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6有限长单位脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计


第六章 有限长脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计 本章主要内容

? 线性相位FIR数字滤波器的特点
? 用窗函数法设计FIR滤波器 ? 用频率采样法设计FIR滤波器

线性相位数字滤波器的实现
方法1: 设计满足幅度指标要求的IIR滤波器,再加线性相位校正网络 (如全通网络);设计复杂,成本高; 方法2: 用FIR滤波器的设计方法,幅度特性满足技术要求,又保证严 格的线性相位。

6.1 线性相位FIR数字滤波器的特点
h(n)是FIR滤波器的单位脉冲响应,长度为N,则其系统函数为: o 收敛域包括单位圆; o z平面上有N-1个零点; o z=0是N-1阶极点;

H (e j? ) ? ? h(n )z -n? n e? j H(z)=
n ?0

N ?1

H (e j? ) ? H g (? )e ? j? (? )

特点:FIR滤波器永远稳定和容易实现线性相位

一、线性相位条件

N ?1 N ?1 对于长度为N的h(n),传输函数为: ? ) ? j? h ( n?) e ? H (e ) ? h(n )e j? n

?
n ?0 N ?1

?
n ?0

j? n

? ) ? j? ) ? ?? H (e H hH ()e( n?=Hg(ω))e ? j? (?? (n ej? j) H (? e ) ) g

?
n ?0

?

j ? (? )

H (e j? ) ? H g (? )e ? j? (? ) H (ω)称为幅度函数,θ(ω)称为相位函数
注意: ? H (ω)为ω的实函数,可能取负值; ? |H(ejω)|称为幅度响应,总是正值

1、什么是线性相位
线性相位是指θ(ω)是ω的线性函数,即: 第一类线 性相位

θ(ω) =-τω, τ为常数;

θ(ω)=θ0-τω,θ0是起始相位

第二类线 性相位

d? (-??)(? ) d = ?? 但上两种情况都满足群时延是一个常数 ???? d? d?

2、第一类线性相位条件
h(n)是以(N-1)/2偶对称实序列,即: h(n) = h(N?n?1)
h(n) h(n)

0

N ?1 2

n

0

N ?1 2

n

N为奇数的情况

N为偶数的情况

3、第二类线性相位条件
h(n)是以(N-1)/2奇对称实序列,即: h(n) =-h(N?n?1)
h(n) h(n)

0

N ?1 2

n

0

N ?1 2

n

N为奇数的情况

N为偶数的情况

H ( z ) ? ? h(n ) z n ?0 4、第一类线性相位特点
H ( z ) ? ? h(H) z ) ? n (z
?n N ?1

令:m=N-n-1,则有
N ?1

n ?0 N ?1 ?1) ?1 ?1 ? ( Nn 1) ?? N ?1 ? j( )? N ?1 j? 2 n ?0 ? N ?1 N ?N ?N ?1 1 n1 0 ?n? ?( n? ) 将z=e jω代入上式,得到: 2 2 2

h( N ? n ?H ( z ) ? ? h(mN z1? ( N ?m?1) ? z ? ( N ?1) ? 1) z ? n )? ? n ?0 ? H ( z )n?0 ? h(m) z ? ( N ?m?1) ? ?z ? ( N ?1) ? h(m) z m m 0 m m ?0 m ?0 N ?1 H ( z ) ? z ? ( N ?1) H ( z ?1 ) N ?1 N ?1 N ?1) ? ( N ? m ?1) z H ( z ) ? z ? ( h( N ? n (m) z ?)n ? z(?z ) ?1) H[( z ?1z)) ? z ? ( N ?1) H ( z ?1 )] ? 1 ? h(n ) ? h ? 1) z m H ( N ? 1 H ( ? H (z
N ?1

N ?1

N

?

m ?0

2

N ?1 N ?1 N? 1 1 ? ( N 11) n 1 ? ( ?? ? Hz((z )])? [?( zh(? )[ z ? z( z )]z?]? 1 h()n )[1z ? n ? z ?( N ?1) n ?nN2?1 n ? N2?1 H H z) ? H ) n z ( H N ? ? 2 ? h( n )[ 1 [ z z ] ? z ]] e )?e 2 )? 2 ? h(n) cos[(n ? 22 nz?0 ] n?0 2 1 1 ? n ? N2?1j? n ? N2?1j ( N ?1 )? N ?1 N ?1 [z ?? z z ]] h(n )[ [ zH ( e ? z? e ? ]] 2 ? N ?1 N2?1 ) ? h(n) cos[(n ? 2 2 n ?0 ( N ?1 ?j )? N ? 1 n N ? 1?0 j? 2 )? ] (? ) H ? h) n ) e ? ( e ( ? cos[( n ? ? h ( n]) cos[( n ? )? 2 2 n ?0 n ?0 N ?1 N ?1 1 H ? (? ) ? ? ( N ? 1)? H g (? ) ? ? h( n ) cos[( n ? )? ] N 2 ?1 2 n N ? 1?0 H g (? ) ? ? h( n ) cos[( n ? )? ] 幅度函数 2 (? ) ? ? 1 ( N ? 1)? n ?0 相位函数 ? 2

2 n ?0

第二类线性相位条件证明
N ?1

? ? 1) H ( z ) ? ? hH ()z ) ?? ? ?(n )(zN ? n? ? zh( N ? n (n z ? h h
n ?0
n ?0 n ?0 n ?0

? z ? n ? ? ? h(NN1 ? n ? 1) z ? n N ?1 N ?1 ?n ?n ( ? 1) N Hn(?z0) ? ? h(n ) z ? ? ? h( N ? ?1 ? 1) z ) ?? (? ? 1)h( m) z ?NN 1)mN??1 ? ? z ? ( N ? n H (z N ?m? ?( ? m n ?0

H ( z ) ? ? z ? ( N ?1) H ( z ?1 ) n ?0 ? ( N ?1)1 ?1 ? ( N ? m ?1) ? ( N ?1) m 1 N ?1 m) z ? ? N ?1 z h(H) z ) ? H z z ) ??1H[( z ( z)) ? z ? ( N ?1) H ( z ?1 )] ? ? h m (z ?( N H n 2 n ?0 H ( z ) ? ? h(m?)0z ? ( N ?m?1) ? ? z ? ( N ?1) 2 h(m) z m

H?(0z ) ? ? ? h(m) z n
n ?0

m=0

n ?0

? ?z

?

h(m) z

? H (z ) 1 1 H H ( ()] ? ?[?( z )(?()[ z ) ( z zz ) ? zH hH z nz H ) ?2 2
?1

?

