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江西省南昌市第二中学2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题+Word版含答案


南昌二中 2017—2018 学年度上学期期末考试

高一数学试卷
命题人:聂清平 审题人:骆 敏
一、选择题(本题包含 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. cos(?300 ) =(
0



A.

1 2

B. -

1 2

C.

3 2


D. -

3 2

2.已知向量 a=(1,2),b=( ? 2 ,m),若 a∥b,则 m=( A.-1 B.-4 C.4

D.1

?sin x, x ? 0 ? 3.已知函数 f ( x) ? ? 1 ,则下列结论正确的是( ,x ?0 ? ? x
A.f(x)是周期函数 C.f(x)在(0,+∞)是增函数 B.f(x)是奇函数



D.f(x)的值域为 [?1, ??) )

4.△ABC 中,∠C=90° , AB ? (k ,1) , AC ? (2,3) ,则 k 的值是( A.3 B.4 C.5 D.6

? 1 ) 的图像向左平移 个最小正周期后, 所得图像对应的函数为 ( ) 3 4 ? 2? ) A. y ? ?2 sin( 2 x ? ) B. y ? 2 sin( 2 x ? 3 3 ? ? C. y ? 2 cos( 2 x ? ) D. y ? ?2 cos( 2 x ? ) 3 3 ? ? ? ? ? ? 6. 已知向量 a 与 b 的夹角为 120? , a ? ?1,0? , b ? 2 , 则 2a ? b ? ( )
5. 将函数 y ? 2 sin( 2 x ? A.

3

B. 2

C. 2 3

D. 4

7.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, ? ? 示,则 ? = ( A. ? ) B.

?
2

) 的部分图像如图所

? 6

? 6


C. ?

? 3

D.

? 3

8.在平面内用下图的方式放置两个相同的直角三角板,直角板一个角为 30° , 则下列结论不成 立 的是( .. .

A. AC ? BD ? 0 B. BC 与 CD 的夹角为 60° C. AB ? AD 与 CB ? CD 共线 D. AB 在 AC 上的投影等于 BC 在 BD 上的投影 9.已知函数 f (x) ? sin(?? x)(? ? 0) 在 (0, 2] 上恰有一个最大值点和一个最小值点,则 ? 的取值范围是( A. ) B.

??? ? ??? ?

??? ?

????

??? ?

??? ?

1 3 ?? ? 2 4

1 5 ?? ? 2 4

C.

3 5 ?? ? 4 4


D.

3 ? ? ?1 4

10.已知

cos ? sin ? ? 1 2 ? ,则 的值是( 1 ? sin ? cos? 2
B. ?

A.

2 2

2 2

C. 2

D. ? 2

11.△ABC 中,AB=4,AC=6,BC= 7 ,其外接圆圆心为 O,则 AO ? BC =( A.9 B.10 C.11 D.12



12. 设函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x ,其中 a, b ? R,ab ? 0 ,若 f ( x ) ? f ( ) 对一切 x ? R

?

6

恒成立,则下列结论中正确的是( ) A. f ( ) ? 0

?

3 5? ,0) 是函数 f ( x) 的一个对称中心 B.点 ( 6
C. f ( x) 在 (0,

?

6

) 上是增函数

A

D.存在直线经过点(a,b)且与函数 f ( x) 的图像有无数多个交点
D

二、填空题(本题包含 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. y ? 1 ? log2 x 的定义域为 . .
B C

14.已知 a ? ( 3,1) ,则与 a 垂直的一个单位向量的坐标为 15.已知 tan? ?

2 2 , tan( ? ? ?) ? ? , 则 tan ? ? 2 2



16.设 m, n 为非零向量, m =1, m ? 2n ? 1 ,则 m ? n + n 的最大值为

?? ?

??

??

?

?? ?

?



三、解答题(本题包含 6 个大题,第 17 题 10 分,第 18—22 题每题 12 分,共 70 分)

3? ? ?? ? ? sin ? ? ? ? cos ? ? ? ? tan ? 2? ? ? ? 2 2 ? ? ? ? 17. (本题 10 分)已知函数 f ?? ? ? . tan ?? ? ? ? sin ?? ? ? ?
(I)化简 f

?? ? ;
??
?? ? ? ? 2 f ?? ? ,求 f ?? ? ? f ? ? ? ? 的值. 2? ?2 ?

(II)若 f ? ? ?

? ?

18. (本题 12 分) 已知向量 a 与 b 的夹角为 60 , a ? 3, b ? 2 , m ? 2a ? 3b , n ? 3a ? kb .
0

?

?

?

?

?

?

? ?

?

?

(I)若 m ? n ,求实数 k 的值; (II)是否存在实数 k,使得 m / / n ?说明理由.

?

?

?

?

