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湖南省高中数学 第一章 1.4生活中的优化问题举例练习 新人教b版选修2-2

湖南省新田县第一中学高中数学 第一章 1.4 生活中的优化问题举例练习 新人 教 B 版选修 2-2 班级___________ 姓名___________学号___________ ). 1.如果圆柱截面的周长 l 为定值,则体积的最大值为( ?l? ? ? A.? ?3π ?6? ?l? ? ? B.? ?3π ?3? ?l? ? ? C.? ?3π ?4? ? 1? ? l ?3 D. ? ? π 4?4? 2.若一球的半径为 r,作内接于球的圆柱,则其侧面积最大为( A.2π r2 B.π r2 C.4π r 1 D. π r2 2 ). 3.有矩形铁板,其长为 6,宽为 4,现从四个角上剪掉边长为 x 的四个小正方 形, 将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子, 要使容积最大, 则 x=________. 4.做一个无盖的圆柱形水桶,若要使其体积是 27π ,且用料最省,则圆柱的底 面半径为________. 5.某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距 m 米,余下工程只需建两端 桥墩之间的桥面和桥墩.经测算,一个桥墩的工程费用为 256 万元;距离为 x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2+ x)x 万元. 假设桥墩等距离分布, 所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素,记余下工程的费用为 y 万元. (1)试写出 y 关于 x 的函数关系式; (2)当 m=640 米时,需新建多少个桥墩才能使 y 最小? 6.如图所示,在边长为 60 cm 的正方形铁片的四角上切去相等的正方形,再把 它沿虚线折起,做成一个无盖的长方体箱子,箱底的边长是多少时,箱子的 容积最大?最大容积是多少? 1.如果圆柱截面的周长 l 为定值,则体积的最大值为( ?l? ? ? A.? ?3π ?6? ?l? ? ? C.? ?3π ?4? 解析 ∴h= ?l? ? ? B.? ?3π ?3? ? 1? ?l? D. ? ?3π 4?4? ). 设圆柱的底面半径为 r,高为 h,体积为 V,则 4r+2h=l, l-4r , 2 r2h= l 2 ? r2-2π r3 0<r< ? ? ? l? ? . 4? ? V=π π 则 V′=lπ r-6π r2, l 令 V′=0,得 r=0 或 r= ,而 r>0, 6 l ∴r= 是其唯一的极值点. 6 ?l? l ? ? ∴当 r= 时,V 取得最大值,最大值为? ?3π . 6 ?6? 答案 A ). 2.若一球的半径为 r,作内接于球的圆柱,则其侧面积最大为( A.2π r2 C.4π r 解析 B.π r2 1 D. π r2 2 设内接圆柱的高为 h,底面半径为 x,则由组合体的知识得 h2+(2x)2 =(2r)2,又圆柱的侧面积 S=2π xh, ∴S2=16π 2(r2x2-x4),(S2)′=16π 2(2r2x-4x3), 2 r(x=0 舍去), 2 令(S2)′=0 得 x= ∴Smax=2π r2,故选 A. 答案 A 3.某公司生产一种产品, 固定成本为 20 000 元,每生产一单位的产品,成本 增加 100 元,若总收入 R 与年产量 x 的关系是 R(x)= x3 ? ?- +400x,0≤x≤390, ? 900 ? ?90 090,x>390, 则当总利润最大时,每年生产产品的单位 数是 ( ). A.150 B.200 C.250 D.300 解析 由题意得,总利润 x3 ? ?- +300x-20 000,0≤x≤390, P(x)=? 900 ? ?70 090-100x,x>390, 令 P′(x)=0,得 x=300,故选 D. 答案 D 4.有矩形铁板,其长为 6,宽为 4,现从四个角上剪掉边长为 x 的四个小正方 形, 将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子, 要使容积最大, 则 x=________. 解析 可列出 V=(6-2x)(4-2x)·x,求导求出 x 的最大值. 5- 3 7 答案 5.如图所示,某厂需要围建一个面积为 512 平方米的矩形堆料场,一边可以利 用原有的墙壁,其他三边需要砌新的墙壁,当砌壁所用的材料最省时,堆料 场的长和宽分别为________. 解析 长为 要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短,设场地宽为 x 米,则 512 米, x 512 512 (x>0),则 L′=2- 2 . x x 因此新墙壁总长度 L=2x+ 令 L′=0,得 x=±16. ∵x>0,∴x=16. 当 x=16 时,Lmin=64,此时堆料场的长为 答案 32;16 512 =32(米). 16 6.如图所示,已知矩形的两个顶点位于 x 轴上,另两个顶点位于抛物线 y=4- x2 在 x 轴上方的曲线上,求这个矩形面积最大时的边长. 解 设矩形边长 AD=2x,则|AB|=y=4-x2,则矩形面积为 S=2x(4- 2 3 ,x2 x2)(0<x<2),即 S=8x-2x3,S′=8-6x2,令 S′=0,解得 x1= 2 =- (舍去). 3 2 3 时,S′>0;当 x> 2 3 时,S′<0, 当 0<x< 所以当 x= 2 时,S 取得最大值,此时,S 最大值= 3 4 3 32 9 3 . 即矩形的边长分别为 综合提高 8 , 时,矩形的面积最大. 3 3 限时25分钟 7.设底为正三角形的直棱柱的体积为 V,那么其表面积最小时,底面边长为 ( ). 3 3 A. V B. 2V C. 3 4V D.2 3 V 解析 1 4V 设底面边长为 x,侧棱长为 l,则 V= x2·sin 60°·l,∴l= , 2 3x2 3 4 3V x2+ , 2 x ∴S 表=2S 底+3S 侧=x2·sin 60°+3·x·l= S′表= 3x- 4 ? ? 3V 3 3 ?

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