N ?1

?1)

?1

nN 0 1 ??

? ( N ?1)

? (? n?1) N ?1

?H ? (z ??11) z( N

n ?0

? 1 1 ? z h?)[h (n ) z[ z )] ? ? (n z ? z ] 2 H (e ) ? e 2
n
n ?0 ?1 ?1 N ?1 N N
? 2

n ?0

j? n ?0

N ?1 ? n? n ? n N ?1? ( N ?1) 2 ? j( )? N ?1 2

?
n ?0

z ]? z

] h ( n ) cos[( n

n

N ?1 2

1 [z 2

N ?1 N? ? n? ? 将z=e jωn N ?11 N ?1 代入上式,得到: ? n ? N ?1 2 2 2 2

?z ?z

N ? 1 N ?1 N ? 1 N ?1 N ?1 N?1(?n相位函数) sin[? )? NH g1 ( ) ) cos[(h( n ? h ?)] n ? ? ? H( ? ? je )sin[? ( n hH g)sin[? ( n ? H ( H (e ) ? ? jez ) z) h(n ?(n (? ) ? )] ( (e ))? H ((zz ) e ?H ) ? ? je? ? h((? ?2(n? n ?0 )] 2 ? ? ? je h n )sin[ ?( n ? n )sin[ )] 2 ? n ?0 2 2 ? 1 N ?1 N ?1 N ?1 Q) ? )? ?((N ? 1))?+ (? ? ? ? ?e ? n )sin[? ( h n ?N)] ( ? ? eh(? hh((nn)sin[(?)sin[?11? nn)] ? n)] (? ? 2 ?((Nn ? ?2 )] ? 2 2 2 ?e ?e ? )sin[ 22 幅度函数

N ?1 N ?1 N ??1 N ??12 ? N 1 ? j1 j? 2 ??j j ? N ? j? j? j? j? 22 z ?e z ?e z z ? e?? ?e j j n ?0 n ?0 nn ?0 ?0 N ?1 ? N? N ?1 ? ?j ? ? j N ??11 ?? N ??1 ? j N ?1 N1 ? j N 1? 2 2 ??j j2 ? +j 2 ? ?j ? 22 22 n ?0 n ?0 nn ?0 ?0

1 ]? h(n ) [ z 2 n ?0 N ?1? N ?1 ?j

?z

N ?1 n 2

]

2 n ?0 N ?1 ?第一类相位函数条件:h(n)偶对称)? ] ) ? ? h( n ) cos[( n ? 2 n ?0 N ?1 N ?1 N ?1 N ? 1 (? ) ? ? h(? ) cos[( nh?n )sin[?? )( H g (n ) ? ? ( ? (? ) ? ? ( N ? 1)? H g 第二类相位函数条件:h(n)奇对称] 2 2 n ?0 n ?0 2 1 N ?1 + ? ) ? (?Q? ? ? ( N ? 1)?? ? ) (? ) ?(
N ?1

? (? )

0

?

2

2

2

2?

?
π 2

? (? )

?
0

2? ?

π( N - 1 )
3 ? ? (N ? ) 2

二、线性相位FIR滤波器幅度函数的特点
1、h(n)=h(N-n-1),N=奇数

由前面推导的幅度函数H (ω)为:
H (ω) H g (? ) ? ?
n ?0 N ?1

N ?1 h(n ) cos[( n ? )? ] 2

特点: ? h(n)对(N-1)/2偶对称,余弦项也对(N-1)/2偶对称;

? 以(N-1)/2为中心,把两两相等的项进行合并 ,因N为奇数,余下中间项
n=(N-1)/2

N ? 1 ( N ?3) / 2 N ?1 H g (? ) ? h( ) ? ( N ?3) / 2 2h( n ) cos[( n ? )? ] H (ω) ?3) / 2 N2? 1 ( N??0 N N ? 1) ? n? 2h(n ) cos[(n ? 2N ? 1)? ] ?1 H g (? ) ? h( H g (? ) ? h( 2 ) ? n ?0 2h(n )cos[(n ? 2 )? ] N ?1 N ?1 H g (? ) ? h( ) ? ( N ?1) / 2 2h( ? m) cos ? n ? 2 N2? 1 N ?1 n ?0 H g (? ) ? h(?1) / 2 ) ? ( N ?1) / 2 2h( ? m) cos ? n ? (N N ? 1 N2? 1 n 0 H gg((? )) ? (h(?1) /2 a ()n?cos?? n 2h( ? m)cos ? n H ? ? N? 2 ) m=1

2 令m=(N-1)/2-nN ?n ?/0 ( 1) 2

?

2

H g (? ) ?

H g (? ) ?
其中

( Nn?1) / 2 ?0

?
n ?0

2

a ( n ) cos ? n

?
n ?0

2

N ?1 ? a (0) ? h ( ) ? ? 2 ? N ?1 ? N ?1 N ?1 ? a (0) ? h ( ) , a ( n ) ? 2h ( ? n ), n ? 1, 2, 3, ? ? ?, ? ? ? 2 ? 2 2 ? ? a ( n ) ? 2h ( N ? 1 ? n ), n ? 1, 2, 3, ? ? ?, N ? 1 ? ? 2 2
n ?0

?

a (n )cos ? n

( N ?1) / 2 N ?1 N ?1 H g (? ) ? h ( ) ? ? 2h ( ? m ) cos ? n 2 2 n ?0

H (? ) H g (ω)= ?