19. (本题 12 分)已知函数 f ( x) ? 3 sin ?x ? cos?x ? sin 2 ?x . (I)若函数 f ? x ? 的图象关于直线 x ? 增区间; (II)在(I)的条件下,当 x ? [0,

?
3

对称,且 ? ? (0, 2] ,求函数 f ? x ? 的单调递

?
2

] 时,求函数 f ? x ? 的值域.

20. (本题 12 分)如图,D 为 BC 边上的中点, G 是△ABC 的重心,E 点为边 AC 上靠近点 C 的三等分点., (I)若 GF =mGD ,求 m 的值; (II)AD 与 BE 交于点 F,设 AB ? a, AC ? b ,请用 a, b 表示向量 AF .

??? ?

????

????

A

G F B D

E

C

21. (本题 12 分) 如图 (1) 所示, 用两块宽分别为 3 ? 1cm 和 1cm 的矩形钢板 ( PQ ? 3 ? 1,

,剪裁后在平面内焊成 60° 的“角型”. MN ? 1 ) (I)设∠POA=x,请问下料时 x 应取多少度? (II)如图 (2) 所示, 在以 O 为圆心, OA 为半径的扇形钢板区域内雕刻一矩形铭牌 DEFG,

? 上,求矩形 DEFG 面积的最大值. 其中动点 F 在扇形的弧 BAC
N M
N M

A

60°

Q
G

C

A 60° F

Q

O

x P

O

θ D E B P

图(1)

图(2)

2 22. (本题 12 分) 设二次函数 y ? f ( x) 的图像过点 (0, 0) , 且满足 3x ? 1 ? f ( x) ? ?6 x ? 2

恒成立. (I)求 f ( x) 的解析式; (II)若对任意的 x ? (0, 实数 p 的取值范围.

?
2

) ,不等式 p ? f (sin x) f (cosx) ? cos4 x ? 1 ? 0 恒成立,求

南昌二中 2017—2018 学年度上学期期末考试 高一数学试卷参考答案

题号 答案

1 A

2 B
[

3 D
[

4 C

5 C

6 B

7 D

8 D

9 C

10 B

11 B

12 D

题号 答案

13

14

15

16

(0,2]

1 3 1 3 ( ? , ) 或 ( ,? ) 2 2 2 2
(只能写一个)

2 2

2

16.提示:

?? ? ?? ? 2 m ? 2n =1 ? m ? 2n ? 1 ?? 2 ?? ? ?2 ?? ? ? ? m ? 4m ? n ? 4n ? 1 ? ( m ? n ) ? n ? 0
故 m ? n , n 是斜边长为 1 的直角三角形的两直角边 可令 m ? n ? cos ? , n ? sin ? , 所以, m ? n + n ? cos ? + sin ? = 2 cos(? ?

?? ? ? ?? ?

?

?? ?

?

?
4

)? 2

17.【解析】 (1) f (? ) ? (2) f ? ? ?

cos ? (? sin ? ) tan(?? ) ? ? cos ? tan ? (- sin ?)

? ?

??

? ? 2 f ?? ? 2?

? ? cos(? ? ) ? ?2cos ? 2 ? sin ? ? ?2cos ? ? tan ? ? ?2

?

? ?? ? f ?? ? ? f ? ? ? ? =( ? cos? )( ? cos( ? ? ))=sin? cos? 2 ?2 ? sin? cos? tan ? 2 = 2 ? ?? 2 2 sin ? ? cos ? 1 ? tan ? 5
? ?

18.【解析】 (1) m ? n=0 ? (2a ? 3b )(3a ? kb ) ? 0

? ?

?

?

9 2 ? ? ? ? ? ? (2) m / / n ? 2a ? 3b ? ?(3a ? kb ) ? 0 ?k ?

? 3? ? 2 9 ?? ?k ?? 2 ?? k ? ?3

19.【解析】 (1) f ( x) ? 3sin ? x ? cos ? x ? sin 2 ? x

3 1 ? cos 2? x sin 2? x ? 2 2 ? 1 ? sin(2? x ? ) ? 6 2 =
2? ? ? 3 ? ? ? ? k? ( k ? Z ) ? ? ? 1 ? k ( k ? Z ) 3 6 2 2

?? ? (0, 2]
?? =1

? 1 ? f ( x) ? sin(2 x ? ) ? 6 2
令?

?

2

? 2 k? ? 2 x ?

?

6

?

?
2

? 2k? (k ? Z ) ,则有 k? ?

?
6

? x ? k? ?

?
3

,k ?Z

所以, f ( x) 的递增区间是 ( k? ?

, k? ? ) k ? Z 6 3 ? ? ? 5? (2) 0 ? x ? ? ? ? 2 x ? ? 2 6 6 6 1 ? ? 1 3 所以, ? ? sin(2 x ? ) ? 1 ? 0 ? sin(2 x ? )+ ? 2 6 6 2 2 3 所以函数 f(x)的值域是 [0, ] 2

?

