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重庆市重庆一中2015-2016学年高二期中试题 数学(文)


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2015 年重庆一中高 2017 级高二上期半期考试

数 学 试 题 卷(文科)2015.12
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1. 已知集合 A ? ?x | ?1 ? x ? 2? , B ? ?x | 0 ? x ? 3? , 则 A ? B ? ( A. ? ?1,3? B. ? ?1,0? C. ? 0, 2 ? D. ? 2,3? )

2. 已知 a ? (1, ?1) , b ? (?1, 2) ,则 2a ? b ? ( A. 5
2

?

?

?

?

)
D. 3 )

B. 0

C. 1

x2 ? y 2 ? 1的右焦点重合,则 p 的值为( 3. 已知抛物线 y ? 2 px 的焦点与椭圆 5 A. 2 B. ? 2 C. ? 4 D. 4

4. 已知圆 C1 : x2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ?1 ? 0 ,圆 C2 : x2 ? y 2 ? 2x ? 8 y ? 8 ? 0 ,圆 C1 与圆 C2 的 位置关系为( A. 外切 ) B. 相离 C. 相交 D. 内切

5. 设椭圆 C 的两个焦点分别为 F1 、F2 , 若 C 上存在点 P 满足 PF 1 : F 1F 2 : PF 2 ? 4: 3: 2 , 则 C 的离心率等于( ) B.

1 A. 2

2 3

C.

3 4

D.

3 5

6. 设公比 q ? 1 的正项等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 a3 ? a5 ? 20, a2 a6 ? 64 ,则 S5 ? ( ) A. 31 B. 36 C. 42 D. 48

2 2 7. 与双曲线 4 y ? x ? 1共渐近线, 且过点 4, 3 的双曲线的标准方程为 (

?

?

)

A. y ?
2

x2 ?1 4

B. x ?
2

y2 ?1 4

C.

y2 ? x2 ? 1 4

D.

x2 ? y2 ? 1 4

? x ? y ? 1 ? 0, ? 8. 设 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0, ,则 z ? 2 x ? 3 y 的最小值是( ? x ? 3, ?
A. ?7
x

)

B. ?6

C. ?5

D. ?3 )

(原创)9. 已知 g ( x) ? e (cos x ? a) (a ? R) 是 R 上的增函数, 则实数 a 的取值范围为( A. [2, ??) B. (2, ??) C. [ 2, ??) D. ( 2, ??)

10. 过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A, B 两点, 它们到直线 x ? ?2 的 距离之和等于 5 , 则这样的直线( ) A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.有无穷多条 D.不存在

y2 ? 1 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,双曲线的离心率为 e ,若双曲线上 3 ??? ? ???? ???? ? ???? ? sin ?PF2 F1 一点 P 使 ? e , Q 点为直线 PF1 上的一点,且 PQ ? 3QF1 ,则 F2Q ? F2 F1 的值 sin ?PF1 F2
11. 已知双曲线 x ?
2

为( A.



25 2

B.

10 2

C.

5 2

D.

5 2
f ( x) ? x ?1 , 则 f ?( x)

( 原创 )12. 设 f ( x ) 是定义在 R 上的导函数恒大于零的函数 , 且满足

y ? f ( x) 的零点个数为( A. 1 B. 0
3 4

) C. 2 D. 0 或 2

二、填空题(每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的横线上) 13. 已知 tan ? ? ? , ? ? (

?
2

, ? ) ,则 sin ? ? ________.

14. 已知过点 A(2, ?3) , B (1, m) 的直线与直线 2 x ? y ? 4 ? 0 垂直, 则 m =_________.

x2 y 2 ? ? 1 , a1 , a2 ,?, a9 是该椭圆的过焦点的其中 9 条弦的长 25 9 度,若数列 a1 , a2 ,?, a9 是等差数列,则数列 a1 , a2 ,?, a9 的公差的最大值为 ___________.
(原创)15. 已知椭圆方程为 (原创)16. 已知关于 x 的方程 e ? ax ? b (a ? 0, b ? R) 有相等根, 则 a ? b 的最大值为_____.
x

三、解答题(共 6 个小题, 共 70 分) 17. (本题满分 10 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对应的边为 a, b, c ,且 cos( (1) 求 A 的值; (2) 若 ?ABC 的面积 S ?

?
3

? A) ? 2 cos A .

3 2 c ,求 sin C 的值. 2
3 2

(原创)18.(本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 2x ? ax ? 2 在 x ? 1 时取得极值. (1) 求 a ; (2) 求 f ( x ) 在 [ ?

1 , 2] 上的最值. 2

19.(本题满分 12 分)已知椭圆 C : 且离心率为

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 a ? b ? 0 ? ? 1 的右顶点 过双曲线 ? ? a 2 b2 25 4

3 . 5

(1) 求 C 的方程; (2) 求过点 (3, 0) 且斜率为

4 的直线被 C 所截线段的中点坐标. 5

20.(本题满分 12 分)已知等差数列 {an } 满足 a1 ? 1, a3 ? a7 ? 18 . (1) 求数列 {an } 的通项公式; (2) 若 cn ? 2n?1 an ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn .

(原创)21. (本题满分 12 分)在平面直角坐标系中,第一象限内的动点 P( x, y ) 满足: ①与点 A(1,1) 、点 B(?1, ?1) 连线斜率互为相反数; ②x? y ?

5 . 2

(1) 求动点 P 的轨迹 C1 的方程; (2) 若存在直线 m 与 C1 和椭圆 C2 : 率 e 的取值范围.

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 均相切于同一点,求椭圆 C2 离心 a 2 b2

(原创)22.(本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x(ax ? b) ? ln x (a ? 0, b ? R) . (1) 求 f ( x) 的单调区间; (2) 若 b ? a ? 2 ,且不存在 x0 ? (0,??) ,使得 f ( x0 ) ? 0 成立,求 a 的取值范围.

出题人: 周 娟 审题人: 李红林

— — — — — — — — — — — — —密— — — — — — — — — — —封 — — — — — — — — — —线— — — — — — — — — — — —

2015 年重庆一中高 2017 级高二上期半期考试

数 学 答 卷(文科)2015.12
二、填空题(20 分) :每小题 5 分;只填结果,不要过程。 13. ____ ____; 14. ____ ____; 15. ____ _; 16. ______ __。 三、解答题(70 分) :各题解答必须答在相应题目指定的方框内,必须写出必要 的文字说明、演算步骤或推理过程。
17. (10 分)解:

姓名

顺序号

考号

18. (12 分)解:

班次

在在在在

是在

19. (12 分)解:

20. (12 分)解:

21. (12 分)解:

22. (12 分)解:

2015 年重庆一中高 2017 级高二上期半期考试

数 学 答 案(文科)2015.12
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1-6: A A D C A A 7-12: D B C D A B 二、填空题(每题5分,共20分,把答案填在答题纸的横线上) 13.

3 5

14. ?

7 2

15.

4 5

16. e

三、解答题: 17. (本题满分 10 分) 解: (1)由 cos( A ?

?

3

) ? 2 cos A, 得 cos A cos

?
3

? sin A sin

?
3

? 2 cos A,

1 3 ? cos A ? sin A ? 2cos A, 2 2
∴ tan A ? 3 ∵ 0 ? A ? ? (2)由 S ? ∴A?

3 sin A?

3 cA os

?
3



1 3 2 bc sin A ? c ? b ? 2c 2 2 2 2 2 由余弦定理: a ? b ? c ? 2bc cos A ? a ? 3c ,所以 ?ABC 为直角三角形 1 易得 sin C ? 2
18.(本题满分 12 分) 解:(1) f ?( x) ? 6 x 2 ? 2ax ,由题意得 f ?(1) ? 0 ? a ? ?3 ; (2)由(1) f ?( x) ? 6 x( x ? 1) ,令 f ?( x) ? 0 ? x ? 0 或 x ? 1 当 x 变化时,f′(x) ,f(x)的变化情况如下表:

x
f′(x) f(x)

1 (? , 0) 2
+ ↗

0
0 2

(0,1)


1
0 1

(1, 2)
+ ↗

1 f ( ? ) ? 1 , f (0) ? 2 , f (1) ? 1 , f (2) ? 6 2 所以 f max ( x) ? 6 , f min ( x) ? 1
19.(本题满分 12 分)

x2 y 2 ? ?1 25 16 4 16 x中 4 y ?0 ?3 6? ( Ⅱ)法一:点差法可得: ? ? ,又 ? 中 , 所以中点为 ? , ? ? 5 25 y中 5 x中 ? 3 ?2 5?
解:(1)易得 C 的方程为

法二:过点 ? 3,0 ? 且斜率为

设直线与C的交点为A ? x1 , y1 ? ,B ? x2 , y2 ? ,

4 4 的直线方程为 y ? ? x ? 3 ? , 5 5
2

4 x 2 ? x ? 3? 将直线方程 y ? ? x ? 3 ? 代入C的方程,得 ? ?1, 5 25 25 3 ? 41 3 ? 41 即 x 2 ? 3x ? 8 ? 0 ,解得 x1 ? , x2 ? , 2 2 ? AB 的中点坐标 x ? x1 ? x2 ? 3 , y ? y1 ? y2 ? 2 ? x1 ? x2 ? 6 ? ? ? 6 , 2 5 5 2 2 3 6 ? ? 即中点为 ? , ? ? 。 ?2 5?
20.(本题满分 12 分) 解: (1) 数列 {an } 是等差数列, 设其公差为 d , 则 a5 ?

a5 ? a1 ? 2 , 则 an ? a1 ? (n ?1)d ? 2n ?1 , 4 即数列 {an } 的通项公式为 an ? 2n ? 1.
所以 d ?