( N ?1) / 2

?
n ?0

a ( n ) cos ? n

幅度函数特点:
(1) 式中 cos ω n 项对ω =0, ?, ??皆为偶对称,则幅度特性对ω =0, ?, ??是偶对称的。 (2) 可实现所有滤波特性(低通、高通、带通、带阻)。

2、h(n)=h(N-n-1),N=偶数
N ?1 推导情况和前面N为奇数相似,不同点是由于N为偶数,Hg(ω) N ?1 H g (? ) ? ? h(n ) cos[( n ? )? ] 中没有单独项,相等的项合并成N/2项。 2 n ?0

H g (? ) ? ? H (ω)
n ?0

N ?1

N ?1 N ?1 h(n ) cos[(n ? )? ] ? ? 2h(n ) cos[? ( ? n )] 2 2 n ?0

N ?1 2

N /2 N ?1 N ? ? 2h(n ) cos[? ( ?H)](? ) ? ? 2h( ? m) cos[? ( m ng N /2 2 2 1 m ?1 N / 2 n ?0 N H g (? ) ? ? 2h( N? m) cos[? ( m ? )]1 N /2 H g (? ) ? m ?1 2h(2 ? m) cos[? ( m2 )] ? 1 H g (? ) ? ? b( n ) cos[? ( n ? )] 2 2 m2 其中: N /?1 2 n ?1 1 N/ H g (? ) ? ?2 b(n ) cos[? (n ? )] 1 N N 2 b( n ) ? 2h( ? n ), n ? 1, 2, ? ? ?, ) H g (? ) ? n ?1 b(n ) cos[? (n ? )] 2 2 2 n ?1 N N b(n ) ? 2h( N ? n ), n ? 1, 2, ???, N )] 2 b(n ) ? 2h( 2 ? n ), n ? 1, 2, ???, )]

令m=N/2-n

N ?1 2

? ?

2

2

H g (? ) ? ?
m ?1 N /2

N /2

N 1 2h( ? m) cos[? ( m ? )] 2 2

幅度特点:

1 H g (ω)) ? ? b(n ) cos[? (n ? )] H (? 2 n ?1 N N b(n ) ? 2h( ? n ), n ? 1, 2, ???, )] 2 2
(1) 当ω=?时,故H (?)=0,即H(z)在z= ?1处,有一零点; (2) 由于cos[ω(n??)]对w=?奇对称,所以H(ω)在ω =?呈奇对称;

(3) 用这种滤波器设计方法不能实现高通、带阻滤波器;

3、h(n)=-h(N-n-1),N=奇数 由前面推导的幅度函数可得:

H g(ω)) ? ? h(n )sin[? ( H (?
n ?0

N ?1

N ?1 ? n)] 2

由于h(n)=-h(N-n-1),当n=(N-1)/2时:
N -1 N -1 N -1 h( ) = -h( N - 1 ) = -h ( ) 2 2 2
H g (? ) ?

h[(N-1)/2]=0

? c(n) sin ? n N ?1 H g (? g (? ) ? ?2h(n)cSin[ω( ( N ?? n), n ? 1, 2, ? ? ?,令m=(N-1)/2-n c(nn ) h ( ) sin n)] H) ? ? c(n)sin??2n 1 ?- n
(N-3)/2 ( N ?1) / 2 2 ( N ?1) / n=01 n? n ?1
n ?1

h(n)和正弦项都对(N-1)/2奇对称,相同项合并,共合并(N-1)/2项。 ( N ?1) / 2

2

2

N1)? 1 N ?1 N ?1 (N ? 2 N? /1 c ( n ) c? )2h ( ( (n (? ?2h ? n?n ?), 2, ???, 1, 2, ? ? ?, ), n 1, n ? N ) ? 1) / 2 H g (? 2 2 2 2 ? c(n)sin ? n
H g (? ) ?

?
n ?1

c( n1 n ? )sin ? n

N 2h ( N ? 1 ? n ), n ? 1,? 1 ???, N ? 1 c(2h( ? ? 1 ? n ), n ? 1, 2, ???, N 2, c( n ) ? n ) 2 2 2 2

H (ω) H g (? ) ?

( N ?1) / 2

?
n ?1

c( n )sin ? n

N ?1 N ?1 c ( n ) ? 2h ( ? n ), n ? 1, 2, ???, 2 幅度特点: 2
(1) 幅度函数H(ω)在ω =0, ?, ??呈奇对称。 (2) H(ω)在ω =0、?、2?处值为0,即H(z)零点在z=?1处,只能 实现带通滤波器;

4 h(n)=-h(N-n-1),N=偶数 H (? ) H g (ω) ? ?
n ?0 N ?1

N ?1 N ?1 h(n)sin[? ( ? n)] ? ? 2h(n)sin[? ? n)] 2 2 n ?0

N ?1 2

令:m=N/2-n,则有:

N N? m)sin[? ( m ? 1 )] H g(ω))) ? ? 2hh( ? m)sin[? ( m ? 1 )] H g(? ? mN1/ 2 2 ( 2 (? ? ? N 1 2 ? m) sin[? ( m 2 2 )] m ?1 2h ( H g (? ) ?N? ? /2 1 2 2 N /?1 m2 H g (? ) ? ? d (n )sin[? ( n ? 1 )] N/ H g (? ) ? n?2 d ( n )sin[? ( n ? 1)] 2 ?1 H g (? ) ? n ?1 d ( n ) sin[? ( n ? 2 )] ? 2 N N n ?1 d (n ) ? 2h( N ? n ), n ? 1, 2,3 ???, N d (n ) ? 2h(2N ? n ), n ? 1, 2,3 ???, N 2 d ( n ) ? 2h( 2 ? n ), n ? 1, 2, 3 ? ??, 2
2 2

N /2 N /2

H g (? ) ? ?
m ?1 N /2

N /2

N 1 2h( ? m)sin[? ( m ? )] 2 2

1 H g (? ) ? ? d ( n )sin[? ( n ? )] H (ω) 2 n ?1 N N d (n ) ? 2h( ? n ), n ? 1, 2,3 ???, 2 2 幅度特点:
(1)由于sin[ω(n-?)]在ω =0、2?处都为0,因此H (ω)在ω =0,2?处也 为0,H(z)在z=1处为零点;不能实现低通、带阻滤波器。

(2)由于sin[ω(n-?)]在ω =0、2?处都呈奇对称,对ω =?呈偶对称,
故幅度函数H(ω)在ω =0, ??也呈奇对称,在ω =?处呈偶对称。

三、零点位置
第一类和第二类线性相位的系统函数综合起来用下式表示:

H ( z) ? ? z
表明:

? ( N ?1)

H (z )

?1

? 如果z=zi是H(z)的零点,则z=zi-1也是H(z)的零点。 ? 由于h(n)为实序列,零点必定共轭成对。则zi*和(zi-1)*也是 H(z) 的零点;即H(z)的零点必定互为倒数的共轭对。

分析:

(1) 当zi不在实轴上,不在|z|=1上,则零点
是互为倒数的两组共轭对;确定了一个零
0

jIm(z) Zi Z i* 1

(Zi-1)*
Re(z) Zi-1

点,其它三个确定了。

(1)

