? 4 ? 4 ? 3 3 3 2 3 3 9 3 -1,- ?上单调递增,且 f?- ?=?- ? + ?ln?- +1?= - ln 2>- ①由 y=f(x)在? 4? ? ? 4? ? 4? 8 ? 4 ? 16 4

1 1 2 3 3 1 1 1 2 1 1 1 -1+ 4?=?-1+ 4? + ?ln 4=- - 4+ 8<- ,故方程 f(x)=- 在?-1,- ?有 ,以及 f? e? ? e? 8 4? ? 4 e 2 e e 4 4 ? 且只有一个实根; 3 1? ? 1 ? ② 由 于 y = f(x) 在 ? ?-4,-4? 上 单 调 递 减 , 在 ?-4,+∞? 上 单 调 递 增 , 因 此 f(x) 在 2 ?-3,+∞?上的最小值 f?-1?=?-1? +3?ln?-1+1?= 1 +3ln3>-1,故方程 f(x)=-1在 ? 4 ? ? 4? ? 4? 8 ? 4 ? 16 8 4 4 4 3 ?- ,+∞?上没有实数根. ? 4 ? 1 综上可知,方程 f(x)=- 有且只有一个实数根. 4 14.解:(1)f(x)的反函数为 g(x)=ln x. 设直线 y=kx+1 与 g(x)=ln x 的图像在 P(x0, y0)处相切, 则有 y0=kx0+1=ln x0, k=g′(x0) 1 = , x0 1 解得 x0=e2,k= 2. e ex x (2)曲线 y=e 与 y=mx2 的公共点个数等于曲线 y= 2与直线 y=m 的公共点个数. x ex(x-2) ex 令 φ(x)= 2,则 φ′(x)= ,∴φ ′(2)=0. x x3 当 x∈(0,2)时,φ ′(x)<0,φ (x)在(0,2)上单调递减;当 x∈(2,+∞)时,φ ′(x)>0, φ (x)在(2,+∞)上单调递增. e2 ∴φ (x)在(0,+∞)上的最小值为 φ(2)= . 4 综上所述,当 x>0 时,大致图像如图所示,

e2 若 0<m< ,曲线 y=f(x)与 y=mx2 没有公共点; 4 e2 若 m= ,曲线 y=f(x)与 y=mx2 有一个公共点; 4 2 e 若 m> ,曲线 y=f(x)与 y=mx2 有两个公共点. 4 1 1 15.解:(1)F(x)=ln(x2+1)- x2+ , 2 2 F′(x)= x(x+1)(x-1) 2x -x=- . x +1 x2+1
2

F′(x),F(x)的值随 x 值的变化如下表: x (-∞,-1) (-1,0) (0,1) (1,+∞) F′(x) + - + - F(x) ↗ ↘ ↗ ↘ 故 F(x)在(-∞,-1)和(0,1)上单调递增,在(-1,0)和(1,+∞)上单调递减,在[-1, 1 1]上 F(x)的最小值 F(x)min=F(0)= . 2 F(x)的最大值 F(x)max=F(1)=F(-1)=ln 2.

1 1 (2)由题意可知 y=ln(x2+1)-a 与 y= x2- +b 的图像恰有四个交点. 2 2 1 1 由 ln(x2+1)-a= x2- +b, 2 2 1 1 则 a+b=ln(x2+1)- x2+ . 2 2 1 2 1 2 令 F(x)=ln(x +1)- x + , 2 2 1 由(1)可知 F(x)极小值=F(0)= ,F(x)极大值=F(1)=ln 2.又 F(4)=F(-4)<0<F(0),所以 F(x)的大 2 1 致图像如图所示,要使 y=a+b 与 y=F(x)恰有四个交点,则 <a+b<ln 2. 2 1 <a+b<ln 2, 2

因此 F(x1)+F(x2)≥2F(x)min=1, 而 F(x3)≤F(x)max=ln 2, 故 F(x1)+F(x2)>F(x3).

? ? 由?a>0, ? ?b>0,
又 a+1

得到(b,a)的可行域为如图(2)所示的阴影部分. 可视为点 P(-1,-1)与可行域内的点连线的斜率, b+1 a+1 1 < <1+ln 2. 1+ln 2 b+1



图(1)

图(2)


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