1 (a3 ? a7 ) ? 9 . 2

(2)∵cn=(2n-1)× 2 n 1, - ∴Tn=c1+c2+c3+…+cn=1× 20+3× 21+5× 22+…+(2n-1)× 2n 1,① 1 2 n-1 n 2Tn=1× 2 +3× 2 +…+(2n-3)× 2 +(2n-1) × 2 ,② - ①-②得-Tn=1+2(21+22+23+…+2n 1)-(2n-1)× 2n, n 2-2 整理得-Tn=1+2× -(2n-1)· 2n=-(2n-3)× 2n-3. ∴Tn=(2n-3)· 2n+3. 1-2 21. (本题满分 12 分) 解: (1)由①可得

y ?1 y ?1 ?? ? xy ? 1 ( x ? ?1) x ?1 x ?1 1 1 5 1 xy ? 1 代入②得: x ? 0, ? 0, x ? ? ,解得: ? x ? 2 且 x ? 1 x x 2 2 1 1 所以曲线 C1 的方程为: y ? ( ? x ? 2 且 x ? 1) x 2 1 1 (2)由题意,直线 m 与 C1 相切,设切点为 M (t , ) ( ? t ? 2 且 t ? 1 ) t 2 1 ? 1 ?? 1 1 2 ? ( x ? t ) ? ? 2 ( x ? t ) ,即 y ? ? 2 x ? 则直线 m 的方程为 y ? ? ? ? t ?x? t t t
x ?t

1 2 ? y ?? 2 x? ? ? t t ? (b 2t 4 ? a 2 ) x 2 ? 4a 2tx ? a 2 (4 ? b 2t 2 )t 2 ? 0 联立 ? 2 2 ? x ? y ?1 ? ? a 2 b2 1 由题意,直线 m 与椭圆 C2 相切于点 M (t , ) ,则 t 4 2 2 2 4 2 2 2 2 ? ? 16a t ? 4a (b t ? a )(4 ? b t )t ? 4a2b2t 4 (a2 ? 4t 2 ? b2t 4 ) ? 0

即 a ? b t ? 4t
2 2 4

2

2 t2 1 ? 2 2 ? 1 即 b2t 4 ? a 2 ? a 2b2t 2 ,联立得 b 2 ? 2 , a 2 ? 2t 2 2 t a bt 1 2 2 由 ? t ? 2 且 t ? 1 以及 a ? b 得 1 ? t ? 2 , 2 a 2 ? b2 1 15 15 2 ? 1 ? 4 ? 0 ? e2 ? ,又 0 ? e ? 1 ? 0 ? e ? 故e ? 2 a t 16 4 15 所以椭圆 C2 的离心率 e 的取值范围是 (0, ) 4
又 22.(本题满分 12 分) 解: (1) 由 f ( x) ? ax2 ? bx ? ln x, x ? (0, ??) ,得 f ?( x) ? (1) 当 a ? 0 时, f ?( x ) ?

bx ? 1 . x (i) 若 b ? 0 , 当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 恒成立, 所以函数 f ( x ) 的单调递减区间是 (0, ??) . 1 (ii) 若 b ? 0 , 当 0 ? x ? 时, f ?( x) ? 0 , 函数 f ( x ) 单调递减. b 1 当 x ? 时, f ?( x) ? 0 , 函数 f ( x ) 单调递增. b 1 1 所以函数 f ( x ) 的单调递减区间是 (0, ) , 单调递增区间是 ( , ??) . b b 2 (2) 当 a ? 0 时, 令 f ?( x) ? 0 , 得 2ax ? bx ? 1 ? 0 .
由 ? ? b ? 8a ? 0 得 x1 ?
2

2ax 2 ? bx ? 1 . x

显然, x1 ? 0 , x2 ? 0 .

?b ? b2 ? 8a ?b ? b 2 ? 8a . , x2 ? 4a 4a

当 0 ? x ? x2 时, f ?( x) ? 0 , 函数 f ( x ) 单调递减. 当 x ? x2 时, f ?( x) ? 0 , 函数 f ( x ) 单调递增.

?b ? b2 ? 8a 所以函数 f ( x ) 的单调递减区间是 (0, ), 4a ?b ? b2 ? 8a 单调递增区间是 ( , ??) . 4a
综上所述, 当 a ? 0, b ? 0 时, 函数 f ( x ) 的单调递减区间是 (0, ??) . 当 a ? 0, b ? 0 时, 函数 f ( x ) 的单调递减区间是 (0, ) ,单调递增区间是 ( , ??) . 当 a ? 0 时, 函数 f ( x ) 的单调递减区间是 (0, 单调递增区间是 (

1 b

1 b

?b ? b2 ? 8a ), 4a

?b ? b2 ? 8a , ??) 4a (2)①当 a ? 0 时, b ? ?2 , f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递减, f (1) ? ?2 ? 0 ,不合题意.

②当 a ? 0 时,由(1)可知, f ( x ) 在 (0, ) 单调递减,在 ( , ??) 上单调递增,所以 只需 f ( x ) 的最小值为 f ( ) ? a ( ) ? (a ? 2) ?
2

1 a

1 a

1 a

1 a

1 1 1 ? ln ? ln a ? ? 1 ? 0 即可, a a a

令 g (a) ? ln a ?

1 ? 1 ,则 g (a ) 在 (0, ??) 上单调递增, g (1) ? 0 ,所以当 0 ? a ? 1 时, a g (a) ? 0 ,当 a ? 1 时, g (a) ? 0 ,所以 a 的取值范围是 (1, ??) .


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