(2) 当zi不在实轴上,但在|z|=1上,由于 共轭对的倒数是它们本身,故此时零点 是一组共轭对;
0 jIm(z) Zi 1 ZI* Re(z)

(2)

(3) zi在实轴上,不在|z|=1上,则零点是 互为倒数两个实数零点;

jIm(z)

ZI?1 Z i
○ ○

Re(z)
1

0

(3)
jIm(z)

(4) zi在实轴上,也在|z|=1上,则零点只有 一个,或位于z=1,或位于z = ?1。 -1
0

Re(z)

1

(4)

例:如果系统的单位脉冲响应为 1,0≤n ≤ ? e ? j? a , ? 5 ? c ? ? j? H d ( eh(n) ? ? ) ?0, ? c ? ? ? ? ? 0,其他n

(1) 判断该系统是否具有线性相位,说明理由。
(2) 求出该系统的频率响应,画出幅度、相位和群时延特性曲线。

6.2 用窗函数法设计FIR滤波器
一、设计思想 设希望设计的滤波器传输函数为Hd(ejω),hd(n)是与其对应的 ?

单位脉冲响应,因此 :

H d (e j? ) ?

n ???

?
?
?

hd (n )e ? j?

H d (e ) ? 1 hd (n ) ? 2?

j?

n ???

?
?
?

?

hd (n )e

? j?n

1 hd (n ) ? 2?

??

H d (e j? )e j? n d?

问题:一般情况下Hd(ejω)是逐段恒定的,在边界频率处有不连续 点,所以hd(n)是无限时宽,且为非因果,这样的系统不能实现。

??

H d (e j? )e j? n d?

例:一理想低通滤波器的传输函数Hd(ejω)为

? e ? j? a , ? ? ? c ? j? H d (e ) ? ? ?0, ? c ? ? ? ? ?

相应的单位脉冲响应hd(n) 为
sin[ C (n ? a )] w ? ? (n ? a )

wC ? jwa 1 1 e jw( n?a ) hd (n) ? ?? e ? e jwndw ? ? ? wC 2? 2? j(n ? a )

wC ? wC

|Hd(ejω)| 1 -ωc 0 ωc ω

hd(n)

n

hd(n)是无限时宽,非因果序列

要求: (1) 得到一因果序列h(n);

(2) 构造一个长度为N的线性相位滤波器;
将hd(n)截取一段,并保证截取的一段对(N-1)/2对称(线性相位)。 设截取的一段用h(n)表示,即1 hd (n ) ? 2?
hd(n) a=(N-1)/2

??
?

?c

e
c

? j? a ? j? n

sin(?c?c ? a ))? a ? j? 1 (n ? j e hd (n ) ? d? ? e e ? ?? 2? (n ?c a )

?

h(n)=hd(n)RN(n)
n

矩形窗的长度为N,且

RN(n) 0 h (n)
n N-1 n

a=(N-1)/2时,满足
上述两个要求。

H ( z ) ? ? h(n ) z ? n
n ?0

N ?1

二、加窗处理对FIR滤波器幅频特性的影响 设计过程中,加窗后的单位响应序列为 h(n)= hd(n)?RN(n)。即 用一个有限长的序列h(n)去代替一个无限长的序列hd(n),会产生 误差,时域中是截断处理,在频域表现出的现象就是通带和阻带中

有波动,也称为吉布斯效应(截断效应)。
这样设计出来的频响 H(ejw) 只能是尽量逼近要求的Hd(ejw)

分析:

频域卷积定理
j?? j j?

h(n)= hd(n)?RN(n)

11 ?1? ? jj? j? j? 1 j (?j?(??j?? ??1 ? H (( e ) )?? ) ?? ? HH dHe)(RNHe((e (j?e))(? ?d)? H eH (e H (e( ?d e) R) RN ? H) ( e ? (N e d d d * d 2?? 2??? ??? 2 ?? 2? ??? 2? 1 ? j? H (e ) ? H d ( e j? ) RN (e j (? ?? )d? 2? ???

j? R n)e ?? j?n ? ? e ? j?n ? e RRN ee? ) )??? RNN((n)e j?n ? ? e ? j?n ? e (( j ? N n? n ?0 0

NN1 1 ??

N1 N ??1

1 1 ? N ?1)? ? jj ((N ?1)? 2 2

nn ?0 ?0

sin(? N / 2 ) ? ja? ? RN (? )e ? ja? sin(? / 2)

?

) HdH () ?)H e(?) e H (? )e ? (e ? e( ) ? H
j? d ? jj?a ? d d ? j?a d

? j?a

矩形窗的幅度函数

?1, ? ? ? c ? H d (? ) ? ? ?0, ? c ? ? ? ? ?

理想低通滤波器的幅度特性

? ? 1( e j? ) ? 1 ? j? a H (? )e ? j? a?R? ?(? ? ? )e ? j (? ?? ) a d? ? H ? H d (? )e?? RNd(? ? ? )e j ( N ? ) a d? 2? ? ?? 2? H (e j? ) ? H (? )e ? j? a 1 ? ? ? j? a 1 ? H (?? R (? ? ? )d? a 1 ? j e H d (? ) RN (?H d?e)jd)) ? H (? )e ? j? H (e (? ))? H (? )e ? j?(a(?R ? e ? j? a ?( ? N R *H dN ? ) ) ??? 2? ??? d H ? ? d ? 2? 2? ??

1 ? H (? ) ? 结论:设计出来的滤波器的幅度特性等于理想低通滤波器的幅度 ??? H d (? ) RN (? ? ? )d? 2?
特性Hd(ω)与矩形窗幅度特性Rd(ω)的卷积。

H ( e ) ? j? ? H d (? )? j? a RN (? ? ? )e e ?? H (? )e H ( e? ) ? 2 Hd(ω)与Rd(ω)卷积形成H(ω)的过程 ? ? ? j? a 1 ?e H (? ) ? H ? R ? ?? ????? H dd((? ))RNN((? ? ? ))dd?? 2?

