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《椭圆的标准方程》教学课件123.ashx(1)


淮阳中学数学组---张永洁

一、学习目标:
1、知识与技能 掌握椭圆的定义 掌握椭圆的标准方程 椭圆的标准方程求法
2、情感目标 培养学生思考问题、并能探究发现一 些问题的能力,探究解决问题的一般的思 想、方法和途径

二、导学目标
怎样画椭圆 椭圆的定义如何叙述 椭圆标准方程如何推导

三、动手试验
(1)取一条一定长的细绳 (2)把它的两端用图钉固定在纸板上 (3)当绳长大于两图钉之间的距离时,用铅 笔尖把绳子拉直,使笔尖在纸板上慢慢移动, 画出一个图形

四、概念透析
1、椭圆的定义
平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数 (大于|F1F2 |)的点的轨迹叫椭圆 这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点 两焦点之间的距离叫做焦距 F1
如果设轨迹上任一点M到两定点F1、 F2的距离和为常数2a,两定点之间 的距离为2c,则椭圆定义还可以用 集合语言表示为: P={ M| |MF1 |+|MF2|=2a(2a>2c)}.
M

F2

五、方程推导
解:取过焦点F1、F2的直线为x轴,线段F1F2的垂 y 直平分线为y轴,建立平面直角坐标系(如图). 设M(x, y)是椭圆上任意一 点,椭圆的焦距2c(c>0),M F1 O 与F1和F2的距离的和等于正 常数2a (2a>2c) ,则F1、F2的 坐标分别是(?c,0)、(c,0) . 由椭圆的定义,

M
F2 x

代入坐标 | MF1 |? ( x ? c) 2 ? y 2 , | MF2 |? ( x ? c) 2 ? y 2
得方程 ( x ? c) 2 ? y 2 ? ( x ? c) 2 ? y 2 ? 2a

(想一想:下面怎样化简?)

移项,再平方 ( x ? c ) 2 ? y 2 ? 4a 2 ? 4a ( x ? c ) 2 ? y 2 ? ( x ? c ) 2 ? y 2

a 2 ? cx ? a ( x ? c ) 2 ? y 2 两边再平方,得

a 4 ? 2a 2cx ? c 2 x 2 ? a 2 x2 ? 2a 2cx ? a 2c 2 ? a 2 y 2
整理得 (a 2 ? c 2 ) x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 (a 2 ? c 2 )
2 2 x y 两边同除以 a 2 (a 2 ? c 2 ) 得: 2 ? 2 ?1 2 a a ?c

由椭圆定义可知 2a ? 2c,即a ? c, 所以

a 2 ? c 2 ? 0, 设 x2 y2 得: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0). a b 该方程叫做椭圆的标准方程,它表示的椭圆焦点在X轴上, 且F1(-c,0)、F2(c,0)

2、椭圆的标准方程:
焦点在x轴:
x2 y 2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0? 2 a b
F1

y

M F2 x

O

y

焦点在y轴:

y x ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

2

2

F2
O

M x

F1

思考探究

1、已知a=5,b=4求c 2、已知b=3,c=4求a
2 2 c a ? 25 3、已知, , ? 16

求b

六、尝试应用
1、下列方程哪些表示的是椭圆,如果是,判断它的焦点
在哪个坐标轴上?

x2 y2 (1) ? ?1 25 16

(2)9x 2 ? 25y 2 ? 225 ? 0
x2 y2 (4) 2 ? 2 ?1 m m ?1

(3) ? 3x 2 ? 2 y 2 ? ?1

注意:

分母哪个大,焦点就在哪个坐标轴上,反之亦然。

六、尝试应用
2、写出适合下列条件的椭圆的标准方程 已知两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0),椭圆上一点P到
2 2 x y 两焦点距离的和等于10; ? ?1 25 9 变式一:将上题焦点改为(0,-4)、(0,4), 结果如何?

y2 x2 ? ?1 25 9 变式二:将上题改为两个焦点的距离为8,椭圆上一点P到两

焦点的距离和等于10,结果如何?

x2 y2 当焦点在X轴时,方程为: 25 ? 9 ? 1
当焦点在Y轴时,方程为:

y2 x2 ? ?1 25 9

六、尝试应用
3、写出适合下列条件的椭圆的标准方程
两个焦点的坐标是( 0 ,-2)和( 0 ,2),并且 3 5? 经过点P ? ? ,? ?
? 2 2?

解:因为椭圆的焦点在y轴上,所以设它的 2 2 y x 标准方程为

a

2

?

b

2

? 1 (a ? b ? 0)

由椭圆的定义知

3 2 5 3 2 5 2 2a ? (? ) ? ( ? 2) ? (? ) ? ( ? 2) 2 2 2 2 2 3 1 ? 10 ? 10 2 2 ? 2 10 , ?  a ? 10  . 又c ? 2, ?  b ? a ? c ? 10 ? 4 ? 6.
2 2 2

y

P
F2

x
F1

所以所求椭圆的标准方程为

y2 x2 ? ? 1. 10 6

求椭圆的标准方程的步骤: (1)首先要判断焦点位置,设出标准方程(先定位) (2)根据椭圆定义或待定系数法求a,b (后定量)

(七)谈谈收获
探究定义 P={ M| |MF1 |+|MF2|=2a(2a>2c)}.
y M

y
F2 M x

不 同 点





F1

O

F2

x

O

F1

标准方程 焦点坐标 相 a、b、c 的关系 同 点 焦点位置的判断

x2 y2 + 2 = 1 ? a > b > 0? 2 a b
F1 ? -c , 0?,F2 ? c , 0?

x2 y2 + 2 = 1 ? a > b > 0? 2 b a
F1 ? 0?,?- c ?,F2 ? 0?,?c ?

a2-c2=b2 (a>b>0) 分母哪个大,焦点就在哪个轴上

作 业

教材P36

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