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湖南省高中数学 第一章 1.4生活中的优化问题举例练习 新人教b版选修2-2


湖南省新田县第一中学高中数学 第一章 1.4 生活中的优化问题举例练习 新人 教 B 版选修 2-2 班级___________ 姓名___________学号___________ ). 1.如果圆柱截面的周长 l 为定值,则体积的最大值为( ?l? ? ? A.? ?3π ?6? ?l? ? ? B.? ?3π ?3? ?l? ? ? C.? ?3π ?4? ? 1? ? l ?3 D. ? ? π 4?4? 2.若一球的半径为 r,作内接于球的圆柱,则其侧面积最大为( A.2π r2 B.π r2 C.4π r 1 D. π r2 2 ). 3.有矩形铁板,其长为 6,宽为 4,现从四个角上剪掉边长为 x 的四个小正方 形, 将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子, 要使容积最大, 则 x=________. 4.做一个无盖的圆柱形水桶,若要使其体积是 27π ,且用料最省,则圆柱的底 面半径为________. 5.某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距 m 米,余下工程只需建两端 桥墩之间的桥面和桥墩.经测算,一个桥墩的工程费用为 256 万元;距离为 x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2+ x)x 万元. 假设桥墩等距离分布, 所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素,记余下工程的费用为 y 万元. (1)试写出 y 关于 x 的函数关系式; (2)当 m=640 米时,需新建多少个桥墩才能使 y 最小? 6.如图所示,在边长为 60 cm 的正方形铁片的四角上切去相等的正方形,再把 它沿虚线折起,做成一个无盖的长方体箱子,箱底的边长是多少时,箱子的 容积最大?最大容积是多少? 1.如果圆柱截面的周长 l 为定值,则体积的最大值为( ?l? ? ? A.? ?3π ?6? ?l? ? ? C.? ?3π ?4? 解析 ∴h= ?l? ? ? B.? ?3π ?3? ? 1? ?l? D. ? ?3π 4?4? ). 设圆柱的底面半径为 r,高为 h,体积为 V,则 4r+2h=l, l-4r , 2 r2h= l 2 ? r2-2π r3 0<r< ? ? ? l? ? . 4? ? V=π π 则 V′=lπ r-6π r2, l 令 V′=0,得 r=0 或 r= ,而 r>0, 6 l ∴r= 是其唯一的极值点. 6 ?l? l ? ? ∴当 r= 时,V 取得最大值,最大值为? ?3π . 6 ?6? 答案 A ). 2.若一球的半径为 r,作内接于球的圆柱,则其侧面积最大为( A.2π r2 C.4π r 解析 B.π r2 1 D. π r2 2 设内接圆柱的高为 h,底面半径为 x,则由组合体的知识得 h2+(2x)2 =(2r)2,又圆柱的侧面积 S=2π xh, ∴S2=16π 2(r2x2-x4),(S2)′=16π 2(2r2x-4x3), 2 r(x=0 舍去), 2 令(S2)′=0 得 x= ∴Smax=2π r2,故选 A. 答案 A 3.某公司生产一种产品, 固定成本为 20 000 元,每生产一单位的产品,成本 增加 100 元,若总收入 R 与年产量 x 的关系是 R(x)= x3 ? ?- +400x,0≤x≤390, ? 900 ? ?90 090,x>390, 则当总利润最大时,每年生产产品的单位 数是 ( ). A.150 B.200 C.250 D.300 解析 由题意得,总利润 x3 ? ?- +300x-20 000,0≤x≤39

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