Wc-2?/N

Wc+2?/N

H(w)最大的正峰与 最大的负峰对应的 频率相差4π/N

H(ω)与原理想低通 Hd(ω)差别有以下2点: ? H(ω)在 ω=ωC附近形成过渡带,过渡带宽度B=4?/N,近似于矩 形序列幅度谱RN(ω)的主瓣宽度; ? 通带内增加了波动,最大的峰值在 ω=ωC?2?/N 处,阻带内产生

了余振,最大的负峰值在 ω=ωC+2?/N 处。幅度谱RN(ω)波动越快
(N加大),通带、阻带内波动越快,其旁瓣的大小直接影响H(ω)波 动的大小。 Hd(ω)在加窗后在频域中的现象称为吉布斯效应 影响: (1)通带内的波动影响滤波器通带的平稳性;

(2)阻带内波动影响阻带的衰减,可使最小衰减不满足技术要求;

减小吉布斯效应措施 1、增加N值 ? 可减小过渡带宽度,由于主瓣与旁瓣幅度也增加,且主瓣和旁 瓣的相对值不变, H(w)的波动幅度没有改变。

? 带内最大肩峰比H(0)高8.95%,阻带最大负峰比零值超过8.95% 。

使阻带最小的衰减只有21dB。
? 谱间干扰未减小,波动更明显,因此加大N并不是减少吉布斯

效应的有效方法;

2、改善窗函数的形状

减少带内波动以及加大阻带的衰减只能从窗函数的形状找出解
决方法,主要考虑以下2点因素:

(1) 尽量减小主瓣宽度,以获得较窄的过渡带;
(2) 尽量使窗函数的最大副瓣相对于主瓣要小,使设计出来的滤波

器幅度特性中肩峰和余振较小,阻带衰减较大。

三、几种常见的窗函数 1、矩形窗 (Rectangle Window)

sin(? N / 2) ? j 1 ( N ?1)? 其频率响应为 WR (e j? ) ? e 2 sin(? / 2)
WR(ejw)主瓣宽度为4?/N,第一副瓣比主瓣低13dB。

wR(n)=RN(n)

w(n )
0dB

20lg W ( e jω )

1 .0

? 20 ? 40

0 .5

? 60

? 80

0

N ?1 2

n N ?1

??

0

2π N

w ?

2、三角窗 (Bartlett Window),巴特利特窗
1 ? 2n , 0 ? n ? ( N ? 1) ? ? 2 ? Br (n ) ? ? N ? 1 1 ? 2 ? 2n , ( N ? 1) ? n ? N ? 1 ? N ?1 2 ?

? WBr(ejw)主瓣宽度为8?/N;
? 第一副瓣比主瓣低26dB。
w(n )
1 .0

N sin( ? ) N[[sin( NN??))]]4e 2 j? N sin(N N 4 W )e? ? W (( )) ? sin( 4 ? ) e e WBr (e W (e ) ? N2[ sin(??//2) ] e ] 2 [ 4 2) sin( 2 sin(? / 2)? / 2) 2 sin(
j? j?

2

Br Br

j?

N ??1 N1 ??j (? ?? ? ) ) j (? ? 22 22 N ?1 ? j (? ? ?) 2 2

Br

0dB

20lg W ( e jω )

? 20 ? 40
? 60

0 .5

0

N ?1 2

n
N ?1

? 80

??

0

2? N

?

w

? Hn (n ) ? 0.5[1 ? cos(

3. 汉宁(Hanning)窗——升余弦窗 2? n
)]RN ( n ) N ?1 2? n N ?j ? Hn (? ) ? 0.5[1 ? cos( n )]RN?1( n ) j WR (e ) ? FT [ RN (n )] ? WR (?1e 2 N?)
j? j?

N ?1

)]RN ( n )
?j

? Hn (n ) ? 0.5[1 ? cos(

WR (e j? ) ? FT [ RN (n )] ? WR (? )e

N

WHn (e j? 频响函数 ) ? FT [WHn (n )] ? {0.5WR (?

N ?1 ?j ? 2? 2? 2 WHn (e ))?? FT [Hn Nn )])] {0.5W(? )) ? 0.25[WR (? ? FT [W R ( ( n ? ? WR R (? e )? WR (? | ? )]}e ?W WR ( e N ?1 N ?1 2? N ?1 N ?1 j? j WHn ( eW ) ? ? 2[WHn (e ?)] 2??{0.5WR ? )e2? 0.25[WR (? ?2? ? FT ? )]}n j (? )? ? 2 ? ) ? ) R? 0.5WR (? ) ? 0.25[WRHn ( ? ( ? W (? WHn (? ) ? WR (? ? N )] 1 其幅度函数 ? N ?1 N N N ?1 N ?1 ?j ? ?j ? 2? ? WR (? Hn(ejw)主瓣宽度为8?/N,第一副瓣比 ? )]}e 2 ? WHn (? )e 2 W N ?1 主瓣低33dB。 jω

?j

N ?1 2

w(n )
1 .0

0dB ? 20 ? 40

20lg W ( e )

0 .5

? 60

? 80

0

N ?1 2

N ?1

n

w
0

??

2? N

?

4.哈明窗 (Hamming Window)—改进的余弦窗
? Hm (n ) ? [0.54 ? 0.46 cos(
j? j?

WHm ( e ) ? 0.54WR ( e ) ? 0.23WR ( e(? ? 2? ) ) ? 0.23W ( e j N ?1 WHm ( e j? ) ? 0.54WR ( e j? ) ? 0.23WR ( e ) ? 0.23WR ( e

2? n )]RN 2?n ) ( N ? 1 j (? ? N ?1 )

2? j (? ? ) N ?1 R j ( ? ? 2? ) N ?1

)

)

2? 2? WHm (? ) ? 0.54WR ( e j? ) ? 0.23WR (? ? ) ? 0.23WR (? ? ) 2? ? 1 2? ? 1 WHm (? ) ? 0.54WR ( e j? ) ? 0.23WR (? ? N ) ? 0.23WR (? ? N ) N ?1 N ?1 jw

WHm(e )主瓣宽度为8?/N,第一副瓣比 主瓣低40dB。

1 .0

w(n )

0dB

20lg W ( e jω )

? 20
? 40

0 .5

? 60

0

n
N ?1 2

? 80

N ?1

??

0

2? N

?

w

5.布莱克曼窗 (Blackman Window):二阶升余弦窗
? Bl ( n ) ? [0.42 ? 0.5cos
j?

2? n 4? n ? 0.08cos ]RN ( n) N ?1 N ?1
j? 2? 2? ) j (? ? j (? ? ) N ?1 N ?1
j (? ?

