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2018版高中数学人教版A版必修一学案:第一单元 1.3.2 奇偶性 Word版含答案

1.3.2 奇偶性 学习目标 1.结合具体函数, 了解函数奇偶性的含义(难点).2.掌握判断函数奇偶性的方法, 了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系(重点).3.会利用函数的奇偶性解决简单问题(重点). 预习教材 P33-P35,完成下面问题: 知识点 函数的奇偶性 函数的奇偶性 奇偶性 偶函数 定义 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x) =f(x),那么函数 f(x)是偶函数 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x) =-f(x),那么函数 f(x)是奇函数 图象特点 关于 y 轴对称 奇函数 关于原点对称 【预习评价】 (正确的打“√”,错误的打“×”) (1)对于函数 y=f(x),若存在 x,使 f(-x)=-f(x),则函数 y=f(x)一定是奇函数.( (2)不存在既是奇函数,又是偶函数的函数.( ) ) ) (3)若函数的定义域关于原点对称,则这个函数不是奇函数,就是偶函数.( 提示 (2)× (3)× 数. (1)× 反例:f(x)=x2,存在 x=0,f(-0)=-f(0)=0,但函数 f(x)=x2 不是奇函数; 存在 f(x)=0,x∈R 既是奇函数,又是偶函数; 函数 f(x)=x2-2x,x∈R 的定义域关于原点对称,但它既不是奇函数,又不是偶函 题型一 函数奇偶性的判断 【例 1】 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=2-|x|; (2)f(x)= x2-1+ 1-x2; (3)f(x)= x ; x-1 ?x+1,x>0, ? (4)f(x)=? ? ?-x+1,x<0. 解 (1)∵函数 f(x)的定义域为 R,关于原点对称,又 f(-x)=2-|-x|=2-|x|=f(x), ∴f(x)为偶函数. (2)∵函数 f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称,且 f(x)=0, 又∵f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x), ∴f(x)既是奇函数又是偶函数. (3)∵函数 f(x)的定义域为{x|x≠1},不关于原点对称, ∴f(x)是非奇非偶函数. (4)f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称. 当 x>0 时,-x<0, f(-x)=1-(-x)=1+x=f(x); 当 x<0 时,-x>0, f(-x)=1+(-x)=1-x=f(x). 综上可知,对于 x∈(-∞,0)∪(0,+∞),都有 f(-x)=f(x),f(x)为偶函数. 规律方法 判断函数奇偶性的两种方法: (1)定义法: (2)图象法: 【训练 1】 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=x3+x5; (2)f(x)=|x+1|+|x-1|; (3)f(x)= 解 2x2+2x . x+1 (1)函数的定义域为 R.∵f(-x)=(-x)3+(-x)5=-(x3+x5)=-f(x), ∴f(x)是奇函数. (2)f(x)的定义域是 R.∵f(-x)=|-x+1|+|-x-1|=|x-1|+|x+1|=f(x),∴f(x)是偶函数. (3)函数 f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞),不关于原点对称,∴f(x)是非奇非偶函 数. 题型二 奇、偶函数的图象问题 【例 2】 已知奇函数 f(x)的定义域为[-5,5],且在区间[0,5]上的图象如图所示. (1)画出在区间[-5,0]上的图象. (2)写出使 f(x)<0 的 x 的取值集合. 解 (1)因为函数 f(x)是奇函数,所以 y=f(x)在[-5,5]上的图象关于原点对称.由 y=f(x) 在[0,5]上的图象,可知它在[-5,0]上的图象,如图所示. (2)由图象知,使函数值 f(x)<0 的 x 的取值集合为(-2,0)∪(2,5). 规律方法 1.巧用奇偶性作函数图象的步骤 (1)确定函数的奇偶性. (2)作出函数在[0,+∞)(或(-∞,0])上对应的图象. (3)根据奇(偶)函数关于原点(y 轴)对称得出在(-∞,0](或[0,+∞))上对应的函数图象. 2.奇偶函数图象的应用类型及处理策略 (1)类型:利用奇偶函数的图象可以解决求值、比较大小及解不等式问题. (2)策略:利用函数的奇偶性作出相应函数的图象,根据图象直接观察. 【训练 2】 已知偶函数 f(x)的一部分图象如图,试画出该函数在 y 轴另一侧的图象,并 比较 f(2),f(4)的大小. 解 f(x)为偶函数,其图象关于 y 轴对称,如图, 由图象知,f(2)<f(4). 考查方向 方向 1 利用奇偶性求函数值 【例 3-1】 已知 f(x)=x5+ax3+bx-8,若 f(-3)=10,则 f(3)=( A.26 B.18 C.10 ) 题型三 函数奇偶性的应用 D.-26 解析 法一 由 f(x)=x5+ax3+bx-8, 得 f(x)+8=x5+ax3+bx. 令 G(x)=x5+ax3+bx=f(x)+8, ∵G(-x)=(-x)5+a(-x)3+b(-x) =-(x5+ax3+bx)=-G(x), ∴G(x)是奇函数,∴G(-3)=-G(3), 即 f(-3)+8=-f(3)-8.又 f(-3)=10, ∴f(3)=-f(-3)-16=-10-16=-26. 法二 由已知条件,得 ?f?-3?=?-3?5+a?-3?3+b?-3?-8,① ? ? 5 ?f?3?=3 +a· 33+b· 3-8,② ? ①+②得 f(3)+f(-3)=-16, 又 f(-3)=10,∴f(3)=-26. 答案 D 方向 2 利用奇偶性求参数值 【例 3-2】 若函数 f(x)= ?x+1??x+a? 为奇函数,则 a=________. x ?-x+1??-x+a? ?x+1??x+a? 解析 ∵f(x)是奇函数, ∴f(-x)=-f(x), 即 =- , 显然 x≠0, x -x 整理得 x2-(a+1)x+a=x2+(a+1)x+a,

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