?

2 2 DC = BD , 3 3 ??? ? 2 ??? ? ??? ? 2 ???? GF GE 2 ? ? ? GF ? FD ? GF ? GD 所以 FD BD 3 3 5 ??? ? 2 ???? 2 1 ???? 1 ???? (2)由(1)可知, GF ? GD ? ? AG ? AG 5 5 2 5
20.【解析】 (1)由题意有,GE∥DC 且 GE ?

??? ? ? ???? 6 ???? 6 2 ???? 4 1 ??? AF ? AG ? GF ? AG ? ? AD ? ? ( AB ? AC ) 5 5 3 5 2 ? ? 2 2 ? a? b 5 5

21.【解析】 (1) 过 A 作 AX、AY 分别垂直 OP、ON 于 X、Y,则在 RT△OAX 与 RT△OAY 中,
N M

OA ?

AX AY ? sin x sin(600 ? x)

Y

A

60°

Q

?

3 ?1 1 ? sin x sin(600 ? x)
0

O

x X P

? ( 3 ? 1) sin(60 ? x) ? sin x ? sin x ? cos x
所以, x ? 45
0

?????????????4 分 ?????????????5 分

(2)由(1)知, OF ? OA ? ( 3 ?1) ? 2 ? 6 ? 2 设∠BOF=θ, EF ? OF sin ? ? ( 6 ? 2 ) sin ?

EF tan600 6? 2 ? ( 6 ? 2 ) cos? ? sin ? ?????????????9 分 3 DE ? OE ? OD ? OE ? ? ( 6 ? 2 )(cos? ? 3 sin ? ) 3
G C

N M

A

60° F

Q

O

θ D E B P

S DEFG ? EF ? DE 3 sin ? ) 3 3 2 ? ( 6 ? 2) 2 (sin ? cos ? ? sin ? ) 3 1 3 1 ? cos 2? =( 6 ? 2) 2 [ sin 2? ? ) 2 3 2 ? ( 6 ? 2) 2 sin ? (cos ? ? 1 3 3 ? ( 6 ? 2) 2 [ (sin 2? ? cos 2? ) ? ] 2 3 6 3 3 ? ( 6 ? 2) 2 [ sin(2? ? ? ) ? ] 3 6 3 3 ? ( 6 ? 2) 2 ( ? ) 3 6 4 ? 2? 3 3 4 3 所以,矩形 DEFG 面积的最大值为 2 ? 3

?????????????12 分

2 22.【解析】 (1) (1)设二次函数 f ( x)=ax ? bx ? c ,则 f (0) ? c ? 0

? x ? ?1 , 而 3x ? 1= ? 6 x ? 2,
2

f (?1) ? a ? b ? 4 ? ax 2 ? bx ? (b ? 4) x 2 ? bx ? 3x 2 ? 1在R上恒成立 ? (b ? 1) x 2 ? bx ? 1 ? 0在R上恒成立 ??=b 2 ? 4(b ? 1) ? (b ? 2) 2 ? 0 ? b ? ?2, a ? 2 ? f ( x) ? 2 x 2 ? 2 x
(2) ?????????????4 分

p ? f (sin x) f (cos x) ? cos 4 x ? 1 ? 0 ? p ? 2 sin x(sin x ? 1)2 cos x(cos x ? 1) ? cos 4 x ? 1 ? 0 ? 4 p sin x cos x(sin x ? 1)(cosx ? 1) ? 2 sin 2 2 x ? 4 p sin x cos x(sin x ? 1)(cosx ? 1) ? 8 sin 2 x cos2 x ? p (sin x ? 1)(cosx ? 1) ? 2 sin x cos x( x ? (0, )) 2 2 sin x cos x ? ? p? ( x ? (0, )) (sin x ? 1)(cosx ? 1) 2 2 sin x cos x ? ? p? ( x ? (0, ))? * sin x cos x ? (sin x ? cos x) ? 1 2
?????????????8 分

?

令 t ? sin x ? cos x ? 且 sin x cos x ?

2 sin( x ?

?

) ,因为 x ? (0, ) ,所以 t ? (1, 2 ] 2 4

?

t 2 ?1 2
?????????????10 分

故* ? p ?

t 2 ?1 2(t ? 1) 2 ? ? 2(1 ? ) 2 t ?1 t ?1 t ?1 ? t ?1 2
2 ) 在 (1, 2 ] 上递减, t ?1

令 g (t ) ? 2(1 ?

gmin (t ) ? g ( 2 ) ? 6 ? 4 2
由题意可得, p ? 6 ? 4 2 . ?????????????12 分



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