? 0.42(e j ( ) ) ? 0.25[ e WWBl (? ) ?)0.42WRWR? e ? 0.25[WR (WR ( e (e j e Bl
? 0.04[WRWR ( e ? 0.04[ (e
2? 2 ? j (? ? j (? ? ) ) N ?1 N ?1

) ? W) ? WR (e )] R (e

2? j ( ? ? 2? ) ) N ?1 N ?1

)]

WBl (? ) ? 0.42WR (? ) ? 0.25[WR (? ?

2? 2? )WR (? ? )] N ?1 N ?1 4? 4? ? 0.04[WR (? ? ) ? WR (? ? )] N ?1 N ?1

) ? WR (WR (e )?e

2? 2? j (? ? j (? ? ) ) N ?1 N ?1

)]

)]

1 .0

w(n)

WBl(ejw)主瓣宽度为12?/N,第 一副瓣比主瓣低57dB。

0dB
? 20

20lg W ( e jω )

0 .5

? 40
? 60

0

n
N ?1 2

? 80

N ?1

??

0

2? N

?

w

6、凯塞-贝塞尔窗 (Kaiser-Basel Window)
II 0((? ) 2n2n 0 ?) W k k nn)? W( ( ) ? ,,0 ? n ? N ? 1;; 其中??? ? 1 ? ( ( 0 ? N ? 1其中? ? 1? ? 1?21) 2 ) , II 0((?) NN1 1 ? ? 0 ? )

I0(x) 是零阶第一类修正贝塞尔函数
1 x k 2 I 0 ( x) ? 1 ? ?[ ?( ) ] 2 k ?1 k !
?

I0(x)取15~25项,可
满足精度要求

? 参数用以控制窗的形状,影响滤波器的性能参数,?加大,主 瓣加宽,旁瓣幅度减小,典型数据为:4<?<9;当?=5.44时,窗

函数接近哈明窗, ?=7.865时,窗函数接近布莱克曼窗。
凯塞窗的幅度函数为: Wk (? ) ? ? k (0) ? 2
( N ?1) / 2

?
n ?1

?k ( n) cos ? n

凯塞窗参数对滤波器的性能影响

六种窗函数的基本参数

四、窗函数法的设计步骤 1.确定希望逼近的滤波器的频响函数Hd(ejω) 2、根据Hd(ejω)确定其对应的单位脉冲响应hd(n) (1) Hd (ejω)可封闭求解,则:

1 hd (n ) ? 2?

??
?

?

H d ( e )e d ?

j?

j?n

(2) Hd(ejω) 不可封闭求解,对Hd(ejω) 从 ω=0?2?采样M点,采样值 为 Hd(ej2?k/M),k=0,1,…,M-1,用2?/M 代替上式中dω ,则:

1 hM (n) ? M

M ?1

?
k ?0

H d (e

j

2? k M

)e

j

2? kn M

IDFT

hM (n ) ?

r ???

?

?

hd (n ? rM )RM(n)

(3) 如果已知通带(或阻带)衰减和边界截止频率ωc,选理想滤波器作 为逼近函数,对理想滤波器频响函数作 IFT ,求出 hd(n)。

sin[ C (n ? jwa)] jwn e? j 1 j? wC ?? jwa? a , ? ? ? c 1 e jw( n?a ) wC 1 w wC ? a ? jwn hd (nH? ( e ? ) ? e ) d ? h C ? ?? wC?0, ?? e? ?dw ? 2? ? j(n ? a) d?(wn) ? 2? ?? (?nw?ea) ? e dw ? 2 ? C 2? ? ? ? c

2、选择窗函数 根据过渡带与阻带衰减的要求,选择满足条件的窗函数形式, 并估计窗口长度N。原则是保证阻带衰减的前提下,尽量选主瓣窄

的窗函数。

3、计算所要设计的滤波器的单位采样响应h(n)

计算滤波器的单位取样响应 h(n)= hd(n)?w(n)。其中 w(n)是上面
选择好的窗函数,hd(n)与w(n)都应满足线性相位要求。 4、验证技术指标是否满足要求

已设计出的滤波器的频率响应 H (e ) ? ? h(n )e ? j? n 。验算H(ejω)
j? n ?0

N ?1

是否满足设计要求,若不满足要求,重复上面2,3,4过程。

IFT Hd(ejω) hd(n)

加窗截断 h(n)

FT
H (ejω)

比较,满足设计要求,则设计完毕,不合格则修改窗函数

窗函数法优点: 从时域出发的一种设计方法,设计简单,方便,实用。 缺点是: 要求用计算机实现,边界频率不易控制。

例:用矩形窗设计法设计一个FIR线性相位低通滤波器,已知ωc =0.5π,N=21, ?=(N-1)/2,画出h(n)和20lg|H(ω)/H(0)|曲线,再计

算正、负肩峰的位置和过渡带宽带度。
a ?e ? jje ? ?? ? ?c ? ?a ? ? ? ?e ??j??aa,,j? , ? ??cc? c ? j? j? ? ?)) ? ? 解:理想滤波器的频响为: H dd((edjj?(e ? )? ? H (e ? H d He ) ? ?? ? ?0, ?0, ? ??? ?? ? ? ? 0,? cc ? c? ? ? ? ? 0,? c ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?



单位脉冲响应hd(n)为:

1 1 ?c ? ? j?ja? a ? ??j? n sin(? (n ? a a sin(?cc (n ? )))) sin[ 0.5π( n - a )] j n ? hd (nd (? ) ? ? ? e e ee d? ? = h) n d? π( n - a ) 2?2???c?? ? n a) ? ((n?? a )
c c

计算得:

n=0

hd(n)={…,0,1/9π,0,-1/7π,0, 1/5π, 0,-1/3π, 0, 1/π, 0.5,

1/π, 0, -1/3π, 0, 1/5π,0, -1/7π,0, 1/9π,0 ,…}

加矩形窗:h(n)=hd(n).RN(n)
h(n)={0,1/9π,0,-1/7π,0, 1/5π, 0,-1/3π, 0, 1/π, 0.5, 1/π, 0, -1/3π, 0, 1/5π,0, -1/7π,0, 1/9π,0 } h(n)={ 0,0.0354,0,-0.0455,0,0.0637,0,-0.1061,0,0.3183, 0.50, 0.3183,0, -0.1061,0,0.0637,0,-0.0455,0,0.0345,0 }

