湖南省高中数学 第一章 1.4生活中的优化问题举例练习 新人教b版选修2-2

湖南省新田县第一中学高中数学 第一章 1.4 生活中的优化问题举例练习 新人 教 B 版选修 2-2 班级___________ 姓名___________学号___________ )． 1．如果圆柱截面的周长 l 为定值，则体积的最大值为( ?l? ? ? A.? ?3π ?6? ?l? ? ? B.? ?3π ?3? ?l? ? ? C.? ?3π ?4? ? 1? ? l ?3 D. ? ? π 4?4? 2．若一球的半径为 r，作内接于球的圆柱，则其侧面积最大为( A．2π r2 B．π r2 C．4π r 1 D. π r2 2 )． 3．有矩形铁板，其长为 6，宽为 4，现从四个角上剪掉边长为 x 的四个小正方 形， 将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子， 要使容积最大， 则 x＝________. 4．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是 27π ，且用料最省，则圆柱的底 面半径为________． 5．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距 m 米，余下工程只需建两端 桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为 256 万元；距离为 x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋ x)x 万元． 假设桥墩等距离分布， 所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为 y 万元． (1)试写出 y 关于 x 的函数关系式； (2)当 m＝640 米时，需新建多少个桥墩才能使 y 最小？ 6．如图所示，在边长为 60 cm 的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把 它沿虚线折起，做成一个无盖的长方体箱子，箱底的边长是多少时，箱子的 容积最大？最大容积是多少？ 1．如果圆柱截面的周长 l 为定值，则体积的最大值为( ?l? ? ? A.? ?3π ?6? ?l? ? ? C.? ?3π ?4? 解析 ∴h＝ ?l? ? ? B.? ?3π ?3? ? 1? ?l? D. ? ?3π 4?4? )． 设圆柱的底面半径为 r，高为 h，体积为 V，则 4r＋2h＝l， l－4r ， 2 r2h＝ l 2 ? r2－2π r3 0<r< ? ? ? l? ? . 4? ? V＝π π 则 V′＝lπ r－6π r2， l 令 V′＝0，得 r＝0 或 r＝ ，而 r>0， 6 l ∴r＝ 是其唯一的极值点． 6 ?l? l ? ? ∴当 r＝ 时，V 取得最大值，最大值为? ?3π . 6 ?6? 答案 A )． 2．若一球的半径为 r，作内接于球的圆柱，则其侧面积最大为( A．2π r2 C．4π r 解析 B．π r2 1 D. π r2 2 设内接圆柱的高为 h，底面半径为 x，则由组合体的知识得 h2＋(2x)2 ＝(2r)2，又圆柱的侧面积 S＝2π xh， ∴S2＝16π 2(r2x2－x4)，(S2)′＝16π 2(2r2x－4x3)， 2 r(x＝0 舍去)， 2 令(S2)′＝0 得 x＝ ∴Smax＝2π r2，故选 A. 答案 A 3．某公司生产一种产品， 固定成本为 20 000 元，每生产一单位的产品，成本 增加 100 元，若总收入 R 与年产量 x 的关系是 R(x)＝ x3 ? ?－ ＋400x，0≤x≤390， ? 900 ? ?90 090，x>390， 则当总利润最大时，每年生产产品的单位 数是 ( )． A．150 B．200 C．250 D．300 解析 由题意得，总利润 x3 ? ?－ ＋300x－20 000，0≤x≤390， P(x)＝? 900 ? ?70 090－100x，x>390， 令 P′(x)＝0，得 x＝300，故选 D. 答案 D 4．有矩形铁板，其长为 6，宽为 4，现从四个角上剪掉边长为 x 的四个小正方 形， 将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子， 要使容积最大， 则 x＝________. 解析 可列出 V＝(6－2x)(4－2x)·x，求导求出 x 的最大值． 5－ 3 7 答案 5．如图所示，某厂需要围建一个面积为 512 平方米的矩形堆料场，一边可以利 用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时，堆料 场的长和宽分别为________． 解析 长为 要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，设场地宽为 x 米，则 512 米， x 512 512 (x>0)，则 L′＝2－ 2 . x x 因此新墙壁总长度 L＝2x＋ 令 L′＝0，得 x＝±16. ∵x>0，∴x＝16. 当 x＝16 时，Lmin＝64，此时堆料场的长为 答案 32；16 512 ＝32(米)． 16 6．如图所示，已知矩形的两个顶点位于 x 轴上，另两个顶点位于抛物线 y＝4－ x2 在 x 轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的边长． 解 设矩形边长 AD＝2x，则|AB|＝y＝4－x2，则矩形面积为 S＝2x(4－ 2 3 ，x2 x2)(0<x<2)，即 S＝8x－2x3，S′＝8－6x2，令 S′＝0，解得 x1＝ 2 ＝－ (舍去)． 3 2 3 时，S′>0；当 x> 2 3 时，S′<0， 当 0<x< 所以当 x＝ 2 时，S 取得最大值，此时，S 最大值＝ 3 4 3 32 9 3 . 即矩形的边长分别为 综合提高 8 ， 时，矩形的面积最大． 3 3 限时25分钟 7．设底为正三角形的直棱柱的体积为 V，那么其表面积最小时，底面边长为 ( )． 3 3 A. V B. 2V C. 3 4V D．2 3 V 解析 1 4V 设底面边长为 x，侧棱长为 l，则 V＝ x2·sin 60°·l，∴l＝ ， 2 3x2 3 4 3V x2＋ ， 2 x ∴S 表＝2S 底＋3S 侧＝x2·sin 60°＋3·x·l＝ S′表＝ 3x－ 4 ? ? 3V 3 3 ?