20lg|H(ω)/H(0)|曲线如下:
正肩峰A点:ωc- 2π/N=0.5π- 2π/21
20lg(1.0895) = 0.74dB

临界频率B点:ωc=0.5π
20lg(0.5) = -6dB

负肩峰C点:ωc+2π/N=0.5π+2π/21
20lg(0.0895) = -21dB 过渡带A~C宽度为: ωc+2π/N- (ωc-2π/N) = 4π/N = 0.19π

6.3 用频率采样法设计FIR滤波器
一、频率采样法基本原理 设 Hd(ejω) 为所要设计的数字滤波器的频率响应,则: 1、在?=???? 范围内对 Hd(ejω) 进行N点等间隔采样,得到Hd(k)
2? ? ? ?22? k ? ?? D kk ? ?2 k ? D H d (k ) ? H d ( e j? ) 2? , k? 0,1, 2, ???,D ? 1 N j? D ?? k D d d 2? ?? k D 2? N ?1 d 2? j22? kn ? N j??1 1 N N kn 1 N ?1 N h(n ) ? H d (k )eN ?1 , k ? 0,1, 2, ???j jN ?kn , NN kn 2?1 d j kn N k ?0 dd k ?0 2? N N ?kk ?0 1?0 j kn d N k ?0 d k ?0

H Hddk() )??Hddd(eej??)) ( ( k )?H ( ( j ? H k H ej d
d d

k ? 0,1, 2, ??? N ? ? ? 0,1,2, ? ? N 1 0,1, 2, ,,,kk ? 0,1, 2, ???,,?, N?1 1

H (k ) ? H (e ) , k ? 0,1, 2, ???, N ? 1 2、对N点H (K)进行IDFT,得所设计的滤波器的单位脉冲响应h(n) 1 h ( n ) ? 1 ? H ( k )e ? 1 , k ? 0,1, 2, ? ? ?, N ? 1 h((n )?N1 ? H ((k))e ,,kk ? 0,1, 2, ???,,N ? 1 h n) ? ? H k e ? 0,1, 2, ??? N ? 1 h(n ) ? N H ( k )e , k ? 0,1,2, ???, N ? 1 1N h ( n ) ? N H ( k )e , k ? 0,1, 2, ???, N ? 1 ? N

?

3.对求出的h(n)进行z变换,得到滤波器的系统函数H(z)

H ( z ) ? ? h(n ) z ? n
n ?0

N ?1

或利用频域内插公式(P88)
1 ? z?N H ( z) ? N

?
k ?0

N ?1

H d (k ) 1? e
j 2? k N

z ?1

等间隔采样

IDFT

Hd(ejω)

Hd(k)
内插函数

h(n)

H(ejω)
是否满足指标

二、线性相位的约束 (1) 第一类线性相位:h(n)偶对称,N为奇数

H (e j? ) ? H (? )e j? (? ) ? H (? )e

?j

N ?1 ? 2

特点:幅度函数H(ω)关于ω=0,π,2π偶对称, H (ω) = H(2?? ω)
采样值: H (k ) ? H (e
j 2? k N

) ? H(

2? k )e j? k ? H k e j? k N

? Hk关于N/2偶对称,即: Hk= HN-k ? 相位采样值: ? k

N ? 1 2? N ?1 ?? ? k ?? ?k 2 N N

(2) 第一类线性相位:h(n)偶对称,N为偶数

H (e j? ) ? H (? )e j? (? ) ? H (? )e

?j

N ?1 ? 2

特点:幅度函数H(ω)关于ω=π奇对称, H (ω) = -H(2?? ω)
采样值: H (k ) ? H (e
j 2? k N

) ? H(

2? k )e j? k ? H k e j? k N

? Hk关于N/2奇对称,即: Hk= -HN-k ,且HN/2 =0

N ? 1 2? N ?1 ? k ?? ?k ? 相位采样值: ? k ? ? 2 N N

(3) 第二类线性相位:h(n)奇对称,N为奇数

H (e j? ) ? H (? )e j? (? ) ? H (? )e

? j(

N ?1 ? ?? ) 2 2

特点:幅度函数H(ω)关于ω=0,π,2π奇对称, H (ω) = -H(2?? ω)
采样值: H (k ) ? H (e
j 2? k N

) ? H(

2? k )e j? k ? H k e j? k N

? Hk奇对称,即: Hk= -HN-k ? 相位采样值: ? k

N ? 1 2? ? N ?1 ? ?? ? k? ?? ?k ? 2 N 2 N 2

(4) 第二类线性相位:h(n)奇对称,N为偶数

H (e j? ) ? H (? )e j? (? ) ? H (? )e

? j(

N ?1 ? ?? ) 2 2

特点:幅度函数H(ω)关于ω=π偶对称, H (ω) = H(2?? ω)
采样值: H (k ) ? H (e
j 2? k N

) ? H(

2? k )e j? k ? H k e j? k N

? Hk偶对称,即: Hk=HN-k ? 相位采样值:? k

N ? 1 2? ? N ?1 ? ?? ? k? ?? ?k ? 2 N 2 N 2

设计方法:

用理想滤波器作为逼近滤波器,截止频率为ωc,采样点数为N,

则Hk和θk的计算公式为:
(1)h(n)偶对称,N为奇数时:
Hk = HN-k = 1, Hk = 0,
N ?1 ?k N (2)h(n)偶对称,N为偶数时:

kc取小于等于 ωcN /2?的最大整数 k=0,1,…,kc; k= kc+1,kc+2,…,N-kc-1; k=0,1,…,N-1;

?k ? ?

Hk = 1, Hk = 0, HN-k = -1,

k=0,1,…,kc; k= kc+1,kc+2,…,N-kc-1; k=0,1,…,kc; k=0,1,…,N-1;

?k ? ?

N ?1 ?k N

由前面计算出的Hk和θk的值可构造出H(k)

H (k ) ? Hk e

j?k

k=0,1,…,N-1;

等效于在[0,2π] 上的N个采样值

对 H(k) 进行 IDFT变换,求出 h(n); 由 h(n)可求出所设计滤波器的频响 H(ejw)

三、误差分析与改进措施 设待设计的滤波器为Hd(ejω),对应的单位取样响应为hd(n)

1 hd (n ) ? 2?
1、从时域分析误差

??
?

?

H d (e j? )e j? n d?

频域采样定理:在频域0~2π之间等间隔采样N点,利用IDFT得到的h(n)。

h(n ) ?

r ???

?

?

hd (n ? rN ) RN (n )

分析:如果Hd(ejω)有间断点,则hd(n)是无限长的,这样得到的h(n)产生时域的
混迭,无法逼近hd(n)。

改进措施:增大N值,使设计出的滤波器愈逼近待设计Hd(ejω)。

2、从频域分析误差

误差分析:

? N ? 1 ?zz N NN ?1?1 H H ( k ) 1? H (z ? H ( z )) ? ? (2k?j)2? ?1 频率域等间隔采样得到N个采样值H(k),频响函数和H(k)的关系为 N ? j N k ?k0?0 1 e e zN?1z ?N 1? NN1 1 ?? 2?2? j? j? H ( e ))? ? H ( k )?? (? ? k ) k ) ( e ? ? H ( k ) (? ? 内插公式 NN k ?0 0 k? 11 sin(?? N 2)2)? j??Nj2?1N ?1 sin( N / / e ? 2 ? (? )) ? ? (? ? N sin(? / 2) e N sin(? / 2)

内插函数

? 在采样点ω =2?k/N,k=0,1,…,N-1处,?(ω -2?k/N)=1,因此采样点H(ejωk)与

H(k)相等,逼近误差为0。
? 在采样点间,H(ejω)由有限项H(k)与?(ω -2?k/N)之乘积和形成,其误差与 Hd(ej ω)平滑度有关,越平滑,误差越小。 ? 特性曲线间断点处,误差最大,表现形式为间断点用斜线取代,且间断点附 近形成振荡特性,使阻带衰减减小,有可能满足不了技术要求。

减小误差措施

(1)增大N值,但间断点仍无法弥补,带来体积增大,成本增加。
(2) 在频响间断点附近区间内插一个或几个过渡采样点,使不连

续点变成缓慢过渡,虽然增加了过渡带带宽(代价),但增加了阻
带衰减(收获)。过渡带的优化要借助于计算机优化设计。

总结:频率采样法设计线性相位FIR滤波器步骤 1、根据ωc 及N的奇偶性,确定滤波器 Hk和 ?k及kC值; 2、由H(k) = Hkej?k,求出 H (k); 3、对 H (k) 进行 IDFT变换,求出 h(n); 4、由 h(n) 求出所设计的滤波器的频率响应 H(ejw),并分析误差, 优化设计。

例:试用频率采样设计法设计一个FIR线性相位低通滤波器,已知: ωc =0.5π,N=51。画出 |Hd(ejw)|, |H(k)|, 20lg|H(ejw)|曲线。

解:在0~0.5π和1.5π~2π处的幅度函数为1,其余为0 。采样频率
为:2π/N= 2π/51, ωc×51/2π=12.7,所以kc 取值12。
Hk=
1 0 0≤k≤12 13≤k≤38 和 39≤k≤50

?(k) = ? ?k(N-1)/N=-50?k/51 由幅度和相位特性,得到FIR DF的采样值为

H(k)=

Hkej?k



e-j50?K/51 0≤k≤12
0 13≤k≤38

和 39≤k≤50

画出 |Hd(ejw)|, |Hd (k)|的曲线如下图所示

20lg|H(ejw)|曲线如下图所示

1 ? z?N H ( z) ? N

H( e

jw

-j 1-ej? )ωN N ?1 ) = H (e ? ? N k ?0

z ?1 H ( k ) 2? H ( k )? (?jω ? k) -W N- k e 1 N 1? e

?
k ?0

N ?1

H (k )
j 2? N

1 sin(? N / 2) ? j? N2?1 ? (? ) ? e N sin(? / 2)

频率采样法特点:

优点:
(1) 可以在频域直接进行设计,并且适合于最优化设计;

(2) 特别适合于设计窄选频滤波器,因为只有少数几个非零值的
H(k),因而设计计算量小。 缺点: 采样频率只能等于2π/N的整数倍,因而不能确保制止频率的 自由取值,要想实现自由地选择截止频率,必须增加采样点数N, 但这又使计算量加大。

6.5 IIR和FIR数字滤波器的比较
1.性能方面:

IIR滤波器:传输极点可位于单位圆内任何地方。
优点:较低阶数滤波器实现,存储单元少,所以经济且效率高; 缺点:相位是非线性的,往往可选择性越好,相位非线性越严重。 FIR滤波器 优点:可以得到严格的线性相位。 缺点:由于滤波器传输函数的极点固定在原点,所以只能用较高阶 数的滤波器达到性能指标。

2.结构方面:

? IIR滤波器采用递归型结构,极点要控制在单位圆内,系统才确
保稳定,缺点是有限字长效应时,有寄生振荡; ? FIR采用非递归型结构,由于FIR的单位冲激响应h(n)有限长, 可采用FFT运算,其运算速度快,误差小; 3. 设计工具方面: ? IIR滤波器的设计可借助于模拟滤波器的成果,由于有有效的封闭

设计公式和图表供选择,计算工作量小,计算工具要求不高;
? FIR滤波器设计没有封闭形式的公式和图表,一般FIR设计只有 按照计算程序进行,故对计算工具要求较高。

4. 应用方面: ? IIR设计较简单,主要应用于设计具有片断常数特性的滤波器, 如低通、高通、带通及带阻等滤波器; ? FIR滤波器能适应某些特殊的应用,如构成微分器或积分器, 因而适应性更大,范围更广。 在语音通信中,对相位线性特性要求不高,可以选用经济高效

的IIR滤波器实现;而在图像通信中,对相位的线性特性要求较高,

则要用稍为复杂的FIR滤波器来实现。

作业

P322 6.6
P323 6.12



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数字信号处理试卷及答案
长序列,频域为连续周期信号 D.时域为离散有限长序列...FIR 6. 用双线性变换法设计 IIR 滤波器, 模拟角...写出 H(z)的收敛域,并求出其单位脉冲响应 h(n)...
河海大学 通信工程 DSP实验5
河海大学 通信工程 DSP实验5 - 实验五 有限长单位脉冲响应滤波器设计 班级: 姓名: 学号: 一、实验目的 1. 掌握用窗函数法、 频率采样法及优化设计设计 FIR...
邓海鹏 IIR有源滤波器的设计与实现
邓海鹏 IIR有源滤波器的设计与实现 - IIR 有源滤波器的设计与实现 摘要: 数字滤波器是数字信号处理中的重要组成部分.它主要分为有限脉冲响应, (FIR) 和无限冲...
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